2024-2024新課標(biāo)高考立體幾何分類匯編(文)

PAGE2024新課標(biāo)立體幾何分類匯編〔文科〕一、選填題【2024新課標(biāo)】8.在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔〕A.B.C.D.【解析】由正視圖和俯視圖可以判斷此幾何體前局部是一個的三棱錐，后面是一個圓錐，選D.【2024新課標(biāo)】16.兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，假設(shè)圓錐底面面積是這個球面面積的，那么這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.【解析】由圓錐底面面積是這個球面面積的，得所以，那么小圓錐的高為，大圓錐的高為，所以比值為.【2024新課標(biāo)】7．如圖，網(wǎng)格上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為〔〕A．6 B．9 C．12 D．18【解析】由三視圖知，其對應(yīng)幾何體為三棱錐，其底面為一邊長為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為=9，應(yīng)選B.【2024新課標(biāo)】8．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，那么此球的體積為〔〕A．π B．4π C．4π D．6π【解析】設(shè)求圓O的半徑為R，那么，.選B【2024新課標(biāo)1】11.某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【解析】該幾何體為一個半圓柱與一個長方體組成的一個組合體．V半圓柱＝π×22×4＝8π，V長方體＝4×2×2＝16.所以所求體積為16＋8π.應(yīng)選A.【2024新課標(biāo)1】15.H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，那么球O的外表積為______．【解析】如圖，設(shè)球O的半徑為R，那么AH＝，OH＝.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝.∴S球＝4πR2＝.【2024新課標(biāo)2】9.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為()．【解析】如以下列圖，該四面體在空間直角坐標(biāo)系O－xyz的圖像為以以下列圖：那么它在平面zOx的投影即正視圖為，應(yīng)選A.【2024新課標(biāo)2】15.正四棱錐O－ABCD的體積為，底面邊長為，那么以O(shè)為球心，OA為半徑的球的外表積為__________．【解析】如以下列圖，在正四棱錐O－ABCD中，VO－ABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝××|OO1|＝，∴|OO1|＝，|AO1|＝，在Rt△OO1A中，OA＝＝，即，∴S球＝4πR2＝24π.【2024新課標(biāo)1】8.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的事一個幾何體的三視圖，那么這個幾何體是〔〕A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱【解析】：根據(jù)所給三視圖易知，對應(yīng)的幾何體是一個橫放著的三棱柱.選B【2024新課標(biāo)2】6.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1〔表示1cm〕，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕(D)【2024新課標(biāo)2】7.正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC中點，那么三棱錐的體積為〔C〕〔A〕3〔B〕〔C〕1〔D〕【2024新課標(biāo)1】11.圓柱被一個平面截去一局部后與半球〔半徑為r〕組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如以下列圖，假設(shè)該幾何體的外表積為16+20π，那么r=〔B〕〔A〕1(B)2(C)4(D)8【2024新課標(biāo)1】6.?九章算術(shù)?是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?〞其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?〞1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有〔B〕A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【2024新課標(biāo)2】6.一個正方體被一個平面截去一局部后，剩余局部的三視圖如右圖，那么截去局部體積與剩余局部體積的比值為A.B.C.D.【解析】如以下列圖，選D.【2024新課標(biāo)2】10.A,B是球O的球面上兩點，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為〔〕A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】因為A,B都在球面上，又所以三棱錐的體積的最大值為，所以R=6，所以球的外表積為S=π，應(yīng)選C.【2024新課標(biāo)1】7.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.假設(shè)該幾何體的體積是EQ\F(28π,3)，那么它的外表積是〔A〕〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π【2024新課標(biāo)1】11.平面過正文體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，那么m，n所成角的正弦值為〔A〕444〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕444【2024新課標(biāo)2】7.右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為A．B．C．D．【解析】因為正方體的體積為8，所以正方體的體對角線長為，所以正方體的外接球的半徑為，所以球面的外表積為，應(yīng)選A.【2024新課標(biāo)2】4．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，那么該球的外表積為A．B．C．D．【解析】因為原幾何體由同底面一個圓柱和一個圓錐構(gòu)成，所以其外表積為，應(yīng)選C.【2024新課標(biāo)3】〔10〕如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕90〔D〕81【2024新課標(biāo)3】〔11〕在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.假設(shè)AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，那么V的最大值是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【2024新課標(biāo)1】6．如圖，在以下四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，那么在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是〔A〕【2024新課標(biāo)1】16．三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑。假設(shè)平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，那么球O的外表積為________?！?024新課標(biāo)2】6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部后所得，那么該幾何體的體積為〔B〕

A.90B.63C.42D.36【解析】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，V=π?32×10﹣?π?32×6=63π，應(yīng)選：B?！?024新課標(biāo)2】15.長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，那么球O的外表積為14π?！窘馕觥块L方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，可知長方體的對角線的長就是球的直徑，所以球的半徑為：=．那么球O的外表積為：4×=14π，故答案為：14π?！?024新課標(biāo)3】9.圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，那么該圓柱的體積為(B)A.B.C.D.【解析】圓柱的高h=1,設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，那么?！?024新課標(biāo)3】10.在正方體中，為棱的中點，那么〔C〕A.B.C.D.【解析】平面,又,平面,又平面.二、解答題【2024新課標(biāo)】18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.〔1〕證明：PA⊥BD；〔2〕假設(shè)PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高.【解析】〔1〕因為∠DAB=60o，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD，從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD.故PA⊥〔2〕過D作DE⊥PB于E，由〔I〕知BC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC，由題設(shè)知PD=1，那么BD=,PB=2，由DE·PB=PD·BD得DE=，即棱錐D-PBC的高為.BACDB1C1A1【2024新課標(biāo)】19．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，BACDB1C1A1〔1〕證明：平面BDC1⊥平面BDC；〔2〕平面BDC1分此棱柱為兩局部，求這兩局部體積的比.【解析】〔1〕由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C,∴BC⊥面ACC1A1，又∵DC1面ACC1A1，∴DC1⊥BC，由題設(shè)知∠A1DC1=∠ADC=45o，∴∠CDC1=90o,即DC1⊥DC，又∵DC∩BC=C,∴DC1⊥面BDC，∵DC1面BDC1，∴面BDC⊥面BDC1.〔2〕設(shè)棱錐B-DACC1的體積為，=1，由題意得，，由三棱柱ABC-A1B1C1的體積，∴，∴平面BDC1分此棱柱為兩局部體積之比為1:1.【2024新課標(biāo)1】19.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C；(2)假設(shè)AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．【解析】(1)取AB的中點O，連結(jié)OC，OA1，A1B.因為CA＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.因為OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝.又A1C＝，那么A1C2＝OC2＋，故OA1⊥OC.因為OC∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面積S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC×OA1＝3.【2024新課標(biāo)2】18.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點?！?〕證明：BC1∥平面A1CD〔2〕求三棱錐C-A1DE的體積。【解析】(1)連結(jié)AC1交A1C于點F，那么F為AC1中點．又D是AB中點，連結(jié)DF，那么BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD(2)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由AC＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D所以VC－A1DE＝＝1【2024新課標(biāo)1】19.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點為，且平面.〔1〕證明：〔2〕假設(shè),求三棱柱的高.【解析】〔1〕連結(jié)，那么O為與的交點，因為側(cè)面為菱形，所以，又平面，故平面，由于平面，故〔2〕作OD⊥BC,垂足為D,連結(jié)AD,作OH⊥AD,垂足為H,由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以O(shè)H⊥BC.又OH⊥AD,所以O(shè)H⊥平面ABC.因為,所以△為等邊三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由OH·AD=OD·OA,且，得OH=又O為B1C的中點,所以點B1到平面ABC的距離為,故三棱柱ABC-A1B1C1的高為。【2024新課標(biāo)2】如圖，四凌錐中，底面為矩形，面，為的中點?！?〕證明：平面;〔2〕設(shè)置，，三棱錐的體積，求A到平面PBD的距離?！窘馕觥俊?〕設(shè)BD與AC的交點為，連接因為ABCD為矩形，所以為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以EO//PB平面，平面，所以平面〔2〕由題設(shè)知，可得，做交于由題設(shè)知，所以，故，又所以到平面的距離為。【2024新課標(biāo)1】18.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.〔1〕證明：平面AEC⊥平面BED；〔2〕假設(shè)∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐—ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積【解析】【2024新課標(biāo)2】19.如圖,長方體中AB=16,BC=10,,點E,F分別在上,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.〔1〕在圖中畫出這個正方形〔不必說明畫法與理由〕；〔2〕求平面把該長方體分成的兩局部體積的比值.【解析】〔1〕在AB上取點M,在DC上取點N，使得AM=DN=10,然后連接EM,MN,NF,即組成正方形EMNF，即平面α?！?〕兩局部幾何體都是高為10的四棱柱，所以體積之比等于底面積之比，即【2024新課標(biāo)1】18.如圖，在正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G?！?〕證明G是AB的中點；〔2〕在答題卡第〔18〕題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F〔說明作法及理由〕，并求四面體PDEF的體積。【解析】〔1〕因為在平面內(nèi)的正投影為，所以因為在平面內(nèi)的正投影為，所以所以平面，故又由可得，，從而是的中點.〔2〕在平面內(nèi)，過點作的平行線交于點，即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下：由可得，，又,所以,因此平面，即點為在平面內(nèi)的正投影.連接，因為在平面內(nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.由〔1〕知，是的中點，所以在上，故由題設(shè)可得平面，平面，所以，因此由，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得【2024新課標(biāo)2】19.如圖，菱形的對角線與交于點，點，分別在，上，，交于點，將沿折到的位置．〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)，，，，求五棱錐的體積．【試題分析】〔1〕先證，，再證平面，即可證；〔2〕先證，進而可證平面，再計算菱形和的面積，進而可得五棱錐的體積．【2024新課標(biāo)3】〔19〕如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.〔1〕證明MN∥平面PAB;〔2〕求四面體N-BCM的體積.【解析】〔1〕由得，取的中點，連接，由為中點知.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.〔2〕因為平面，為的中點，所以到平面的距離為.取的