2024-2024年河南專升本高數(shù)真題及答案

2024年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀專科生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試?高等數(shù)學(xué)?試卷題號一二三四五六總分核分人分?jǐn)?shù)一.單項(xiàng)選擇題〔每題2分，共計(jì)50分〕在每題的備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi).不選、錯(cuò)選或多項(xiàng)選擇者，該題無分.1.集合的所有子集共有〔〕A.5B.6C.7解：子集個(gè)數(shù)。2.函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨.B.C.D.解：。3.當(dāng)時(shí)，與不等價(jià)的無窮小量是()A.B.C.D.解：根據(jù)常用等價(jià)關(guān)系知，只有與比較不是等價(jià)的。應(yīng)選A。4.當(dāng)是函數(shù)的〔〕A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)解：；。5.設(shè)在處可導(dǎo)，且，那么的值為〔〕A.-1B.-2C.-3D.解：。6.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有，那么在區(qū)間內(nèi)，圖形〔〕A．單調(diào)遞減且為凸的B．單調(diào)遞增且為凸的C．單調(diào)遞減且為凹的D．單調(diào)遞增且為凹的解：單調(diào)增加；凸的。應(yīng)選B。7.曲線的拐點(diǎn)是〔〕A.B.C.D.解：，應(yīng)選A。8.曲線的水平漸近線是〔〕A.B.C.D.解：。9.〔〕A.0B.C.2D.1解：。10.假設(shè)函數(shù)是的原函數(shù)，那么以下等式正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知，。應(yīng)選B。11.〔〕A.B.C.D.解：。12.設(shè)，那么〔〕A.-3B.-1C.1D.3解：。13.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解：由積分和積分的收斂性知，收斂，應(yīng)選C。14.對不定積分，以下計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤是〔〕A.B.C.D.解：分析結(jié)果，就能知道選擇C。15.函數(shù)在區(qū)間的平均值為〔〕A.B.C.8D.4解：。16.過軸及點(diǎn)的平面方程為〔〕A.B.C.D.解：經(jīng)過軸的平面可設(shè)為，把點(diǎn)代入得應(yīng)選C。也可以把點(diǎn)代入所給的方程驗(yàn)證，且不含。17.雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為〔〕A.B.C.D.解：把中換成得，應(yīng)選A。18.〔〕A.B.C.0D.極限不存在解：。19.假設(shè)，那么〔〕A.B.1C.D.0解：。20.方程所確定的隱函數(shù)為，那么〔〕A.B.C.D.解：令，應(yīng)選A。21.設(shè)為拋物線上從到的一段弧，那么〔〕A.-1B.0C解：：從0變到1，。22.以下正項(xiàng)級數(shù)收斂的是〔〕A.B.C.D.解：對級數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)有結(jié)論：當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。級數(shù)、與級數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定發(fā)散的，應(yīng)選C。23.冪級數(shù)的收斂區(qū)間為〔〕A.B.C.D.解：令，級數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24.微分特解形式應(yīng)設(shè)為〔〕A.B.C.D.解：不是特征方程的特征根，特解應(yīng)設(shè)為。應(yīng)選B。25.設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且，那么在處〔〕A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值解：有。得分評卷人二、填空題〔每題2分，共30分〕26.設(shè)，那么_________.解：。27.____________.解：構(gòu)造級數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件。28.假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，那么____________.解：。29.曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為________解：。30.設(shè)，那么_________解：。31.設(shè)，那么__________解：。32.假設(shè)函數(shù)在處取得極值2，那么______，_____解：；。33._________解：。34．_________解：。35.向量的模________解：。36.平面：與平面：垂直，那么______解：。37.設(shè)，那么________解：。38.，交換積分次序后，那么_______解：，所以次序交換后為。39.假設(shè)級數(shù)收斂，那么級數(shù)的和為_______解：，而，所以。40.微分方程的通解為________解：有二重特征根1，故通解為〔為任意常數(shù)〕。得分評卷人三、判斷題〔每題2分，共10分〕你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)劃“√〞，反之劃“×〞.41.假設(shè)數(shù)列單調(diào)，那么必收斂.()解：如數(shù)列單調(diào)，但發(fā)散，應(yīng)為×。42.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，那么一定不存在，使.()解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應(yīng)為×。43..()解：第二步不滿足或，是錯(cuò)誤的，事實(shí)上。應(yīng)為×。44..()解：因，由定積分保序性知：，應(yīng)為√。45.函數(shù)在點(diǎn)處可微是在處連續(xù)的充分條件.()解：在點(diǎn)處可微可得在點(diǎn)處連續(xù)，反之不成立，應(yīng)為應(yīng)為√。得分評卷人四、計(jì)算題〔每題5分，共40分〕46．求.解：。47.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：兩邊取自然對數(shù)得，〔1分〕兩邊對求導(dǎo)得：，〔3分〕即，〔4分〕故?！?分〕48.求不定積分.解：〔1分〕〔3分〕--〔4分〕。〔5分〕49.計(jì)算定積分.解：因，所以〔2分〕〔4分〕

?！?分〕50.設(shè)，且為可微函數(shù)，求.解：令，有，利用微分的不變性得〔3分〕〔4分〕〔5分〕51．計(jì)算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標(biāo)表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標(biāo)系系下為圖07-1，〔2分〕圖07-1故〔3分〕〔4分〕。〔5分〕52．將展開為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.解：因；〔2分〕。所以；。--〔3分〕故--〔4分〕。--〔5分〕53．求微分方程的通解.解：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，〔1分〕它對應(yīng)的齊次方程的通解為，〔2分〕設(shè)原方程有通解，代入方程得，即，--〔3分〕所以，〔4分〕故所求方程的通解為?！?分〕得分評卷人五、應(yīng)用題〔每題7分，共計(jì)14分〕54.某工廠欲建造一個(gè)無蓋的長方題污水處理池，設(shè)計(jì)該池容積為V立方米，底面造價(jià)每平方米元，側(cè)面造價(jià)每平方米元,問長、寬、高各為多少米時(shí)，才能使污水處理池的造價(jià)最低？解：設(shè)長方體的長、寬分別為，那么高為，又設(shè)造價(jià)為，〔1分〕由題意可得；〔3分〕而在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點(diǎn)，〔5分〕由題可知造價(jià)一定在內(nèi)部存在最小值，故就是使造價(jià)最小的取值，此時(shí)高為。所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時(shí)，工程造價(jià)最低。〔7分〕圖07-255.設(shè)平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：圖07-2〔1〕平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：平面圖形D如圖07-2所示：〔1分〕取為積分變量，且〔1〕平面圖形D的面積為〔3分〕?！?分〕〔2〕平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成旋轉(zhuǎn)體的體積為?！?分〕或。得分評卷人六、證明題〔6分〕56.假設(shè)在上連續(xù)，那么存在兩個(gè)常數(shù)與，對于滿足的任意兩點(diǎn)，證明恒有.證明：因在有意義，從而在上連續(xù)且可導(dǎo)，即在上滿足拉格朗日中值定理的條件，〔2分〕故存在，使得，〔3分〕又因在上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨設(shè)分別是最小值和最大值，從而時(shí)，有?！?分〕即，故?！?分〕2024年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)試卷題號一二三四五總分核分人分?jǐn)?shù)得分評卷人一.單項(xiàng)選擇題〔每題2分，共計(jì)60分〕在每題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi).不選、錯(cuò)選或多項(xiàng)選擇者，該題不得分.1.函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨.B.C.D.解：.2.〔〕A.1B.0C.D.解：.3.點(diǎn)是函數(shù)的()A.連續(xù)點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.可去間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)解:.4.以下極限存在的為〔〕A.B.C.D.解:顯然只有,其他三個(gè)都不存在,應(yīng)選B.5.當(dāng)時(shí)，是比的〔〕A．低階無窮小B．高階無窮小C．等階無窮小D.同階但不等價(jià)無窮小解:,.6.設(shè)函數(shù)，那么〔〕A．在處連續(xù)，在處不連續(xù)B．在處連續(xù)，在處不連續(xù)C．在，，處均連續(xù)D．在，，處均不連續(xù)解:在處連續(xù);在處不連續(xù);應(yīng)選A.7.過曲線上的點(diǎn)(0,1)處的法線方程為〔〕A.B.C.D.解:.8.設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，那么〔〕A.-1B.1C.-3D.3解：,應(yīng)選C.9.假設(shè)函數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.解：,應(yīng)選B.10.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，那么〔〕A.-2B.-1C.D.解：,應(yīng)選D.11.以下函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是〔〕A.B.C.D.解：驗(yàn)證羅爾中值定理的條件,只有滿足,應(yīng)選C.12.曲線的拐點(diǎn)是〔〕A.B.C.無拐點(diǎn)D.解:,應(yīng)選B.13.曲線〔〕A.只有水平漸進(jìn)線B.既有水平漸進(jìn)線又有垂直漸進(jìn)線C.只有垂直漸進(jìn)線D.既無水平漸進(jìn)線又無垂直漸進(jìn)線解：.14.如果的一個(gè)原函數(shù)是,那么〔〕A.B.C.D.解：,應(yīng)選D.15.()A.B.C.D.解:,應(yīng)選A.16.設(shè)，那么的取值范圍為()A.B.C.D.解:此題有問題,定積分是一個(gè)常數(shù),有,根據(jù)定積分的估值性質(zhì),有,但這個(gè)常數(shù)也在其它三個(gè)區(qū)間,都應(yīng)該正確,但真題中答案是B.17.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解:顯然應(yīng)選D.18.〔〕A.B.C.D.解：,應(yīng)選D.19.假設(shè)可導(dǎo)函數(shù)，，且滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：對兩邊求導(dǎo)有:,即有,還初始條件,代入得,應(yīng)選A.20.假設(shè)函數(shù)滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：令,那么,故有,應(yīng)選C.21.假設(shè)那么()ABCD解:,應(yīng)選C.22.直線與平面的位置關(guān)系為A.直線與平面斜交B.直線與平面垂直C.直線在平面內(nèi)D.直線與平面平行解：,而點(diǎn)(-2,-4,0)不在平面內(nèi),為平行,應(yīng)選D.23.〔〕A.2B.3C.1D.不存在解:,應(yīng)選A.24.曲面在點(diǎn)〔1，2，5〕處切平面方程〔〕A．B．C．D．解:令,,也可以把點(diǎn)〔1，2，5〕代入方程驗(yàn)證,應(yīng)選A.25.設(shè)函數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.解:,應(yīng)選B.26.如果區(qū)域D被分成兩個(gè)子區(qū)域和且，,那么()A.5B.4C.6D.1解:根據(jù)二重積分的可加性,,應(yīng)選C.27.如果是擺線從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧，那么()A.B.C.D.解:有此積分與路徑無關(guān),取直線段從變到0,那么,應(yīng)選C.28.以通解為〔為任意常數(shù)〕的微分方程為()A.B.C.D.解:,應(yīng)選B.29.微分方程的特解形式應(yīng)設(shè)為〔〕A.B.C.D.解:-1是單特征方程的根,是一次多項(xiàng)式,應(yīng)設(shè),應(yīng)選A.30．以下四個(gè)級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是〔〕A.B.C.D.解:級數(shù)的一般項(xiàng)的極限為,是發(fā)散的,應(yīng)選B.二、填空題〔每題2分，共30分〕31．的____________條件是.解：顯然為充要(充分且必要).32.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其曲線在區(qū)間內(nèi)的凹凸性為的.解：在內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)大于零,應(yīng)為凹的.33.設(shè)方程為常數(shù))所確定的隱函數(shù),那么_____.解：.34..解:.35..解：函數(shù)在區(qū)間是奇函數(shù)，所以.36.在空間直角坐標(biāo)系中,以為頂點(diǎn)的的面積為__.解：，所以的面積為.37.方程在空間直角坐標(biāo)下的圖形為__________.解:是橢圓柱面與平面的交線,為兩條平行直線.38.函數(shù)的駐點(diǎn)為.解:.39.假設(shè)，那么.解:.40.解:.41.直角坐標(biāo)系下的二重積分(其中為環(huán)域)化為極坐標(biāo)形式為___________________________.解：.42.以為通解的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為.解:由為通解知,有二重特征根-3,從而,微分方程為.43.等比級數(shù),當(dāng)_______時(shí)級數(shù)收斂,當(dāng)_______時(shí)級數(shù)發(fā)散.解:級數(shù)是等比級數(shù),當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂,當(dāng)時(shí),級數(shù)發(fā)散.44.函數(shù)展開為的冪級數(shù)為__________________解:.45.的斂散性為________的級數(shù).解:,級數(shù)發(fā)散.三、計(jì)算題〔每題5分，共40分〕46．求.解：.47.求.解：.48.,求.解：.49.計(jì)算不定積分.解：.50.求函數(shù)的全微分.解：利用微分的不變性,11211251．計(jì)算，其中是由所圍成的閉區(qū)域.解：積分區(qū)域如以下列圖:把區(qū)域看作Y型,那么有,故.52．求微分方程滿足初始條件的特解.解:這是一階線性非齊次微分方程,它對應(yīng)的齊次微分方程的通解為,設(shè)是原方程解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解為,把初始條件代入得:,故所求的特解為.53．求級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間(考慮區(qū)間端點(diǎn)).解：這是標(biāo)準(zhǔn)的不缺項(xiàng)的冪級數(shù),收斂半徑,而,故收斂半徑.當(dāng)時(shí),級數(shù)化為,這是調(diào)和級數(shù),發(fā)散的;當(dāng)時(shí),級數(shù)化為,這是交錯(cuò)級數(shù),滿足萊布尼茲定理的條件,收斂的;所以級數(shù)的收斂域?yàn)?得分評卷人四、應(yīng)用題〔每題7分，共計(jì)14分〕54.過曲線上一點(diǎn)作切線，是由曲線，切線及軸所圍成的平面圖形，求〔1〕平面圖形的面積;11〔2〕該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.11解：平面圖形D如以下列圖：因,所以切線的斜率,切線的方程為,即取為積分變量，且.〔1〕平面圖形D的面積為.〔2〕平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成旋轉(zhuǎn)體的體積為.55.一塊鐵皮寬為24厘米,把它的兩邊折上去,做成一正截面為等腰梯形的槽(如以以下列圖),要使梯形的面積最大,求腰長和它對底邊的傾斜角.解:梯形截面的下底長為,上底長為,高為,所以截面面積為,即,令得唯一駐點(diǎn).根據(jù)題意可知,截面的面積最大值一定存在,且在內(nèi)取得,又函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)可能的最值點(diǎn),因此可以斷定時(shí),截面的面積最大.得分評卷人五、證明題〔6分〕56.證明方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根.證明：構(gòu)造函數(shù),即有,顯然函數(shù)在區(qū)間連續(xù),且有,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知方程即在區(qū)間有至少有一實(shí)數(shù)根.另一方面,在區(qū)間內(nèi)恒小于零,有方程,即在區(qū)間有至多有一實(shí)數(shù)根.綜上所述,方程在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根.150614403060分值總分五四三二一題號第1頁〔共6頁〕高等數(shù)學(xué)試卷－2D.C.1A.2x→0B.12x6.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且imf)?f1?x)=?1，那么f150614403060分值總分五四三二一題號第1頁〔共6頁〕高等數(shù)學(xué)試卷－2D.C.1A.2x→0B.12x6.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且imf)?f1?x)=?1，那么f)=D.無窮間斷點(diǎn)C.跳躍間點(diǎn)B.可去間點(diǎn)A.連續(xù)點(diǎn)x，那么x=0是f(x)的5.設(shè)f(x)=ex?1D.C.ln1+x)3B. xsin2xA.2x2?x4.當(dāng)x→0時(shí)，以下無窮小量中與x等的是D.B.不存在C.0A.1?1x1|x?1|的值是3.極限limx?11?xD.f(x)=C.f(x)=n(x+ x2+1)x2B.f(x)=xtanxA.f(x)=2.以下函中為奇函數(shù)的是HYPERLINKhttp://www.exwwwex+?xD.y=|x|,y=x2C.y=x,y=(x)2xB.y= x2,y=xA.y=x,y=x2一、選擇題〔每題2分，共0在每題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。1.以下函相等的是本卷須知：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、考生號涂寫在答題卡上。本試卷的試題答案應(yīng)答在答題卡上,答在試卷上無效。2024年河南省普通高等學(xué)選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷第2頁〔共6頁〕22B.21?x2)2+C1D. 1?x2)2+CA.?21?x2)2+CC.?11?x2)2+C16.假設(shè)高等數(shù)學(xué)試卷第2頁〔共6頁〕22B.21?x2)2+C1D. 1?x2)2+CA.?21?x2)2+CC.?11?x2)2+C16.假設(shè)∫f(x)dx=x2+C，那么∫xf1?x2)dx=xx2A.B.?D.xlnxC.lnx1115.假設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是lnx，那么f(x)=B.既有最值又有最小值D.至少存在一點(diǎn)ξ，使得fξ)=0A.必有最大值或最小值C.既有極值又有極小值A(chǔ).函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn) B.函數(shù)的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)C.二階導(dǎo)非零的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)D.以上說法都不對14.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且不是常數(shù)函數(shù)，假設(shè)f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)13.以下說正確的選項(xiàng)是B.既有水又有垂直漸近線A.僅有水平漸近線無平無直漸線neaoD.僅垂?jié)u線.x12.曲線y=exD.(?∞,+∞)C.(0,+∞)B.(?∞,0)A.(?,2)1.曲線y=x4?4x2+6x的凸區(qū)間為D.無關(guān)條件C.充分必條件B.充分條件A.必要條件10.函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是其在該點(diǎn)處可導(dǎo)的D.C.B.A.e2x?exe2x+exe2x?e?xe2x+e?x9.d[e?xf(x)]=exdx，且f(0)=0，那么f(x)=2D.y=x?1C.y=x+1B.y=1A.x=24?x=ost8.曲線?在t= 對應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為π?y=int42x2D.C.1B.A.? xx11?37.設(shè)函數(shù)f(x)具有四階導(dǎo)數(shù)，且f′(x)= x，那么f(4)(x)=高等數(shù)學(xué)試卷第3頁〔共6頁〕A.0D.f′(a,b)C.f(a,b)B.2f(a,b)h23.設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處有偏導(dǎo)數(shù)，那么imh→0f(a+h,b)?f(a?h,b)=B.直線在面上D.相交但不垂直A.平行但直線不在平面上C.高等數(shù)學(xué)試卷第3頁〔共6頁〕A.0D.f′(a,b)C.f(a,b)B.2f(a,b)h23.設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處有偏導(dǎo)數(shù)，那么imh→0f(a+h,b)?f(a?h,b)=B.直線在面上D.相交但不垂直A.平行但直線不在平面上C.垂直?2 ?7 322.y+4=z與平面4x?2y?2z=3的位置關(guān)系是直線x+3=246D.C.B.A.0πππ21.設(shè)a=?,,},b=,,}，那么a與b的夾角為rrrC.旋轉(zhuǎn)拋面 D.圓柱面B.圓錐面A.球面20.程2+2?=0空直坐標(biāo)中示曲面D.C.xdx?3lnxxdx(lnx)2∫e∫e+∞+∞11xB.A.dxxlnxdx∫e∫e+∞1+∞lnx19.以下廣積分中收斂的是eeD.?∫1lnxdx?1lnxdxC.?∫1lnxdx+1lnxdxe1e1eeB.∫1lnxdx?1lnxdxA.∫1lnxdx+1lnxdxe1e1e18. |lnx|dx=∫1eD.x∫0edx<∫01+x)dxC.∫0ln1+x)dx<∫0xdx222222B.sinxdx<∫0xdx∫02A.∫1lnxdx>∫1(lnx)dx22ππ17.以下不式中不成立的是高等數(shù)學(xué)試卷第4頁〔共6頁〕D.無法確定C.發(fā)散B.絕對收斂A.條件收斂n130.級數(shù) a(x?)n在x=1處收斂，那么此級數(shù)在x=2處∑n∞2 32 3D.?x+ ? +L，?1≤x<1C.?x? ? ?L，?1≤x<1x3x2x3x22 32 3B.x? + ?L，?1<高等數(shù)學(xué)試卷第4頁〔共6頁〕D.無法確定C.發(fā)散B.絕對收斂A.條件收斂n130.級數(shù) a(x?)n在x=1處收斂，那么此級數(shù)在x=2處∑n∞2 32 3D.?x+ ? +L，?1≤x<1C.?x? ? ?L，?1≤x<1x3x2x3x22 32 3B.x? + ?L，?1<x≤1A.x+ + +L，?1<x≤1x3x2x3x229.函數(shù)f(x)=ln1?x)的冪級數(shù)展開式為n1n1n1unn110nC.A.D. (u?10)+10)∑ n∑10∑un∞∞∞B.∑(u∞n128.假設(shè)級數(shù)∑un收斂，那么以下級數(shù)中收斂的是∞dxyD.+2y=eC. dx+e dy=0x+x2y2dyxxdx xA.= +tanB.(x2+y2)dx?2xydy=0ydy yD.20C.8B.0A.?827.列程，可離量方程.ABCA，那么∫L3x?y)dx+(x?2y)dy=26.設(shè)L是以(?,0),B(?,2),C,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域的邊界，方向?yàn)?0D.∫2dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdraπ00f(rcosθ,rsinθ)rdrC.∫2dθ∫asinθπB.∫0dθ∫0 f(rcosθ,rsinθ)rdrcosθ2πA.∫0dθ∫0f(rcosθ,rsinθ)rdra2πf(x,y)dx化為極坐標(biāo)形式為25.∫0dy∫0aa2?y2(x?y)2(x?y)2D.C.(x?y)2(xdy?ydx)(x?y)2(ydx?xdy)B.A.(ydy?xdx)(xdx?ydy)x?y的全微分dz=24.函數(shù)z=x+y高等數(shù)學(xué)試卷第5頁〔共6頁〕n1nn345.級數(shù)∑un的局部和S=n，那么當(dāng)n≥2時(shí)，u=_ .∞4解為 .44.y=?1xe?x是微分方程y′?2高等數(shù)學(xué)試卷第5頁〔共6頁〕n1nn345.級數(shù)∑un的局部和S=n，那么當(dāng)n≥2時(shí)，u=_ .∞4解為 .44.y=?1xe?x是微分方程y′?2y′?3y=e?x的一個(gè)特解那么該方程的通43.交換積次序后，∫0dx∫x f(x,y)dy=_ .x1D42.設(shè)區(qū)域D為x2+y2≤9，那么∫∫x2ydσ=_ .41.函數(shù)f(x,y)=2x2+xy?2y2的駐點(diǎn)為 .x240.設(shè)z=ex+y，那么 = .22?2zr39.設(shè)向量b與r=,,}共線，且a?b=6，那么b=_ _.rrr2n38.知f(0)=,f(2)=,(2)=4那么0xf(x)x=..37.函數(shù)f(x)=x? x的單調(diào)減少區(qū)間是 .的ξ= .36.函數(shù)f(x)=x2?x?2在區(qū)間[0,2]上使用拉格朗日中值定理時(shí)，結(jié)論中1+x在〔2,2〕點(diǎn)處的切線方程為 .35.曲線y=3xx=0?x?a,x≠0在?,+∞)內(nèi)處處連續(xù)，那么a= .,34.設(shè)函數(shù)f(x)=??sinxx?a??=8，那么a=_ _.33.假設(shè)lim?x→∞?2?x+a?xx→0xsinx=_ .32.當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與1?cosx等價(jià)，那么limf(x)1?x，那么f[f(x)]= .31.f(x)=x二、填空題〔每題2分，共0PAGE第71頁共72頁高等數(shù)學(xué)試卷第6頁〔共6頁〕f(x)>0，證明在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，方程F(x)=0有唯一實(shí)根.56.設(shè)F(x)高等數(shù)學(xué)試卷第6頁〔共6頁〕f(x)>0，證明在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，方程F(x)=0有唯一實(shí)根.56.設(shè)F(x)=∫aft)dt+∫bft)dt其中函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且xx1五、證明題〔6分〕求D繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.6?x,x>2，f(x)=??x2, x≤255.設(shè)D由曲線y=f(x)與直線y=0，y=3圍成的區(qū)域，其中件，增加三墻長多時(shí)其長小.54.靠一堵分長的墻邊增加三面墻圍成一矩形場地在限定場地面積為42的四、應(yīng)用題〔每題7分，共4n12n53.求冪級數(shù)∑ x2n的收斂區(qū)間〔考慮區(qū)間的端點(diǎn)〕.n∞52.求微分程y′?2xy=xe?x的通解.251.求∫∫(2x+y)dσ，其中區(qū)域D由直線y=x,y=2x,y=2圍成.D50.，求全微分dz.z=ex+xy?y2249.求∫?4x(x?)dx.4f(x)dx.48.∫xf(x)dx=e?2x+C，求∫1dx47.設(shè)y=f(x)是由方程exy+ylnx=sin2x確定的隱函數(shù)，求dy.x→0?xex?1??.46.求lim? ??1?1三、計(jì)算題〔每題5分，共02024年河南省普通高等學(xué)選拔優(yōu)秀?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試?高等數(shù)學(xué)?試卷一.單項(xiàng)選擇題〔每題2分，共計(jì)50分〕1.集合的所有子集共有〔〕A.5B.6C.7解：子集個(gè)數(shù)。2.函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨.B.C.D.解：。3.當(dāng)時(shí)，與不等價(jià)的無窮小量是()A.B.C.D.解：根據(jù)常用等價(jià)關(guān)系知，只有與比較不是等價(jià)的。應(yīng)選A。4.當(dāng)是函數(shù)的〔〕A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)解：；。5.設(shè)在處可導(dǎo)，且，那么的值為〔〕A.-1B.-2C.-3解：。6.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有，那么在區(qū)間內(nèi)，圖形〔〕A．單調(diào)遞減且為凸的B．單調(diào)遞增且為凸的C．單調(diào)遞減且為凹的D．單調(diào)遞增且為凹的解：單調(diào)增加；凸的。應(yīng)選B。7.曲線的拐點(diǎn)是〔〕A.B.C.D.解：，應(yīng)選A。8.曲線的水平漸近線是〔〕A.B.C.D.解：。9.〔〕A.0B.C.2D.1解：。10.假設(shè)函數(shù)是的原函數(shù)，那么以下等式正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知，。應(yīng)選B。11.〔〕A.B.C.D.解：。12.設(shè)，那么〔〕A.-3B.-1C.1D.3解：。13.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解：由積分和積分的收斂性知，收斂，應(yīng)選C。14.對不定積分，以下計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤是〔〕A.B.C.D.解：分析結(jié)果，就能知道選擇C。15.函數(shù)在區(qū)間的平均值為〔〕A.B.C.8D.4解：。16.過軸及點(diǎn)的平面方程為〔〕A.B.C.D.解：經(jīng)過軸的平面可設(shè)為，把點(diǎn)代入得應(yīng)選C。也可以把點(diǎn)代入所給的方程驗(yàn)證，且不含。17.雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為〔〕A.B.C.D.解：把中換成得，應(yīng)選A。18.〔〕A.B.C.0D.極限不存在解：。19.假設(shè)，那么〔〕A.B.1C.解：。20.方程所確定的隱函數(shù)為，那么〔〕A.B.C.D.解：令，應(yīng)選A。21.設(shè)為拋物線上從到的一段弧，那么〔〕A.-1B.0C.解：：從0變到1，。22.以下正項(xiàng)級數(shù)收斂的是〔〕A.B.C.D.解：對級數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數(shù)有結(jié)論：當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。級數(shù)、與級數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定發(fā)散的，應(yīng)選C。23.冪級數(shù)的收斂區(qū)間為〔〕A.B.C.D.解：令，級數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24.微分特解形式應(yīng)設(shè)為〔〕A.B.C.D.解：不是特征方程的特征根，特解應(yīng)設(shè)為。應(yīng)選B。25.設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且，那么在處〔〕A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值解：有。得分評卷人二、填空題〔每題2分，共30分〕26.設(shè)，那么_________.解：。27.____________.解：構(gòu)造級數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件。28.假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，那么____________.解：。29.曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為________解：。30.設(shè)，那么_________解：。31.設(shè)，那么__________解：。32.假設(shè)函數(shù)在處取得極值2，那么______，_____解：；。33._________解：。34．_________解：。35.向量的模________解：。36.平面：與平面：垂直，那么______解：。37.設(shè)，那么________解：。38.，交換積分次序后，那么_______解：，所以次序交換后為。39.假設(shè)級數(shù)收斂，那么級數(shù)的和為_______解：，而，所以。40.微分方程的通解為________解：有二重特征根1，故通解為〔為任意常數(shù)〕。得分評卷人三、判斷題〔每題2分，共10分〕你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)劃“√〞，反之劃“×〞.41.假設(shè)數(shù)列單調(diào)，那么必收斂.()解：如數(shù)列單調(diào)，但發(fā)散，應(yīng)為×。42.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，那么一定不存在，使.()解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應(yīng)為×。43..()解：第二步不滿足或，是錯(cuò)誤的，事實(shí)上。應(yīng)為×。44..()解：因，由定積分保序性知：，應(yīng)為√。45.函數(shù)在點(diǎn)處可微是在處連續(xù)的充分條件.()解：在點(diǎn)處可微可得在點(diǎn)處連續(xù)，反之不成立，應(yīng)為應(yīng)為√。得分評卷人四、計(jì)算題〔每題5分，共40分〕46．求.解：。47.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：兩邊取自然對數(shù)得，〔1分〕兩邊對求導(dǎo)得：，〔3分〕即，〔4分〕故?！?分〕48.求不定積分.解：〔1分〕〔3分〕--〔4分〕?！?分〕49.計(jì)算定積分.解：因，所以〔2分〕〔4分〕

。〔5分〕50.設(shè)，且為可微函數(shù)，求.解：令，有，利用微分的不變性得〔3分〕〔4分〕〔5分〕51．計(jì)算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標(biāo)表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標(biāo)系系下為圖07-1，〔2分〕圖07-1故〔3分〕〔4分〕?！?分〕52．將展開為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.解：因；〔2分〕。所以；。--〔3分〕故--〔4分〕。--〔5分〕53．求微分方程的通解.解：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，〔1分〕它對應(yīng)的齊次方程的通解為，〔2分〕設(shè)原方程有通解，代入方程得，即，--〔3分〕所以，〔4分〕故所求方程的通解為?！?分〕得分評卷人五、應(yīng)用題〔每題7分，共計(jì)14分〕54.某工廠欲建造一個(gè)無蓋的長方題污水處理池，設(shè)計(jì)該池容積為V立方米，底面造價(jià)每平方米元，側(cè)面造價(jià)每平方米元,問長、寬、高各為多少米時(shí)，才能使污水處理池的造價(jià)最低？解：設(shè)長方體的長、寬分別為，那么高為，又設(shè)造價(jià)為，〔1分〕由題意可得；〔3分〕而在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點(diǎn)，〔5分〕由題可知造價(jià)一定在內(nèi)部存在最小值，故就是使造價(jià)最小的取值，此時(shí)高為。所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時(shí)，工程造價(jià)最低?！?分〕圖07-255.設(shè)平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：圖07-2〔1〕平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：平面圖形D如圖07-2所示：〔1分〕取為積分變量，且〔1〕平面圖形D的面積為〔3分〕?！?分〕〔2〕平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成旋轉(zhuǎn)體的體積為?！?分〕或。得分評卷人六、證明題〔6分〕56.假設(shè)在上連續(xù)，那么存在兩個(gè)常數(shù)與，對于滿足的任意兩點(diǎn)，證明恒有.證明：因在有意義，從而在上連續(xù)且可導(dǎo)，即在上滿足拉格朗日中值定理的條件，〔2分〕故存在，使得，〔3分〕又因在上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨設(shè)分別是最小值和最大值，從而時(shí)，有?！?分〕即，故?！?分〕河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)試卷題號一二三四五總分核分人分?jǐn)?shù)得分評卷人一.單項(xiàng)選擇題〔每題2分，共計(jì)60分〕在每題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其代碼寫在題干后面的括號內(nèi).不選、錯(cuò)選或多項(xiàng)選擇者，該題不得分.1.函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨.B.C.D.解：.2.〔〕A.1B.0C.D.解：.3.點(diǎn)是函數(shù)的()A.連續(xù)點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.可去間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)解:.4.以下極限存在的為〔〕A.B.C.D.解:顯然只有,其他三個(gè)都不存在,應(yīng)選B.5.當(dāng)時(shí)，是比的〔〕A．低階無窮小B．高階無窮小C．等階無窮小D.同階但不等價(jià)無窮小解:,.6.設(shè)函數(shù)，那么〔〕A．在處連續(xù)，在處不連續(xù)B．在處連續(xù)，在處不連續(xù)C．在，，處均連續(xù)D．在，，處均不連續(xù)解:在處連續(xù);在處不連續(xù);應(yīng)選A.7.過曲線上的點(diǎn)(0,1)處的法線方程為〔〕A.B.C.D.解:.8.設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，那么〔〕A.-1B.1C.解：,應(yīng)選C.9.假設(shè)函數(shù)，那么〔〕A.B.C.D.解：,應(yīng)選B.10.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，那么〔〕A.-2B.-1C.D.解：,應(yīng)選D.11.以下函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是〔〕A.B.C.D.解：驗(yàn)證羅爾中值定理的條件,只有滿足,應(yīng)選C.12.曲線的拐點(diǎn)是〔〕A.B.C.無拐點(diǎn)D.解:,應(yīng)選B.13.曲線〔〕A.只有水平漸進(jìn)線B.既有水平漸進(jìn)線又有垂直漸進(jìn)線C.只有垂直漸進(jìn)線D.既無水平漸進(jìn)線又無垂直漸進(jìn)線解：.14.如果的一個(gè)原函數(shù)是,那么〔〕A.B.C.D.解：,應(yīng)選D.15.()A.B.C.D.解:,應(yīng)選A.16.設(shè)，那么的取值范圍為()A.B.C.D.解:此題有問題,定積分是一個(gè)常數(shù),有,根據(jù)定積分的估值性質(zhì),有,但這個(gè)常數(shù)也在其它三個(gè)區(qū)間,都應(yīng)該正確,但真題中答案是B.17.以下廣義積分收斂的是〔〕A.B.C.D.解:顯然應(yīng)選D.18.〔〕A.B.C.D.解：,應(yīng)選D.19.假設(shè)可導(dǎo)函數(shù)，，且滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：對兩邊求導(dǎo)有:,即有,還初始條件,代入得,應(yīng)選A.20.假設(shè)函數(shù)滿足，那么〔〕A.B.C.D.解：令,那么,故有,應(yīng)選C.21.假設(shè)那么()ABCD解:,應(yīng)選C.22.直線與平面的位置關(guān)系為A.直線與平面斜交B.直線與平面垂直C.直線在平面內(nèi)