數(shù)學(xué)（理）易錯(cuò)知識(shí)清單

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)理科數(shù)學(xué)一、集合與常用邏輯用語(yǔ)易錯(cuò)知識(shí)清單1.集合的概念與運(yùn)算（1）解題時(shí)要明確集合中元素的特征，擔(dān)心集合的代表元素（集合是點(diǎn)集、數(shù)集還是圖形集）.（2）集合中的元素具有決定性、無(wú)序性和互異性，在求解有關(guān)集合的問(wèn)題時(shí)，尤其要注重元素的互異性.（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要時(shí)刻注重對(duì)空集的研究，防止漏解.（4）解題時(shí)注重區(qū)別兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系.（5）Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是舉行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用主意，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要異常注重端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.（6）處理集合問(wèn)題時(shí)，一定要注重檢驗(yàn)結(jié)果是否與題設(shè)相矛盾.2.命題及其關(guān)系、充足條件與須要條件（1）當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫(xiě)出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提.（2）判斷命題的真假及寫(xiě)四種命題時(shí)，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫(xiě)成“若則q”的形式.（3）判斷條件之間的關(guān)系時(shí)要注重條件之間關(guān)系的方向，準(zhǔn)確理解“p的一個(gè)充足而不須要條件是q”等語(yǔ)言.3.容易的邏輯聯(lián)結(jié)詞、命題的一定與否命題（1）p∨q為真命題，只需p、q有一個(gè)為真即可;p∧q為真命題，必須p、q同時(shí)為真.（2）p或q的一定：非p且非q;p且q的一定:非p或非q.（3）命題的一定與否命題：“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分離加以一定而得到的命題，它既一定其條件，又一定其結(jié)論;“命題的一定”即“非p”，只是一定命題p的結(jié)論.二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯(cuò)知識(shí)清單1.分段函數(shù)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，要先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.2.函數(shù)的單調(diào)性與最值（1）區(qū)別兩個(gè)概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者是指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不一定是囫圇定義域，可能是定義域的子集，但一定是延續(xù)的.（3）函數(shù)的額單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)1但在囫圇定義域上不一定是單調(diào)函數(shù)，如函數(shù)y=x在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，但在定義域上不具有單調(diào)性.（4）若函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個(gè)區(qū)間要分開(kāi)寫(xiě)，不能寫(xiě)成并集.例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1，0)上是減函數(shù)，在（0，1）上也是減函數(shù)，但在(-1，0)∪(0，1)上卻不一定是減函數(shù)，如函數(shù)f(x)1x.3.函數(shù)的奇偶性與周期性（1）f(0)=0既不是函數(shù)f(x)是奇函數(shù)的充足條件，也不是須要條件.（2）判斷分段函數(shù)的奇偶性要有整體的觀點(diǎn)，可以分類(lèi)研究，也可以利用圖象舉行判斷.4.二次函數(shù)與冪函數(shù)（1）對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿(mǎn)意a≠0，當(dāng)題目條件未說(shuō)明a≠0時(shí)，就要研究a=0和a≠0兩種情況.（2）冪函數(shù)的圖象一定會(huì)浮上在第一象限，一定不會(huì)浮上在第四象限，至于是否浮上在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多能同時(shí)浮上在兩個(gè)象限內(nèi);倘若冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).5.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不決定時(shí)，單調(diào)性不明確，從而無(wú)法決定其最值，故應(yīng)分a>1和0<a<1兩種情況研究.（2）解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問(wèn)題時(shí)，要熟練控制指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，弄清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，利用換元法求解時(shí)要注重“新元”的取值范圍.（3）對(duì)可化為a2xbaxc0或a2xbaxc0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)注重?fù)Q元后“新元”的范圍.6.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（1）在運(yùn)用性質(zhì)logaMlogaM(a>0，且a≠1)時(shí)，要異常注重條件M>0，在無(wú)M>0的條件下應(yīng)為logaMlogaM|(α為偶數(shù)).（2）指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.（3）解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注重兩點(diǎn)：①必須先研究函數(shù)的定義域;②注重對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍.7.函數(shù)的圖象（1）函數(shù)圖象的每次變換都是針對(duì)自變量“x”而言，如從f(-2x)的圖象到f(-2x+1)的圖象是向右平移12個(gè)單位，即把x變成x-12.（2）當(dāng)圖形不能確切地說(shuō)明問(wèn)題時(shí)，可借助“數(shù)”確實(shí)切性舉行求解，解題過(guò)程中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.8.函數(shù)與方程（1）函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)=0的根，也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)橫坐標(biāo).（2）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充足條件，而不是須要條件;判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性或結(jié)合函數(shù)圖象.9.函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤.所以要準(zhǔn)確理解題意，挑選適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.（2）要異常擔(dān)心實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理決定函數(shù)的定義域.（3）注重問(wèn)題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.10.導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（1）利用公式求導(dǎo)時(shí)要異常注重除法公式中分子中的符號(hào)，防止與乘法公式混淆.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確分解函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).（2）求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過(guò)點(diǎn)P的切線的區(qū)別，前者惟獨(dú)一條，而后者包括了前者.（3）曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定惟獨(dú)一個(gè).11.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問(wèn)題直觀且有條理，減小失分的可能性.（2）求函數(shù)最值時(shí)，不可想固然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)仔細(xì)比較才干下結(jié)論.（3）解題時(shí)要注重區(qū)別求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問(wèn)題，處理好f′(x)=0時(shí)的情況;區(qū)別極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn).12.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（1）若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，而不是f′(x)>0(f′(x)=0在有限個(gè)點(diǎn)處取到).（2）利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，要注重問(wèn)題的實(shí)際意義.13.定積分（1）被積函數(shù)若含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去絕對(duì)值符號(hào)，再分段積分.（2）若定積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰(shuí)是積分變量.（3）定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.（4）定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注重面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù).（5）將要求面積的圖形舉行科學(xué)而確切地劃分，可使面積的求解變得簡(jiǎn)捷.三、數(shù)列易錯(cuò)知識(shí)清單1.數(shù)列的概念及容易表示法（1）數(shù)列是一種異常的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注重自變量的取值，如數(shù)列anf(n))和函數(shù)yf(x)的單調(diào)性是不同的.（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一.2.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（1）當(dāng)公差d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d=0時(shí)，an為常數(shù).朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)（2）公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和sn是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.3.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（1）注重等比數(shù)列中的分類(lèi)研究.（2）由an1qan(q≠0)，并不能判斷數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1是否為0.4.數(shù)列求和（1）直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注重公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)公比是否為1舉行分類(lèi)研究.（2）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，注重看見(jiàn)未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)；結(jié)論中形如an，an+1的式子要合并.（3）在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注重消項(xiàng)的邏輯具有對(duì)稱(chēng)性，即前剩多少項(xiàng)后剩多少項(xiàng).四、三角函數(shù)易錯(cuò)知識(shí)清單1.隨意角的三角函數(shù)（1）注重易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角.第一類(lèi)是象限角，第二類(lèi)、第三類(lèi)是區(qū)間角.（2）角度制與弧度制可利用180°=πrad舉行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.（3）已知三角函數(shù)值的符號(hào)決定角的終邊位置時(shí)不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式（1）利用誘導(dǎo)公式舉行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化隨意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟為：去負(fù)—脫周—化銳.要異常注重函數(shù)名稱(chēng)和符號(hào)的決定.（2）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要異常注重判斷符號(hào).（3）注重求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化.3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，要先在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要研究參數(shù)對(duì)最值的影響.（2）要注重求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)ω的符號(hào)，盡量化成ω>0時(shí)的情況.（3）三角函數(shù)的最值不一定在自變量區(qū)間的端點(diǎn)處取得，直接將兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值作為最值是錯(cuò)誤的.4.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用（1）由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象，如先伸縮，再平移時(shí)，要把x前面的系數(shù)提取出來(lái).（2）復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的決定，基本思想是把ωx+φ看作一個(gè)整體.若ω<0，要先按照誘導(dǎo)公式舉行轉(zhuǎn)化.（3）求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t=ωx+φ的范圍，再結(jié)合圖象得y=Asint的值域，即得原函數(shù)的最值.5.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)”與“（1）運(yùn)用公式時(shí)注重審查公式成立的條件，要注重和、差、倍角的相對(duì)性，要注重升次、降次的靈便運(yùn)用，要注重“1”的各種變通.（2）在（0，π ）范圍內(nèi)，sin(α+β)=22所對(duì)應(yīng)的角α+β不是唯一的.（3）在三角求值時(shí)，往往要預(yù)計(jì)角的范圍后再求值.6.容易的三角恒等變換（1）利用輔助角公式asinx+bcosx舉行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要鄭重對(duì)照和、差公式，防止弄錯(cuò)輔助角.（2）計(jì)算形如y=sin(ωx+φ)，x∈[a，b]的函數(shù)最值時(shí)，不要將ωx+φ的范圍和x的范圍混淆.7.正弦定理、余弦定理（1）在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，可能浮上一解、兩解、無(wú)解的情況，所以要舉行分類(lèi)研究.（2）利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注重三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.8.三角形的實(shí)際應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)碰到空間與平面（地面）同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清晰又不容易弄錯(cuò).五、不等式易錯(cuò)知識(shí)清單1.不等關(guān)系與不等式（1）a>bac>bc或a<bac<bc，當(dāng)c≤0時(shí)不成立.（2）a>b1<1或a<b1>1，當(dāng)ab≤0時(shí)不成立.abab（3）a>ban>bn，對(duì)于正數(shù)a、b才成立.>1a>b，對(duì)于正數(shù)a、b才成立.（4）b（5）注重不等式性質(zhì)中“ ”的區(qū)別，如a>b，b>c a>c，反過(guò)來(lái)a>c，不能推出a>b，b>c.（6）作商法比較大小時(shí)，要注重兩式的符號(hào).（7）求范圍問(wèn)題時(shí)，倘若多次利用不等式，則可能擴(kuò)大變量的取值范圍.2.不等式的解法及應(yīng)用（1）對(duì)于不等式ax2+bx+c>0，求解時(shí)不要忘懷研究a=0時(shí)的情況.（2）當(dāng) <0時(shí)，要注重區(qū)別ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是空集.（3）對(duì)于含參數(shù)的不等式要注重選好分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目研究.（4）注重用“根軸法”解整式不等式的注重事項(xiàng)及解分式不等式f(x)>a(a≠0)的普通思路g(x)——移項(xiàng)通分.（5）求解含參數(shù)不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類(lèi)研究是關(guān)鍵”.注重：求解完之后要寫(xiě)上“綜上，原不等式的解集是……”;若按參數(shù)研究，最后應(yīng)按參數(shù)朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)取值分離說(shuō)明其解集;若按未知數(shù)研究，最后應(yīng)求并集.提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后必須用集合的形式表示;②不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式存心義范圍的端點(diǎn)值.（6）解決恒成立問(wèn)題一定要弄清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù).普通地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).3.二元一次不等式（組）與容易的線性計(jì)劃問(wèn)題（1）畫(huà)二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域時(shí)，避免錯(cuò)誤的重要主意就是使二元一次不等式（組）標(biāo)準(zhǔn)化.z（2）通過(guò)求直線的截距b的最值間接的求z的最值時(shí)，要注重：當(dāng)b>0時(shí)，若截距b取最大值，則z也取最大值，若截距z取最小值，則z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，若截距z取最bbz大值，則z取最小值，若截距b取最小值，則z取最大值.4.基本不等式及其應(yīng)用（1）利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注重“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可.（2）延續(xù)使用基本不等式求最值時(shí)要求每次等號(hào)成立的條件一致.（3）對(duì)實(shí)際問(wèn)題，在審題和建模時(shí)一定不可忽略對(duì)目標(biāo)函數(shù)定義域確實(shí)切挖掘.普通地，每個(gè)表示實(shí)際意義的代數(shù)式必須為正，由此可得自變量的取值范圍，然后利用基本不等式求最值.六、平面向量易錯(cuò)知識(shí)清單1.平面向量的概念及線性運(yùn)算（1）求解向量的概念問(wèn)題時(shí)要注重兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；二是要考慮零向量是否也滿(mǎn)意條件.要異常注重零向量的異常性.（2）在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得的向量是所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.（3）兩個(gè)向量共線有方向相同、相反兩種情況，要考慮全面.2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）要區(qū)別點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息.（2）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成x1=y1，因?yàn)閤2,y2有可能等于0，x2 y2所以應(yīng)該表示為x1y2-x2y1=0.（3）使用平面向量基本定理時(shí)一定要注重兩個(gè)基底向量不共線.3.平面向量的數(shù)量積（1）對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律要確切理解、應(yīng)用.例如,a·b=a·c（a≠0）不能得出b=c,因?yàn)閮蛇叢荒芡瑫r(shí)約去向量a.（2）若兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有a·b>0,反之不成立;若兩個(gè)向量的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立.4.平面向量應(yīng)用舉例（1）注重向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià).朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)（2）注重向量共線和兩直線平行的關(guān)系.（3）利用向量求解解析幾何中的平行與垂直問(wèn)題，可有效避免因斜率不存在使問(wèn)題漏解的情況.七、立體幾何易錯(cuò)知識(shí)清單1.三視圖與直觀圖（1）三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和鳥(niǎo)瞰圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和鳥(niǎo)瞰圖一樣寬，即“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”.（2）解決有關(guān)“斜二測(cè)畫(huà)法”問(wèn)題時(shí)，普通在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱(chēng)中央為原點(diǎn)，注重兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系.（3）若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注重實(shí)、虛線的畫(huà)法．（4）決定正視、側(cè)視、鳥(niǎo)瞰的方向，看見(jiàn)同一物體方向不同，所畫(huà)的三視圖也不同．2.空間幾何體的表面積（1）求組合體的表面積時(shí)，要注重各幾何體重疊部分的處理．（2）底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò).3.空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系（1）準(zhǔn)確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在一個(gè)平面內(nèi)”．（2）不共線的三點(diǎn)決定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”的條件．（3）兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°].4.直線、平面平行的判定與性質(zhì)（1）在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)浮上錯(cuò)誤．（2）在解決線面、面面平行的判定時(shí)，普通遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序則恰好相反，但也要注重，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的詳細(xì)條件而定，決不可過(guò)于“模式化”．（3）解題中注重符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.5.直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（1）在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注重直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注重線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．（2）面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要根據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可.6.空間向量及其應(yīng)用（1）求異面直線所成的角，普通可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注重兩種角的范圍不同，最后應(yīng)舉行轉(zhuǎn)化.（2）用向量主意證實(shí)直線a∥b，只需證實(shí)向量a=λb(λ∈R）即可.若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證實(shí)線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.（3）利用向量求角，一定要注重將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角．因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同．（4）求點(diǎn)到平面的距離，偶爾利用等體積法求解可能更方便．（5）求二面角要按照?qǐng)D形決定所求角是銳角還是鈍角.朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)八、解析幾何易錯(cuò)知識(shí)清單1.直線方程（1）明確直線方程各種形式的適用條件:點(diǎn)斜式、斜截式方程適用于與x軸不垂直的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x軸、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線．（2）截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)可為零，在求解與截距有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注重研究截距是否為零．（3）求直線方程時(shí)，若不能判斷直線是否存在斜率，則應(yīng)分類(lèi)研究，即應(yīng)對(duì)斜率是否存在加以研究.（4）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的傾斜角為2，而不是不存在；當(dāng)直線與y軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為0，而不是π.2.兩直線位置關(guān)系（1）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先分析直線的斜率是否存在.若兩條直線的斜率都存在，則可按照判定定理判斷兩條直線的位置關(guān)系，若任一條直線的斜率不存在，則要單獨(dú)考慮.（2）在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d=C1C2 時(shí)，一定要注重將兩方程中x,y的系數(shù)化A2B2為相同的形式.3.圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的普通方程都含有三個(gè)自立的參數(shù)，因此，決定一個(gè)圓的方程需要三個(gè)自立的條件．（2）過(guò)圓外一定點(diǎn)求圓的切線，必有兩條.若只求出一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否準(zhǔn)確外，還應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況.4.圓錐曲線的方程和性質(zhì)（1）區(qū)別橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的主意是比較標(biāo)準(zhǔn)方程中x2與y2的分母大?。?）注重橢圓的范圍，若設(shè)橢圓x2y21（a>b>0）點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y)，則｜x｜≤a,這往a2 b2往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問(wèn)題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的緣故.（3）區(qū)別雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c大小關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.（4）雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0,1)．（5）雙曲線x2y2＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±bx，y2x2＝1(a>0，b>0)的漸aa2b2a2b2a近線方程是y＝y(tǒng)x.b（6）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)普通用待定系數(shù)法求出p值，但要先判斷拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及是哪一種標(biāo)準(zhǔn)方程．朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)（7）注重應(yīng)用拋物線的定義解決問(wèn)題．（8）求軌跡方程時(shí)，要注重曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面舉行：一是方程的變形是否是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意義．（9）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求.求點(diǎn)的軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后按照方程說(shuō)明點(diǎn)的軌跡的形狀、位置、大小等．5.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系（1）直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，其位置關(guān)系不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn).（2）在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要異常注重直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行的異常情.（3）若利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算問(wèn)題，在設(shè)直線斜率時(shí)要注重說(shuō)明斜率不存在的情況．（4）對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”求解，但不要忘懷驗(yàn)證>0或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部．九、計(jì)數(shù)原理易錯(cuò)知識(shí)清單1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以決定需要分類(lèi)還是需要分步舉行．（2）分類(lèi)的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要準(zhǔn)確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類(lèi)，確切分步．（3）決定題目中是否有異常條件限制．2.羅列與組合（1）解羅列與組合綜合題普通是先選后排，或充足利用元素的性質(zhì)舉行分類(lèi)、分步，然后利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理做最后處理．（2）解受條件限制的組合題時(shí)，通常用直接法(合理分類(lèi))和間接法(排除法)來(lái)解決.分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免浮上重復(fù)或遺漏現(xiàn)象．（3）對(duì)于挑選題要謹(jǐn)慎處理，注重答案的不同等價(jià)形式.處理挑選題可采用排除法，錯(cuò)誤的答案會(huì)有重復(fù)或遺漏現(xiàn)象.3.二項(xiàng)式定理（1）項(xiàng)的系數(shù)與n和a，b的值有關(guān)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，且大于0(n為項(xiàng)數(shù)).（2）求二項(xiàng)式系數(shù)的和，可采用“賦值法”．（3）關(guān)于組合式的證實(shí)，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的兩種不同算法．（4）展開(kāi)式中第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第k＋1項(xiàng)的系數(shù)普通是不相同的.在詳細(xì)求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，普通先決定符號(hào)，再?zèng)Q定數(shù)值；決定符號(hào)時(shí)對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要仔細(xì)，以防出錯(cuò).十、概率與統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)知識(shí)清單1.隨機(jī)事件的概率（1）準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的異常情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的須要不充足條件．朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)（2）需確切理解題意，異常留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語(yǔ)句的含義.2.古典概型（1）古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注重在計(jì)算基本領(lǐng)件總數(shù)和事件包括的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)時(shí)，它們是不是等可能的．（2）概率的普通加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．提醒：①公式的作用是求A∪B的概率，當(dāng)A∩B＝ 時(shí)，A、B互斥，此時(shí)P(A∩B)＝0，所P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要計(jì)算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是決定事件A∩B，并求其概率；③該公式可以看作一個(gè)方程，知三可求一.3.幾何概型（1）確切控制幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵.（2）幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.4.二項(xiàng)分布（1）運(yùn)用公式P(AB)=P(A)P(B)時(shí)一定要注重公式成立的條件，惟獨(dú)當(dāng)事件A、B互相自立時(shí)，公式才成立.（2）自立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，每一次實(shí)驗(yàn)惟獨(dú)兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等.注重恰好與至多（少）的關(guān)系，靈便運(yùn)用對(duì)立事件.5.離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布（1）會(huì)按照分布列的兩個(gè)性質(zhì)來(lái)檢驗(yàn)求得的分布列的正誤．（2）對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，必須對(duì)實(shí)際問(wèn)題舉行詳細(xì)分析，普通要將問(wèn)題中的隨機(jī)變量設(shè)出來(lái)，再舉行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差．（3）解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):①對(duì)稱(chēng)軸x=μ;②標(biāo)準(zhǔn)差σ;③分布區(qū)間.利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ,σ,分布區(qū)間的特征舉行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ異常區(qū)間，從而求出所求概率.注重惟獨(dú)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱(chēng)軸才為x=0.6.隨機(jī)抽樣（1）系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)：適用于元素個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)且均衡的總體；各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等；總體分組后，在起始部分抽樣時(shí)，采用容易隨機(jī)抽樣．（2）舉行分層抽樣時(shí)應(yīng)注重以下幾點(diǎn)：①分層抽樣中分多少層、如何分層要視詳細(xì)情況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊.②為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同.7.用樣本預(yù)計(jì)總體（1）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率，每一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)組距的頻率.（2）條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見(jiàn)的錯(cuò)誤.8.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種決定性關(guān)系．例如正方形面積S與邊長(zhǎng)x之間的關(guān)系S＝x2就是函數(shù)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系是一種非決定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．例如商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)是相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提．（2）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量舉行統(tǒng)計(jì)分析的主意，惟獨(dú)在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無(wú)意義，按照回歸方程舉行預(yù)告，得出的僅是一個(gè)預(yù)告值，而不是真切發(fā)生的值.朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)十一、算法、復(fù)數(shù)、推理與證實(shí)易錯(cuò)知識(shí)清單1.算法（1）注重起止框與處理框、判斷框與循環(huán)框的不同.（2）注重條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系：循環(huán)結(jié)構(gòu)具有重復(fù)性，條件結(jié)構(gòu)具有挑選性沒(méi)有重復(fù)性，并且循環(huán)結(jié)構(gòu)中必然包含一個(gè)條件結(jié)構(gòu)，用于決定何時(shí)終止循環(huán)體.（3）對(duì)條件結(jié)構(gòu)，無(wú)論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個(gè)分支中的一個(gè)，不能同時(shí)時(shí)執(zhí)行兩個(gè)分支.（4）循環(huán)語(yǔ)句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，循環(huán)語(yǔ)句主要解決需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)，要理解循環(huán)結(jié)構(gòu)中各變量的詳細(xì)含義及變化邏輯.（5）關(guān)于賦值語(yǔ)句，有以下幾點(diǎn)需要注重：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，例如3=m是錯(cuò)誤的.②賦值號(hào)左右不能對(duì)換，賦值語(yǔ)句是將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量，例Y=x，表示用x的值替代變量Y的原先的取值，不能改寫(xiě)為x=Y.因?yàn)楹笳弑硎居肶的值替代變量x的值.③在一個(gè)賦值語(yǔ)句中只能給一個(gè)變量賦值，不能浮上多個(gè)“=”.（6）應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題時(shí)，一定要注重兩個(gè)變量i和S的初始值及運(yùn)算變量究竟是什么，它遞增的值是多少，即“步長(zhǎng)”為多少，由輸出的結(jié)果來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的判斷條件究竟是什么，明確哪兒是計(jì)數(shù)器，哪兒是賦值器，注重循環(huán)體內(nèi)各語(yǔ)句不能隨意顛倒，確切判斷結(jié)束循環(huán)的條件，須要時(shí)，要對(duì)“邊界”單獨(dú)檢驗(yàn).2.復(fù)數(shù)（1）判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否存心義.（2）對(duì)于復(fù)系數(shù)（系數(shù)不全為實(shí)數(shù)）的一元二次方程的求解，判別式不再成立.因此解此類(lèi)方程的解，普通都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件舉行求解.（3）兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.（4）利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時(shí)，注重a,b,c,d∈R的前提條件.（5）在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注重的問(wèn)題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.（6）注重不能把實(shí)數(shù)擴(kuò)散的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)擴(kuò)散來(lái).例如，若z1，z2∈C,z12+z22=0，就不能推出z1=z2=0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.3.推理與證實(shí)（1）解決類(lèi)比問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先弄清所給問(wèn)題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的條件，再去類(lèi)比另一類(lèi)問(wèn)題.（2）解決歸納推理問(wèn)題，常因條件不足，了解不全面而致誤.應(yīng)由條件多列舉一些異常情況再舉行歸納.（3）用分析法證實(shí)問(wèn)題時(shí)，要注重書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證（欲證）……”“即證……”“只需證……”等，逐步分析，直至一個(gè)顯然成立的結(jié)論.（4）利用反證法證實(shí)數(shù)知識(shí)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)的命題舉行推理，倘若沒(méi)實(shí)用假設(shè)的命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)（5）用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)問(wèn)題時(shí)初始值n0不一定是1.（6）推證n=k+1時(shí)一定要用上n=k時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法.十二、選考部分易錯(cuò)知識(shí)清單1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程（1）化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參主意有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角或代數(shù)）消去法.在消參的過(guò)程中注重變量x,y取值范圍的一致性,必須按照參數(shù)的取值范圍，決定f(t)和g(t)(t為參數(shù))的值域，從而決定x,y的取值范圍.（2）當(dāng)一個(gè)參數(shù)方程中除已知變量x,y外，還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的字母時(shí)，一定要認(rèn)清哪個(gè)是參變量（參數(shù)），哪個(gè)是常數(shù)，弄清參數(shù)所代表的幾何意義及取值范圍是什么，仔細(xì)看見(jiàn)方程的表現(xiàn)形式以及題目本身隱含的一些限制條件，以便于尋找最佳化簡(jiǎn)途徑.（3）化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先決定一個(gè)關(guān)x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程F(x,y)=0，求得另一關(guān)系y=g(t)（x=f(t)），普通地，常挑選的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率、某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）.（4）直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化可以把不認(rèn)識(shí)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為認(rèn)識(shí)的問(wèn)題，但一定要注重二者互化的前提條件.把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要明確點(diǎn)