2020-2021學(xué)年上海市高三（上）春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷（八）（10月份）

2020-2021學(xué)年上海市高三(上)春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(A)

(10月份)

一、填空題：

1.若復(fù)數(shù)Z滿足(1+i)z=2i(i是虛數(shù)單位)，則2=

【答案】

1-i

【考點(diǎn)】

復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【解析】

把原等式變形后直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值.

【解答】

???(1+i)z=2i,

.2i2i(l-i)2+2i.,.

..z=——=——-———=----=l+i,

l+i(l+i)(l-i)2

z=1—i.

2.方程In?！?3X-1)=0的根為.

【答案】

0

【考點(diǎn)】

函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)及化簡(jiǎn)求值

【解析】

根據(jù)題意，分析可得1限/+3*-1)=0,即/+3丫-1=1,令t=3L解可得t的值,

則有3工=1,解可得％的值，即可得答案.

【解答】

根據(jù)題意，ln(9*+3*-1)=0,即/+3*-1=1,

令t=3\(t>0),則有/+1-2=0,

解可得t=l或-2；

又由t>0,則有t=l,即3*=1,解可得％=0,

3.從某校4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生參加進(jìn)博會(huì)志愿者服務(wù)，若每個(gè)班級(jí)至少有一

名代表，則各班級(jí)的代表數(shù)有種不同的選法.(用數(shù)字作答)

【答案】

20

【考點(diǎn)】

排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

【解析】

由題意，七個(gè)名額分成四份，名額之間沒(méi)有差別，四個(gè)班級(jí)之間也沒(méi)有差別，故把七

個(gè)名額分成四份即得選法種數(shù)，此問(wèn)題可用插板法解決，七個(gè)個(gè)體間有六個(gè)空，選出

三個(gè)空插板，即可分成四份，此題易解

【解答】

由題意，4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生代表，

每一個(gè)班級(jí)中至少有一名代表，

相當(dāng)于7個(gè)球排成一排，然后插3塊木板把它們分成4份，即中間6個(gè)空位，選3個(gè)插板,

分成四份，總的分法有方=20

4.若函數(shù)y=2sin(wx+l(a>>0)的最小正周期是兀，則3=

【答案】

2

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)的周期性及其求法

【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出3的值.

【解答】

解:根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，知

函數(shù)y=2sin(a)x-^)+l(w>0)的最小正周期是

T=—=TT,解得3=

0)2.

故答案為：2.

5.若函數(shù)f(x)=針的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，；),則a=

【答案】

1

2

【考點(diǎn)】

反函數(shù)

【解析】

直接利用反函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.

【解答】

解：若函數(shù)"X)=X。的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，；)，

則(；，；)滿足

42

所嗎=(泊

解得：a=|.

故答案為：

6.函數(shù)y=f(x)與y=lnx的圖象關(guān)于直線、=一％對(duì)稱，則f(x)=

試卷第2頁(yè)，總20頁(yè)

【答案】

一e-x

【考點(diǎn)】

函數(shù)解析式的求解及常用方法

【解析】

設(shè)點(diǎn)(居y)在y=/(x)的圖象上，貝！J(x,y)關(guān)于直線、=一不對(duì)稱的點(diǎn)(一%-%)在y=lnx的

圖象上，代入后解出y即可.

【解答】

設(shè)點(diǎn)(%,y)在y=/(%)的圖象上，則(%,y)關(guān)于直線、=一%對(duì)稱的點(diǎn)(一切一%)在y=ln%的

圖象上，

得到一%=ln(-y),

-y—e~x.

x

?'.y=-e~f

7.已知拋物線c的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線25144的右焦點(diǎn)是c的焦點(diǎn)?，若

斜率為一1,且過(guò)尸的直線與c交于4、B兩點(diǎn)，則|4B|=.

【答案】

104

【考點(diǎn)】

雙曲線的離心率

【解析】

由雙曲線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得拋物線方程，方法一：設(shè)直線的方程，代

入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的弦長(zhǎng)公式即可求得|AB|；

?2Q

方法二：根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式|4B|=siny,即可求得MB|.

【解答】

雙曲線25144中a=5,b=12,貝Ijc=13,則右焦點(diǎn)是C(13,0),

P

設(shè)拋物線的方程為y2=2px,2=13,則2P=52,

拋物線的方程為y2=52x,

方法一：則直線4B的方程為y=-x+13,

(9

<y=52x

丫二一乂+13,整理得：x2-78%,+169=0,

設(shè)4(巧,％),B(%i，%),x1+X2=78,

則|4B|=XI+亞+P=78+26=104,

故答案為：104.

方法二：斜率為-1,則直線4B的傾斜角為135。，

52

2P￡.)2

.2

由拋物線的焦點(diǎn)弦公式，\AB\=sinD=2=104,

故答案為：104.

1兀兀

8.已知4(2,3).5(1,4),且2AB=(sinx,cosy),x,ye(-2,2),則x+y

【答案】

7171

6或-2

【考點(diǎn)】

平面向量的基本定理

【解析】

求出資?量相等…‘3值’從而得皿

y的值.

【解答】

1

AB=(-i,i),2AB=(sinx,cosy),

11

sinx=-2,cosy=2,

7171

x,ye(-2,2),

K兀兀

x6,y=33.

兀K

x+y—6或-2.

9.將函數(shù)y=-J1-X2的圖象繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何容器的容積是

【答案】

尹

【考點(diǎn)】

旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

【解析】

試卷第4頁(yè)，總20頁(yè)

函數(shù)y=-Yl-x2的圖象是圓好+、2=1,y<0,是半徑為1的下半圓，將函數(shù)y=-

V1-X2的圖象繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何容器為以R=1為半徑的半球體，由此能

求出結(jié)果.

【解答】

函數(shù)、=-?1-乂2的圖象是圓/+y2=i,y<0,是半徑為1的下半圓，

將函數(shù)y=-J1-*2的圖象繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何容器為以R=I為半徑的

半球體，

將函數(shù)y=-j1-X2的圖象繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何容器的容積是：

yX4KXI3）看兀

v=￡O=O

10.張老師整理舊資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一題部分字跡模糊不清，只能看到：在△4BC中，a,b,

c分別是角4,B,C的對(duì)邊，已知卜=2我，乙4=45。，求邊c,顯然缺少條件，若他

打算補(bǔ)充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填寫一個(gè)適合的

答案）

【答案】

【考點(diǎn)】

正弦定理

【解析】

返

],可得a={2}U[2&,+oo),即可確定

由正弦定理可得sinB=軟E{1}U（02]

一個(gè)a的可能取值是2&.

【解答】

a二b722點(diǎn)

由己知及正弦定理sinAsinB,可得2=sinB,

2返

可得sinB=ae{1}U（0,2],可得：a={2}U+oo）.

可得a的可能取值是2&.

11.已知數(shù)列{an}滿足：①即=0,②對(duì)任意的幾￡N*都有冊(cè)+i>an成立.

1

函數(shù)加(x)=|sinn(x—日)|,xe[a”M+i]滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m6[0,1),fn(x)

=m總有兩個(gè)不同的根，則｛即｝的通項(xiàng)公式是.

【答案】

n(n-1)

an=27T

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系可得an+i-an=mr,再利用

"累加求和"方法、等差數(shù)列的求和公式即可得出.

【解答】

。1=0,當(dāng)幾=1時(shí)，^(x)=|sin(x—a1)|=|sinx|,x6[0,a2],

又「對(duì)任意的€[0,1),人(乃二徵總有兩個(gè)不同的根，「.a2=n,

/1(x)=sinx,xG[0,7r],。2=凡

112L

又月(%)=|sin2(%—a2)|=|sin2(%—TT)|=|COS"X6[n,a3],

對(duì)任意的mW[0,1),/1(%)=6總有兩個(gè)不同的根，「?%=3兀，

111

又/(%)=|sin3(%—a3)|=|sin3(%—3zr)|=|sin3n\,x6\3n,a4],

對(duì)任意的be[0,1),/i(x)=7n總有兩個(gè)不同的根，「.a4=67T,

由此可得an+i-an=mr,

n(n-l)

即=%+(。2-…+(a“一即-1)=0+?r+…+(n—1)兀=2n,

二、選擇題(共4小題，每小題0分，滿分。分)

設(shè)Q,/?6R,若Q>b,則()

A.a-<7bB.lga>IgbC.sina>sinhD.2a>2b

【答案】

D

【考點(diǎn)】

不等式的基本性質(zhì)

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷。準(zhǔn)確.

【解答】

解：由a>b,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：2a>2\

再利用不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出4

B,C不正確.

故選D.

試卷第6頁(yè)，總20頁(yè)

已知等差數(shù)列{%}的公差為d,前n項(xiàng)和為S”則"d>0"是"S4+S6>2S5"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)列的求和

數(shù)列的應(yīng)用

充分條件、必要條件、充要條件

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

由要S4+56-2s5=lOa1+21d-2(5a1+10d)=d，

可知當(dāng)d>。時(shí)，有$4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反

之，若S4+S6>2s5,則d>0,所以"d>0"是"S4+S6>

2s5”的充要條件，選C.

設(shè)點(diǎn)M、N均在雙曲線C：43=1上運(yùn)動(dòng)，居，尸2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，I

MF】+MF2-2HN1的最小值為()

A.2V0B.4C.2V(D.以上都不對(duì)

【答案】

B

【考點(diǎn)】

雙曲線的離心率

【解析】

設(shè)。為鼻尸2的中點(diǎn)，貝“"'1+MF2-2MN|=|2M0-2MN|=2|N0|>2Q=4.

【解答】

MF+HF

設(shè)。為a尸2的中點(diǎn)，則|12-2MN|=|2M6-2MN|=2|N6|>2a=4.

,1叫十】叫一2州的最小值為4.

稱項(xiàng)數(shù)相同的兩個(gè)有窮數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積之和為這兩個(gè)數(shù)列的內(nèi)積，設(shè)：數(shù)列甲：%1，

x2...孫為遞增數(shù)列，且々eN*(i=l,2,.,5)；數(shù)列乙：y2,y3,y4>'5滿足

%e{-l,l}(i=l,2,...,5)

則在甲、乙的所有內(nèi)積中()

A.當(dāng)且僅當(dāng)與=1,無(wú)2=3，乂3=5，X4=7,強(qiáng)=9時(shí)，存在16個(gè)不同的整數(shù)，它們同為

奇數(shù)

B.當(dāng)且僅當(dāng)％i=2,X2=4,X3=6,%4=8，￡5=1°時(shí)，存在16個(gè)不同的整數(shù)，它們同

為偶數(shù)

C.不存在16個(gè)不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)

D.存在16個(gè)不同的整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)

【答案】

D

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

【解析】

在理解即時(shí)定義的前提下，用列舉法計(jì)算出各種情況的內(nèi)積，分別討論A，B,C,。四

個(gè)選項(xiàng)，逐一計(jì)算得解.

【解答】

對(duì)于4,取特例%i=l,X2=2,X3—3,X4—4,&=5時(shí)，此時(shí)內(nèi)積可能為：

(-15,-13,-11,-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,13,15},16個(gè)都是奇數(shù)，所以

4不對(duì)，

對(duì)于B,取特例%=1,X2=2,X3=3,應(yīng)=4，&=6時(shí)，此時(shí)內(nèi)積可能為：

{-16,-14,-12,-10,-8,-6,-4,-2,2,4,6,8,10,12,14,16],16個(gè)都是偶數(shù),所

以B不對(duì)，

對(duì)于C,由A,B可知存在16個(gè)整數(shù)，要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以C不對(duì)，

三、解答題：

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-4/165中，已知AB=BC=4,DD1=8,M為棱加劣的中點(diǎn).

(1)求四棱錐M-4BCD的體積;

(2)求直線BM與平面BCGBi所成角的正切值.

【答案】

在長(zhǎng)方體4BCD中，AB=BC=4,DDr=8,M為棱加劣的中點(diǎn).

.點(diǎn)M到平面ABCD的距離d=D/\=8,

S正方形ABCD=4X4=16.

：.四棱錐M-ABCD的體積:

I1IOQ

目XDD1XS正方形g與X8X16=—

^M-ABCD

試卷第8頁(yè)，總20頁(yè)

MG1?平面BCCiBi，

NMBQ是直線BM與平面BCGBi所成角，

AB=BC=4,DDr=8,M為棱加劣的中點(diǎn).

BG=J42+82=4遂,MC\=2,

tanz.M6C1=S,1==10.

在

直線BM與平面BCGBi所成角的正切值為10.

【考點(diǎn)】

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

直線與平面所成的角

【解析】

(1)點(diǎn)M到平面4BCD的距離d=DDi=8,S上方力%-6=4x4=16.由此能求出四棱

錐M-4BC0的體積.

(2)由MGJ■平面BCCiBi，知NMBCi是直線BM與平面BCG%所成角，由此能求出直

線BM與平面BCG/所成角的正切值.

【解答】

在長(zhǎng)方體4BC0-AiBiGDi中，AB=BC=4,OO1=8,M為棱G%的中點(diǎn).

點(diǎn)M到平面4BCD的距離d=DZ)i=8,

S正方形ABCD=4X4=16.

四棱錐M—4BCD的體積:

111OO

_9XDD1xS正方形物D一五X8X16_-

---MC11平面BCC/i，

???NMBCi是直線BM與平面BCC1B1所成角，

AB=BC=4,05=8,M為棱G5的中點(diǎn).

22

eC1=V4+8=^/5,MG=2,

金2逅

tanz_MBCi=B01=4\45=10.

運(yùn)

直線與平面BCG/所成角的正切值為10.

f(x)=l-2sin2'7-

己知函數(shù)2.

[工3兀]

(1)求f(x)在L22」上的單調(diào)遞減區(qū)間;

2~1~1

ca-b=4

(2)設(shè)AABC的內(nèi)角4、B、C所對(duì)應(yīng)的邊依次為a、b、c,若一111且

f(c)=—

2,求△ABC面積的最大值，并指出此時(shí)△力BC為何種類型的三角形.

【答案】

f(x)=l-2sin2'7-

函數(shù)/=cosx.

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得：2/6兀工工工24兀+兀是單調(diào)遞減.

[―,—]—,幾

.??在22上的單調(diào)遞減區(qū)間為[2],

試卷第10頁(yè)，總20頁(yè)

2-1~1

=4

由-111

口］'得：2a—b—c—（Q—c—2b=4.

a+b=4

可得a+b>2Vab

即ab<4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

f（c）=l即321

,0<C<71

兀

c=3

A4-X4X

那么：△ABC面積S=2absinCW2

兀

a=b,C—3

可知△ABC為等邊的三角形.

【考點(diǎn)】

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

解三角形

三角形的面積公式

【解析】

3兀]

(1)利用二倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得在22」上的單調(diào)

遞減區(qū)間；

f(C)=[

(2)由行列式求解a,b,c的關(guān)系，根據(jù)2,求解角C,利用基本不等式的

性質(zhì)即可求解△ABC面積的最大值，在判斷△4BC即可！

【解答】

f(x)=l-2sin-

函數(shù)/=cosx.

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得：24〃工工工24〃+乃是單調(diào)遞減.

在2'2上的單調(diào)遞減區(qū)間為[2'],

2~1-1

ca-b=4

由-111

可得：2a—b—c—(a—c—2b=4.

a+b=4

可得a+b>2Vab

即ab<4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

f(c)=-5-4-

,即COSC=N,0VCV7T

兀

/.C=3

X4Xr~

那么：△ABC面積S=2absinCW2sinC=v3

71

a=b,C—3

可知△ABC為等邊的三角形.

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得25萬(wàn)元?1600萬(wàn)元的投資收

益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益工

(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)75萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的

20%.(BP：設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型為y=/(x)時(shí)，則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)

x￡[25,1600]時(shí)，①/'(X)是增函數(shù)；②f(x)<75恒成立；⑶/(x)恒成立.)

(1)判斷函數(shù)f(x)=京+10是否符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型的要求，并說(shuō)明理由；

(2)已知函數(shù)g(x)=aH-5(a21)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

【答案】

對(duì)于函數(shù)模型f(x)=2+10,

當(dāng)無(wú)€[25,1600]時(shí)，f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則f(x)4/(1600)=詈+10=75,顯然

恒成立，

若函數(shù)f(%)=^4-10-|<0恒成立，即％>60

/(%)=京+10不恒成立，

試卷第12頁(yè)，總20頁(yè)

綜上所述，函數(shù)模型f(x)=^+10,

滿足基本要求①②，但是不滿足③，

故函數(shù)模型f(x)=點(diǎn)+10,不符合公司要求；

x6[25,1600]時(shí)，g(x)=a4-5有意義，

g(x)max=a>1600-5<75,

a<2,

設(shè)-5<:恒成立，

axW(5+02恒成立，

即aW$+2+會(huì)，

B+表22第噎=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=25時(shí)取等號(hào)，

a<2

a>1,

1<a<2,

故a的取值范圍為[1,2]

【考點(diǎn)】

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型

【解析】

(1)研究它的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題，即可判斷是否符合的基本要求；

(2)先求出g(x)max=a代而一5W75,此時(shí)a的范圍，再求出滿足f(x)Wa亙成立a

的范圍，即可求出

【解答】

對(duì)于函數(shù)模型f(x)=柒+10,

當(dāng)x6[25,1600]時(shí)，/(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，則f(x)W/(1600)=詈+10W75,顯然

恒成立，

若函數(shù)/0)=親+10-―0恒成立，即X260

/(x)=芯+10不恒成立，

綜上所述，函數(shù)模型f(x)=^+10,

滿足基本要求①②，但是不滿足③，

故函數(shù)模型f(x)=或+10,不符合公司要求；

xE[25,1600]時(shí)，g(%)=a?-5有意義，

「?g(%)max=a"60。-5<75,

/.a<2,

設(shè)-5<,恒成立，

ax<(5+,2恒成立,

即Q<—4-2+

X25

-+^>22,當(dāng)且僅當(dāng)x=25時(shí)取等號(hào)，

X25YX25

a<2

a>1,

1<a<2,

故a的取值范圍為口，2]

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C9+y2=ig〉。,g1)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是A，F(xiàn)2,

直線Ly=kx+m(k,m€R)與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

(1)若M為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，且AMaFz是直角三角形，求a的值；

(2)若k=l,且A04B是以。為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求a與m滿足的關(guān)系;

(3)若a=2,且ko〃koB=-；，求證：△CMB的面積為定值.

【答案】

(1)解：；M為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，且是直角三角形，

AAMFiF?為等腰直角三角形，

。&=0M,

當(dāng)a>l時(shí)，Va2-1=1,解得Q=魚(yú)；

當(dāng)0VQV1時(shí),y/1—a2=a,解得a=y.

(2)解：當(dāng)上=1時(shí)，y=x+m,設(shè)4(%i，Vi)，(x2,y2)?

(y=%+

由2即(1+a2)%2+2a2mx+a2m2-a2=0,

匕y+丫之八

2a2ma2m-a2

?.Xi+%2=T，=7-，

1n1+a2141+a2

2

yi72=Oi+巾)(工2+Hl)=Xxx2+m(X1+x2)+m=

△04B是以。為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

0A-0B=0,

...xi%2+yiy2=0,

a2m-a2,m2-a2人

?.-----H-----=0,

1+a21+a2

a27n2_Q2+7n2_Q2=0

/.m2(a2+1)=2a2.

(3)證明：當(dāng)a=2時(shí)、x2+4y2=4,

試卷第14頁(yè)，總20頁(yè)

設(shè)A(%i，y)(%2，丫2)，

:k°A.k0B=—

".及=_工

Xix2-4,

X1X2=_4yly2,

支24y2~—4

'整理得，(1+4攵2)%2+8攵m％+4ni?-4=0,

｛y=kx+m,

-8km47n2-4

=

Xi1+%241+4*T2~7，%*1%2'=l+4k~T2?

22

yry2=(/c%i+m)(fcx2+m)=kxrx2+km%+x2)+m

2222

47n2k2-4k2-8km2m-4k

----73---1----77-+m=---TV，

l+4fc21+4/c2l+4k2

2.m2-4k2

-4m----47=-4X-----

l+4fc2l+4fc2

2m2-4k2=1,

2

\AB\=V1+k-+x2y—4XXX2

2164k2m2167n2T6

V1+fc，J(l+4fc2)2

l+4fc2

V4/c2+1—m2

=24+H.

-1+4H-

4hk?7m2

l+4fc2

。到直線y=kx+m的距離d=^===

1_4Vl+fc2-Vm^Vn?_2m2

S^OAB~2|4B|d2-l+4k2Vl+fcz-l+4k2

【考點(diǎn)】

圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問(wèn)題

橢圓的定義

【解析】

(1)根據(jù)△MF1F2是直角三角形，即可。&=。“，分類討論即可即可求得a的值方程;

(2)將直線方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積即可求出

m2(a2+1)=2a2；

(3)將直線方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及直線的斜率公式，求得2^2-

4k2=1.由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，求得|48|及d,根據(jù)三角形的面積公式,

化簡(jiǎn)即可求得△AOB的面積為定值

【解答】

(1)解：；M為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，且是直角三角形，

△M&F2為等腰直角三角形,

。&=OM,

當(dāng)a>1時(shí)，y/a2-1=1,解得a=V2;

當(dāng)0VQV1時(shí)，y/1—a2=Q,解得a=J.

(2)解：當(dāng))=1時(shí)，y=x+m,設(shè)4(%i，%)，(x2,y2)?

\y=x+m,

由即(1+a2)%2+2a2mx+a2m2-a2=0,

匕+pj

2a2ma2m-a2

…Xi4-X=-------7，xlx2=------丁，

12z1+a21z1+a2

-Q2

2

yry2=Oi+ni)(x2+m)=xxx2++x2)+m=

V△。力B是以。為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

T—?

0A-OB=0,

???x±x24-yxy2=0,

a2m-a2,m2-a2八

??----—d-------=0,

1+a21+a2

a2m2—a2+m2—a2=0

?'.m2(a2+1)=2a2.

(3)證明：當(dāng)a=2時(shí)，x2+4y2=4,

設(shè)4(%i，y])，(x2,y2)<

'''kOA-kOB=~^

.yiyz_i

..—,———f

Xix24

石牝=一4丫1乃，

%2+4V2=4,

整理得，(1+4k2)x24-8kmx+4m2—4=0,

{y=Zx+

-8km4m2-4

?.Xi+%2=T_7，=TV，

1nl+4k21z1+4H

2m2

/.ym=(kx、+m)(fcx2+M)=kxrx2+km{x1+x2)+

4m2k2-4k2_8k27n2m2-4/c2

=--------r-----1-------—4-2=----—,

l+4fc2l+4fc2l+4k2

,4m2-4_.m2-4k2

2

-1+4/c—*I+4〃2’

/.2m2-4k2=1,

\AB\=V1+k2-J(%]+&)2—4%I%2

試卷第16頁(yè)，總20頁(yè)

64k2m2167n2-16

(1+4/c2)2l+4fc2

I-------V4F

=2y/l+k2-----

_4Vl+fc2Vm2

1+4/c2

。到直線y=kx+m的距離d=懸=煤,

2

1IAci」14Vl+k-Vm2Vrn227n2

=-MB|d=-=i+4fc2.?==-=

如果數(shù)列｛5｝對(duì)于任意兀eN*,都有an+2-an=d，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列｛an｝是

"間等差數(shù)列"，d為"間公差"，若數(shù)列｛an｝滿足即+即+1=2幾一35,n€N*,&=

a(aGR).

(1)求證:數(shù)列｛an｝是"間等差數(shù)列"，并求間公差d；

(2)設(shè)S”為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，若5?的最小值為-153,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

■+2

(3)類似地：非常數(shù)列｛b｝對(duì)于任意"6N*,都有n=q,其中q為常數(shù)，則稱

數(shù)列｛與｝是"間等比數(shù)列"，q為"間公比".已知數(shù)列｛0｝中，滿足R=k(k*0,feeZ),

cn7+i=2018-(2)n-i,n€N*,試問(wèn)數(shù)列｛4｝是否為"間等比數(shù)列"，若是，求最

大整數(shù)k使得對(duì)于任意neN*,都有0>cn+i；若不是，說(shuō)明理由.

【答案】

證明：若數(shù)列｛。n｝滿足an+an+i=2n—35,nWN*,

則：M+I+an+2=2(?i+1)—35,

兩式相減得：an+2-an=2.

故：數(shù)列｛aj是“間等差數(shù)列〃，公差d=2.

⑴當(dāng)幾=2A時(shí)，

s=

a

n(%+a2)+(。3+。4)+…+(Qn-l+n)?

=-33—29+...+(2九—37),

n(n-35)

=-2-

易知：當(dāng)71=18時(shí)，最小值叢8=-153.

(ii)當(dāng)幾=2k+1時(shí)，

aa

Sn=a1+(a2+a3)+(4+Q5)+…+(Qn-i+n)?

=%+(-33)+(-29)+…+(2九-37),

(n-l)(n-34)

2,

當(dāng)n=17時(shí)最小，其最小值為SW=a-136,

要使其最小值為-153,

則：a-136>-153,

解得：aN-17.

2

易知：4金+1=2018?(2)f

則:7+17+2=2018?(2)