2022屆高考數(shù)學(xué)必練題及答案解析

2022年高考數(shù)學(xué)考前必練題

1.如圖，在直三棱柱ABC-481。中，AC=BC=\,AB=AA\=y[2,。是棱CG的中點(diǎn).

（1）求證：平面4B￡>_L平面ABiO；

（2）求平面A3。與平面所成銳二面角的余弦值.

【分析】（1）證明：AiBLABi,DELAiB,推出平而48。，然后證明平面AiBZ）

_L平面AB。.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系C-“z,求出平面ABi。的法向量，平面AB。的法向量，利用空間向量的數(shù)

量積求解平面ABD與平面ABiD所成銳二面角的余弦值即可.

【解答】（1）證明：在直三棱柱ABC-481cl中，。是棱CG的中點(diǎn)，由。Ci=OC,

NDCi4=/￡）C8=90°,G4=CB=1,

知RtZ\QCi4gRtZ\￡>C8,得。4=08,△AiOB為等腰三角形.（2分）

因?yàn)?8=441=/，則四邊形A41B18為正方形，

設(shè)兩對(duì)角線AiB與ABi相交于點(diǎn)E,所以A1BL4B1，（4分）

又因?yàn)镋是AiB的中點(diǎn)，所以。E_LAiB,且ABin￡>E=E,

所以AiB_L平而AB\D,

又AiBu平面AiBZ）,平面AiBOCl平面ABiO=￡>E,

故平面AiBZ）_L平面A81D（6分）

（2）解：由4C=BC=1,AB=五,知ACZ+BCanA#,

由勾股定理的逆定理，得/ACB=90°,

因?yàn)樵谥比庵鵄BC-A1B1C1中，有CCi，平面ABC.

故以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，。，CB,CC所在直線分別為x,?z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系C-Jtyz,（7分）

易得4（1,0,0）,B（0,1,0）,4式1,0,V2）,/（0,1,夜），0（0,0,乎），

則或i=（l,-1,夜），AB=（-1,1,0）,AD=（-1,0,孝），（8分）

設(shè)平面ABD與平面A8i。所成的銳二面角為6,

由（1）知卜BAi_L平面AB。，

則平面的￡＞的法向量為8京=（1,-1,V2）,

設(shè)平面ABD的法向量為三=（%,y,z）,

則行”=0,

（九?AD—0

—X+y=0

即3°，

-xH—=0

L

令x=l,則y=l,z=V2,得￡=（1,1,V2）,（10分）

TT

則cos。=\cos{BAirn）|=?竺1曰=

|%|同ZXZ

1

故平面ABD與平面ABiD所成銳二面角的余弦值為,（12分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空

間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

2.如圖所示，已知四棱錐P-A8CD中，四邊形ABCC為正方形，三角形必B為正三角形,

側(cè)面以底面ABC。，M是棱的中點(diǎn).

(1)求證：PC±BM；

(2)求二面角B-PM-C的正弦值.

【分析】(1)方法一：取AB的中點(diǎn)0,連接OP,0C,證明P0_LBM,BMVOC,推出

平面POC,即可證明BM±PC.

方法二：取AB的中點(diǎn)0,連接0P,并過(guò)。點(diǎn)作BC的平行線0E,交C。于E,以。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，6的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)后?。潟=0,

證明PC±BM.

(2)求出平面PMB的一個(gè)法向量，平面尸MC的一個(gè)法向量，錄音空間向量的數(shù)量積求

解二面角B-PM-C的正弦值即可.

【解答】(1)證明：方法一：

取AB的中點(diǎn)0,連接0尸，OC,

?..三角形PAB為正三角形且側(cè)面布8_1底面ABCD,

底面ABCD,

底面ABC。，

：.P0±BM,

VRtAABA/^RtABCO,

/.ZBOC,

：.ZABM+ZAMB=NABM+NBOC=90°,

：.BML0C,

「ponoc=o,

平面POC,

；PCu平面POC,

J.BMLPC.

方法二：

取AB的中點(diǎn)。，連接OP,并過(guò)。點(diǎn)作BC的平行線0E,交CO于E,則OELAB,

?.?三角形P4B為正三角形，

：.PO±AB,

；平面以BJ_底面ABCD且平面以BC底面A8CD=48,

；.PO_L底面4BCC,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，茄的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令PB=AB

=2,

則B(1,0,0),P(0,0,V3),M(-1,1,0),C(1,2,0)PC=(1,2,-A/3),

BM=(-2,1,0),PCOM=lx(-2)+2x1+(-V3)X0=0,

：.PC±BM.

(2)解：PM=(-1,1,-V3),CM=(-2,-1,0),

設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為U=Q,y,z),

貝4P》.藐=0,gp(-x+y-V3z=0(

IBM-m=0t-2x+y=0

令x=l,m=(1,2,易，

設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為￡=(%,yrz),

p%.g=o,即—%+y-V3z=0

則

CM-n=0—2%—y=0

令x=l,n=(l,-2,V3),

—>—>

m-n=旦,

cos(m,n)=

前.|7|

sin(m,n)=

Vio

，二面角B-PM-C的正弦值為----

4

【點(diǎn)評(píng)】本題直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想

象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

3.如圖1,在aABC中，D,E分別為A3,AC的中點(diǎn)，。為。E的中點(diǎn)，AB=AC=2A/5,

BC=4.將△A3E沿OE折起到△AiDE的位置，使得平面4。尺1_平面BCED,如圖2.

(I)求證：A\O±BD.

(II)求直線4c和平面48。所成角的正弦值.

(III)線段AC上是否存在點(diǎn)凡使得直線。尸和BC所成角的余弦值為手？若存在,

Ap

求出土的值；若不存在，說(shuō)明理由.

1

圖1圖2

【分析】(I)證明AiO_LOE.結(jié)合平面4DE1?平面BCEZ),推出4。_1_平面8CED,

即可證明A|OJ_8D

(II)取BC的中點(diǎn)G,連接OG,推出OE_LOG.A]O1OE,A\O±OG.建立空間直角

坐標(biāo)系。-xyz.求出平面48。的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線4c和

平面A歸。所成的角的正弦值.

—?

(III)設(shè)4/=；L4iC,其中入[0,1].求出OF=(2/l,2/1+1,2-2A),結(jié)合BC=

(0,4,0),然后利用空間向量的數(shù)量積求解異面直線所成角，推出結(jié)果即可.

【解答】(I)證明：因?yàn)樵赼ABC中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),

所以。E〃2C,AD=AE.

所以4Q=4E,又。為。E的中點(diǎn)，所以4OLQE.

因?yàn)槠矫鍭i￡?E_L平面BCED,

平面AiOECl平面BCEO=QE,且AiOu平面AiOE,

所以AiO_L平面BCED,

所以4O_LBD

(II)解：取BC的中點(diǎn)G,連接OG,所以O(shè)EJLOG.

由(I)得AiO_LOE,A\OLOG.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系0-孫z.

由題意得，A\(0,0,2),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-1,0).

所以A；B=(2,-2,-2),瓶=(0,-1,-2),A：C=(2,2,-2).

設(shè)平面AiBO的法向量為%=(x,y,z).

則總”=0,

\n-ArD=0,

即-2y-2z=0,

(—y—2z=0.

令x=l,則y=2,z--1,所以￡=(1.,2,-1).

設(shè)直線AC和平面Ai8。所成的角為e,

則sin。=|cos〈n,AC)\=，"尸=

r-3

2^2

故所求角的正弦值為

(Ill)解：線段4c上存在點(diǎn)廠適合題意.

設(shè)A〉=