2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，1．（4分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．3.14 C．0 D．2．（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）滿足下列條件中的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝b2﹣c2 B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)：b：c＝7：24：254．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．5．（4分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過二、三、四象限，則下列結(jié)論正確的是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜06．（4分）已知二元一次方程組，則x﹣y的值為（）A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣67．（4分）若點(diǎn)P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）關(guān)于x軸對稱，則（a+b）2024的值為（）A．﹣32024 B．1 C．32024 D．520248．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，連接OC，若AB＝6cm，BC＝10cm，△ABO的面積為18cm2，則△BOC的面積為（）A．18cm2 B．20cm2 C．27cm2 D．30cm29．（4分）如圖，用大小形狀完全相同的長方形紙片在直角坐標(biāo)系中擺成如圖所示的圖案，已知A（﹣3，9），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣10，6） B．（﹣10，7） C．（﹣9，6） D．（﹣9，5）10．（4分）一次函數(shù)l1：y＝﹣2x+4，l2：y＝kx﹣k（k＞0），點(diǎn)M（a，b）是l1，l2與x軸圍成的三角形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），令S＝a+b，S的最大值為，則k的值為（）A． B．1 C． D．2二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分.填空題請直接填寫答案.）11．（4分）9的算術(shù)平方根是．12．（4分）甲、乙兩名同學(xué)投擲實(shí)心球，每人投10次，平均成績都為9.5米，方差分別為，則成績比較穩(wěn)定的是（填“甲”或“乙”）．13．（4分）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為．14．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，連接BD．若CD＝4，則AD的長為．15．（4分）如圖，在一個(gè)長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊．已知AD＝6米，AB＝5米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是米．16．（4分）如圖，等腰Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝6，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，BD＝2，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，連結(jié)DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF，連結(jié)AF，BF，則AF+BF的最小值為．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．18．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M：．19．（6分）已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示（每個(gè)小方格都是邊長1個(gè)單位長度的正方形）．（1）將△ABC向左平移4個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到△A1B1C1，畫出平移后得到的△A1B1C1；（2）將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2，則點(diǎn)B2的坐標(biāo)為；點(diǎn)C2的坐標(biāo)為．21．（8分）毛澤東主席曾親筆題詞號召全國人民“向雷鋒同志學(xué)習(xí)”，“雷鋒精神”激勵(lì)著一代又一代中國人．今年3月5號，某校團(tuán)委組織全校學(xué)生開展“學(xué)習(xí)雷鋒精神，愛心捐款活動(dòng)”，活動(dòng)結(jié)束后對本次活動(dòng)的捐款抽取了樣本進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作了下面的統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表回答下面的問題：（1）本次共抽取了名學(xué)生的捐款；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）本次抽取樣本學(xué)生捐款的眾數(shù)是元，中位數(shù)是元；（4）求本次抽取樣本學(xué)生捐款的平均金額．22．（8分）某教育科技公司銷售A，B兩種多媒體，這兩種多媒體的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：AB進(jìn)價(jià)（萬元/套）32.4售價(jià)（萬元/套）3.32.8（1）若該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)兩種多媒體共50套，共需資金132萬元，該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種多媒體各多少套？（2）若該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)兩種多媒體共50套，其中購進(jìn)A種多媒體m套（10≤m≤20），當(dāng)把購進(jìn)的兩種多媒體全部售出，求購進(jìn)A種多媒體多少套時(shí)，能獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？23．（10分）現(xiàn)有A、B兩種品牌的共享電動(dòng)車，收費(fèi)y（元）與騎行時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，A品牌收費(fèi)為y1，B品牌收費(fèi)為y2．（1）直接寫出A品牌收費(fèi)方式對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求B品牌在當(dāng)x＞10時(shí)間段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x＞10時(shí)，求出兩種收費(fèi)相差0.5元時(shí)x的值．24．（10分）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們在老師的帶領(lǐng)下開展了對垂美四邊形的研究．（1）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，則四邊形ABCD（填“是”或“不是”）垂美四邊形．（2）【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．小瑩利用勾股定理的知識探索出四邊形ABCD的四條邊具有以下數(shù)量關(guān)系：AB2+CD2＝AD2+BC2，請判斷小瑩的結(jié)論是否正確，并說明理由．（3）【問題解決】如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ABD，使得∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接CD，BE，DE，已知BC＝3，AC＝4，請直接寫出DE的值．25．（12分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4分別與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，y＝kx+1分別與坐標(biāo)軸交于C，D兩點(diǎn)，C（﹣2，0），兩直線交于點(diǎn)E；（1）求k的值及E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在直線CD上，連結(jié)OE，若S△POE＝S△BOE，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)N在直線CD上，若線段MN被直線AB垂直平分，請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．26．（12分）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問題：如圖1，已知等腰直角△ABC，AB＝AC，等腰直角△CDE，DC＝DE，連結(jié)BE，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，連結(jié)AF，DF，請?zhí)骄烤€段AF，DF之間的關(guān)系．小明通過思考，將此探究題分解成如下問題，逐步探究并應(yīng)用．請幫助他完成：（1）如圖1，延長AF至A'，使得AF＝A′F，連結(jié)A′E，則線段AB與線段A′E的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；（2）如圖2，延長ED交BA延長線于點(diǎn)G，連結(jié)AD，A′D．小明的思路是先證明△ACD≌△A′ED，進(jìn)而得出AD與A′D的關(guān)系，再繼續(xù)探究．請判斷線段AF，DF之間的關(guān)系，并根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．（3）方法運(yùn)用：如圖3，等邊△ABC與等邊△DEC，點(diǎn)D，E在△ABC外部．AB＝4，，連結(jié)BD，點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，連結(jié)AF，BE，若AF＝3，請直接寫出BE的值．

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市市中區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，1．（4分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．3.14 C．0 D．【解答】解：＝2，0是整數(shù)，3.14是小數(shù)，它們都不是無理數(shù)；是無理數(shù)；故選：D．2．（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A不符合題意；B．圖形既軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故B符合題意；C．圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C不符合題意；D．圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：B．3．（4分）滿足下列條件中的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝b2﹣c2 B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a(chǎn)：b：c＝7：24：25【解答】解：A、a2+c2＝b2，能構(gòu)成直角三角形，故正確；B、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠A為90度，能構(gòu)成直角三角形，故正確；C、根據(jù)內(nèi)角和定理求出三個(gè)角分別為：45°，60°，75°，不能構(gòu)成直角三角形，故錯(cuò)誤；D、有a2+b2＝c2，能構(gòu)成直角三角形，故正確．故選：C．4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：與無法合并，則A不符合題意；2﹣＝，則B不符合題意；×＝＝，則C符合題意；÷3＝＝，則D不符合題意；故選：C．5．（4分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過二、三、四象限，則下列結(jié)論正確的是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過第二，三，四象限，∴k＜0，b＜0，故選：D．6．（4分）已知二元一次方程組，則x﹣y的值為（）A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6【解答】解：，①﹣②得：2x﹣2y＝4，則x﹣y＝2，故選：A．7．（4分）若點(diǎn)P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）關(guān)于x軸對稱，則（a+b）2024的值為（）A．﹣32024 B．1 C．32024 D．52024【解答】解：∵點(diǎn)P1（a﹣1，2）和P2（3，b﹣1）關(guān)于x軸對稱，∴a﹣1＝3，b﹣1＝﹣2，解得：a＝4，b＝﹣1，則（a+b）2024＝32024．故選：C．8．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線交于點(diǎn)O，連接OC，若AB＝6cm，BC＝10cm，△ABO的面積為18cm2，則△BOC的面積為（）A．18cm2 B．20cm2 C．27cm2 D．30cm2【解答】解：過O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，OE⊥BC于E點(diǎn)，如圖，∵OB平分∠ABC，∴OD＝OE，∴S△BOC：S△ABO＝BC：AB，∵AB＝6cm，BC＝10cm，△ABO的面積為18cm2，∴S△BOC：18＝10：6，∴S△BOC＝30（cm2）．故選：D．9．（4分）如圖，用大小形狀完全相同的長方形紙片在直角坐標(biāo)系中擺成如圖所示的圖案，已知A（﹣3，9），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣10，6） B．（﹣10，7） C．（﹣9，6） D．（﹣9，5）【解答】解：設(shè)每個(gè)長方形紙片的寬為x，長為y，由題意得：，解得：，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：﹣2y＝﹣2×5＝﹣10，縱坐標(biāo)為：x+y＝2+5＝7，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣10，7），故選：B．10．（4分）一次函數(shù)l1：y＝﹣2x+4，l2：y＝kx﹣k（k＞0），點(diǎn)M（a，b）是l1，l2與x軸圍成的三角形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），令S＝a+b，S的最大值為，則k的值為（）A． B．1 C． D．2【解答】解：由一次函數(shù)l1：y＝﹣2x+4可知與x軸的交點(diǎn)為（2，0），由l2：y＝kx﹣k（k＞0）可知與x軸的交點(diǎn)為（1，0），∴1≤a≤2，由題意可知點(diǎn)M（a，b）在交點(diǎn)P處時(shí)，S的值最大，∴b＝﹣2a+4，∴S＝a﹣2a+4＝，解得a＝，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），代入y＝kx﹣k得，1＝k﹣k，解得k＝2，故選：D．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分.填空題請直接填寫答案.）11．（4分）9的算術(shù)平方根是3．【解答】解：∵32＝9，∴9的算術(shù)平方根是3，故答案為：3．12．（4分）甲、乙兩名同學(xué)投擲實(shí)心球，每人投10次，平均成績都為9.5米，方差分別為，則成績比較穩(wěn)定的是乙（填“甲”或“乙”）．【解答】解：∵，∴S甲2＞S乙2，∴成績比較穩(wěn)定的是乙，故答案為：乙．13．（4分）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為．【解答】解：∵直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴縱坐標(biāo)為y＝﹣1+3＝2，∴兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)（1，2），∴關(guān)于x，y的方程組的解為，故答案為：．14．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，連接BD．若CD＝4，則AD的長為8．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，∵∠A＝30°，∴∠ABD＝30°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∵CD＝4，∴BD＝2CD＝8，∴AD＝8．故答案為：8．15．（4分）如圖，在一個(gè)長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊．已知AD＝6米，AB＝5米，該木塊的較長邊與AD平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是3米．【解答】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是AB﹣2+3個(gè)正方形的寬，∴長為5﹣2+3×2＝9米；寬為6米．于是最短路徑為：＝3米．故答案為：3．16．（4分）如圖，等腰Rt△ABC，∠B＝90°，AB＝6，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，BD＝2，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，連結(jié)DE，將DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF，連結(jié)AF，BF，則AF+BF的最小值為．【解答】解：過點(diǎn)D作AD的垂線，交AC于點(diǎn)M，連接MF并延長，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，又∵DM⊥AB，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝DM，∠DMA＝45°，又∵DE⊥DF，∴∠EDM+∠FDM＝∠ADE+∠EDM＝90°，∴∠ADE＝∠MDF．又∵DE＝DF，∴△ADE≌△MDF（SAS），∴∠FMD＝∠DAE＝45°，∴∠AMF＝45°+45°＝90°．則點(diǎn)F在過點(diǎn)M與AC垂直的射線上運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)A作MF的對稱點(diǎn)A′，連接BA′與射線MF交于點(diǎn)F′，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)F在F′位置時(shí)，AF+BF取得最小值．過點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為N，∵AB＝6，∴AN＝BN＝．又∵AD＝6﹣2＝4，∴AM＝，∴AA′＝，∴A′N＝AA′﹣AN＝．在Rt△A′BN中，A′B＝．即A′F′+BF′＝．所以AF+BF的最小值為．故答案為：．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步17．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+4＝+4；（2）原式＝+﹣＝3+2﹣4＝1．18．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M：．【解答】解：，①+②，得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入②，得y＝3，故原方程組的解為．19．（6分）已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求證：OB＝OC．【解答】證明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC，∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC．∴∠OCB＝∠OBC．∴OB＝OC（等角對等邊）．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示（每個(gè)小方格都是邊長1個(gè)單位長度的正方形）．（1）將△ABC向左平移4個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到△A1B1C1，畫出平移后得到的△A1B1C1；（2）將△ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2，則點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（4，﹣2）；點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（1，﹣3）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（4，﹣2），點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（1，﹣3）．故答案為：（4，﹣2）；（1，﹣3）．21．（8分）毛澤東主席曾親筆題詞號召全國人民“向雷鋒同志學(xué)習(xí)”，“雷鋒精神”激勵(lì)著一代又一代中國人．今年3月5號，某校團(tuán)委組織全校學(xué)生開展“學(xué)習(xí)雷鋒精神，愛心捐款活動(dòng)”，活動(dòng)結(jié)束后對本次活動(dòng)的捐款抽取了樣本進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作了下面的統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)統(tǒng)計(jì)表回答下面的問題：（1）本次共抽取了50名學(xué)生的捐款；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）本次抽取樣本學(xué)生捐款的眾數(shù)是10元，中位數(shù)是15元；（4）求本次抽取樣本學(xué)生捐款的平均金額．【解答】解：（1）4÷8%＝50（名），即本次共抽取了50名學(xué)生的捐款；故答案為：50；（2）捐“15元”的人數(shù)為：50﹣4﹣16﹣10﹣8＝12（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）由統(tǒng)計(jì)圖可知，本次抽取樣本學(xué)生捐款的眾數(shù)是10元，中位數(shù)是15元．故答案為：10，15；（4）（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）＝800＝16（元），答：本次抽取樣本學(xué)生捐款的平均金額為16元．22．（8分）某教育科技公司銷售A，B兩種多媒體，這兩種多媒體的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：AB進(jìn)價(jià)（萬元/套）32.4售價(jià)（萬元/套）3.32.8（1）若該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)兩種多媒體共50套，共需資金132萬元，該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)A，B兩種多媒體各多少套？（2）若該教育科技公司計(jì)劃購進(jìn)兩種多媒體共50套，其中購進(jìn)A種多媒體m套（10≤m≤20），當(dāng)把購進(jìn)的兩種多媒體全部售出，求購進(jìn)A種多媒體多少套時(shí)，能獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)A種多媒體a套，B種多媒體b套，由題意可得：，解得，答：購進(jìn)A種多媒體20套，B種多媒體30套；（2）設(shè)利潤為w元，由題意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20，∴w隨m的增大而減小，∵10≤m≤20，∴當(dāng)m＝10時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝19，答：購進(jìn)A種多媒體10套時(shí)，能獲得最大利潤，最大利潤是19萬元．23．（10分）現(xiàn)有A、B兩種品牌的共享電動(dòng)車，收費(fèi)y（元）與騎行時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，A品牌收費(fèi)為y1，B品牌收費(fèi)為y2．（1）直接寫出A品牌收費(fèi)方式對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝x；（2）求B品牌在當(dāng)x＞10時(shí)間段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x＞10時(shí)，求出兩種收費(fèi)相差0.5元時(shí)x的值．【解答】解：（1）設(shè)y＝k1x，∵當(dāng)x＝20時(shí)，y＝4，∴20k1＝4，解得k1＝，∴y＝x，故答案為：y＝x．（2）當(dāng)x＞10時(shí)，設(shè)y＝k2x+b，∵當(dāng)x＝10時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝20時(shí)，y＝4，∴，解得，∴y＝x+2（x＞10）．（3）根據(jù)題意，得|x﹣（x+2）|＝0.5，經(jīng)整理，得x﹣2＝或2﹣x＝，解得x＝25或15．24．（10分）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們在老師的帶領(lǐng)下開展了對垂美四邊形的研究．（1）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，則四邊形ABCD是（填“是”或“不是”）垂美四邊形．（2）【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．小瑩利用勾股定理的知識探索出四邊形ABCD的四條邊具有以下數(shù)量關(guān)系：AB2+CD2＝AD2+BC2，請判斷小瑩的結(jié)論是否正確，并說明理由．（3）【問題解決】如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形ABD，使得∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接CD，BE，DE，已知BC＝3，AC＝4，請直接寫出DE的值．【解答】解：（1）連接AC，BD，∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形，故答案為：是；（2）結(jié)論正確，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如圖，設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為M，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，∴∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠BAC，即∠EAB＝∠CAD，在△EAB和△CAD中，，∴△EAB≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠ADC+∠AMD＝90°，∴∠ABE+∠AMD＝90°，∵∠AMD＝∠BMC，∴∠ABE+∠BMC＝90°，即CD⊥BE，∴四邊形BCED是垂美四邊形，由（2）得，CE2+BD2＝CB2+DE2，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∵△AEC和△ADB都是等腰直角三角形，∴CE＝AC＝4，BD＝AB＝5，∴32+50＝9+DE2，∴DE＝．25．（12分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4分別與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，y＝kx+1分別與坐標(biāo)軸交于C，D兩點(diǎn)，C（﹣2，0），兩直線交于點(diǎn)E；（1）求k的值及E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在直線CD上，連結(jié)OE，若S△POE＝S△BOE，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)N在直線CD上，若線段MN被直線AB垂直平分，請直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將C（﹣2，0）代入y＝kx+1得﹣2k+1＝0，解得k＝，∴直線CD的解析式為y＝x+1，聯(lián)立y＝﹣x+4得，解得，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；（2）∵一次函數(shù)y＝﹣x+4分別與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A（4，0），B（0，4），∵E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），∴S△BOE＝×4×2＝4，設(shè)P（p，p+1），分兩種情況：①點(diǎn)P在直線AB上方，∵S△POE＝S△BOE，∴S△POE＝S△POC﹣S△COE＝×2（p+1）﹣×2×2＝4，∴p＝10，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，6）；②點(diǎn)P在直線AB下方，∵S△POE＝S△BOE，∴S△POE＝S△POC+S△COE＝×2（﹣p﹣1）+×2×2＝4，∴p＝﹣6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，6）或（﹣6，﹣2）；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，連接NA，∵A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∵線段MN被直線AB垂直平分，∴AB⊥MN，AM＝AN，∴∠AMN＝45°，∠AMN＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM＝45°，∴∠MAN＝90°，∵點(diǎn)N在直線CD：y＝x+1上，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；②當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，連接NB，∵A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∵線段MN被直線AB垂直平分，∴AB⊥MN，BM＝BN，∴∠BNM＝45°，∠BMN＝∠BNM，∴∠BMN＝∠BNM＝45°，∴∠MBN＝90°，∵點(diǎn)N在直線CD：y＝x+1上，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）；綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）或（6，4）．26．（12分）數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問題：如圖1，已知等腰直角△ABC，AB＝AC，等腰直角△CDE，DC＝DE，連結(jié)BE，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，連結(jié)AF，DF，請?zhí)骄烤€段AF，DF之間的關(guān)系．小明通過思考，將此探究題分解成如下問題，逐步探究并應(yīng)用．請幫助他完成：（1）如圖1，延長AF至A'，使得AF＝A′F，連結(jié)A′E，則線段AB與線段A′E的數(shù)量關(guān)系為AB＝A'E，位置關(guān)系為AB∥A'E；（2）如圖2，延長ED交