2023中考數(shù)學(xué)例題解析：方差

2023中考數(shù)學(xué)精選例題解析：方差

知識考點(diǎn)：

了解樣本方差、總體方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義，掌握它們的計算方法，并能以此比

擬同類問題的兩組數(shù)據(jù)的波動情況，了解用樣本方差估計總體方差的思想方法。

精典例題：

【例1】選用恰當(dāng)?shù)墓?，求以下各?shù)據(jù)的方差。

(1)-2,1,4(2)-1,1,2(3)79,81,82

分析：由于(1)中各數(shù)據(jù)及它們的平均數(shù)為較小整數(shù)，因此選用公式：

§2」［區(qū)-元)2+(々-幻2+3+(乙一幻2］求方差較簡便；⑵中各數(shù)據(jù)雖為

n

較小整數(shù)，但它們的平均數(shù)為分?jǐn)?shù)，因此選用公式：

1—

22222

S(x,+x2+---+xn)-/7JC求方差較簡便；⑶中數(shù)據(jù)較大且接近80,因此

n\_

取。=80運(yùn)用公式：

S2=-(X2+x；2+.??+%；,2)-nP求方差較簡便。

n

答案：(1)S2=6；(2)S2=1-；(3)S2=1-

99

【例2】甲、乙兩人在相同條件下，各射靶10次，每次射靶的成績情況如下圖,

(1)請?zhí)顚懴卤恚?/p>

平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)以上次數(shù)

甲71.21

乙

(2)請從下面四個不同的角度，對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析。

①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看；

②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些)；

③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上次數(shù)相結(jié)合看1分析誰的成績好些)；

④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看（分析誰更有潛力〕

解：⑴略;

⑵①..?平均數(shù)相同，$2甲VS?乙，...甲的成績比乙穩(wěn)定;

②???平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)〈乙的中位數(shù)，...乙的成績比甲好些；

③???平均數(shù)相同，命中9環(huán)以上環(huán)數(shù)甲比乙少，.?.乙的成績比甲好些；

④甲成績的平均數(shù)上下波動，而乙處于上升勢頭，從第四次以后就沒有比

甲少的情況發(fā)生，乙較有潛力。

評注：方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是反映數(shù)據(jù)波動大小的量，波動大小是數(shù)據(jù)的屬性，而不是

判斷好壞的標(biāo)準(zhǔn)。

探索與創(chuàng)新：

【問題一】某工人加工一種軸，軸的直徑要求是20±5毫米，他先加工了8件，量

得直徑分別為（單位:毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。當(dāng)

他加工完10件后，發(fā)現(xiàn)這10件的直徑平均數(shù)為20毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3毫米，請問此

工人最后加工的兩件軸的直徑符合要求嗎？為什么？

分析：要想作出正確的判斷，需首先根據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差求出最后加工的兩件軸

的直徑。

解：此工人最后加工的兩件軸中，只有一件的直徑符合要求。

設(shè)最后加工的兩件軸的直徑分別為x毫米，y毫米(xWy),令％-20=m,

y—20=〃，取。=20,那么￡=x—。=20—20=0。

由>='(-0.3+0.2-0.4-0.2+0.2+0.3-0.2+0+加+〃)得：加+〃=0.4

由S2=_L[(-0.3)2+0.22+(-0.4)2+…+機(jī)？+“2)]=032得：機(jī)2+〃2=Q4

m+n=0.4m=-0.2

.?.有方程組,解得:

m2+/=0.4n=0.6

Ax=-0.2+20=19.8,y=0.6+20=20.6

因此該工人最后加工的兩件軸中有一件是符合要求的（直徑為19.8毫米的），一

件是不符合要求的（直徑為20.6毫米的）。

跟蹤訓(xùn)練：

一、選擇題：

1、一組數(shù)據(jù)一1,X,0,1,-2的平均數(shù)是0,那么這組數(shù)據(jù)的方差是（）

A、姓B、2C、4D、10

2、某工廠對一個生產(chǎn)小組的零件進(jìn)行抽樣調(diào)查，在10天中，這個生產(chǎn)小組每天出的次

品數(shù)為（單位：個〕：0,2,0,2,3,0,2,3,1,2,在這10天中，該生產(chǎn)小組

生產(chǎn)零件所出的次品數(shù)的（）

A、平均數(shù)是2B、眾數(shù)是3C,中位數(shù)是1.5D、方差是1.25

3、設(shè)修、々、…、Z的方差是「2,那么5%一1、5々一1…、5%”-1的方差是（）

22

A、5s2B、5S-1C、25s2D、25S-1

4、以下各組數(shù)據(jù)中，滿足條件“容量為5,平均數(shù)為4,方差為2”的是（）

A、3,4,4,3,54,4.5,3,5,6,2

C、4-V2,3,6,3,4+V2D、5,3,4,7,1

二、填空題：

1、為了考查一個養(yǎng)雞場里雞的生長情況，從中抽取5只，稱得它們的重量如下（單位:

千克）：3.3,3.0,3.4,3.1,3.2,在這個問題中，樣本方差S?=。

2、一名學(xué)生軍訓(xùn)時連續(xù)射靶10次，命中的環(huán)數(shù)分別為4、7、8、6、5、9、10、7、6、

8,那么這名學(xué)生射擊環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是。

3、假設(shè)4、2、5、3的平均數(shù)是人，且。、6是方程/-41+3=0的兩個根，那

么這組數(shù)據(jù)的方差為。

4、樣本99、101、102、x、y（xWy）的平均數(shù)為100,方差為2,那么x=,y=。

5、現(xiàn)有A、B兩個班級，每個班級各有45名學(xué)生參加一次測驗(yàn)，每名參加者可獲得0、

1、2、3、4、5、6、7、8、9分這幾種不同分值中的一種。測試結(jié)果A班的成績?nèi)?/p>

下表所示，B班的成績?nèi)缦聢D。

(1)由觀察所得，班的標(biāo)準(zhǔn)差較大；

(2)假設(shè)兩班合計共有60人及格，問參加者最少獲分值可以及格。

三、解答題：

1、為了考察甲、乙兩種農(nóng)作物的長勢，分別從中抽取了10株苗，測得苗高如下(單

位：cm)：

甲：9,10,11,12,7,13,10,8,12,8

乙：8,13,12,11,10,12,7,7,9,11

如果你也經(jīng)過了這次考察，請你經(jīng)過計算后答復(fù)以下問題：

(1)哪種農(nóng)作物的10株苗長的比擬高？

(2)哪種農(nóng)作物的10株苗長的比擬整齊？

2、甲、乙兩個小組各10名同學(xué)進(jìn)行英語口語會話練習(xí)，各練5次，他們每個同學(xué)

合格的次數(shù)分別如下：

甲組：4,1,2,2,1,3,3,1,2,1

乙組：4,3,0,2,1,3,3,0,1,3

(1)如果合格3次以上(含3次)作為及格標(biāo)準(zhǔn)，請你說明哪個小組的及格率高？

(2)請你比擬哪個小組的口語會話的合格次數(shù)較穩(wěn)定？

3、甲、乙兩個班舉行電腦漢字輸入速度比賽，各選10名學(xué)生參加，各班參賽學(xué)生

每分鐘輸入漢字個數(shù)統(tǒng)計如下表：

平均

輸入漢字(個)132133134135136137眾數(shù)中位數(shù)方差

數(shù)

甲班學(xué)生(人)1015211351351351.6

乙班學(xué)生(人)014122

請你填寫上表中乙班學(xué)生的相關(guān)數(shù)據(jù)，再根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，從不同方面評價

甲、乙兩班學(xué)生的比賽成績(至少從兩個方面進(jìn)行評價)。

4、一次科技知識競賽，兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤恚核愕脙蓚€組的平均分都是80分，請

根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，進(jìn)一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次，并說明理由。

分?jǐn)?shù)5060708090100

甲組251013146

人數(shù)

乙組441621212

參考答案

一、選擇題：BDCC

二、填空題：

1、0.02；2、V3；3、2；4、x=98,y=100；5、(1)A,(2)4分

三、解答題：

1、(1),元甲=10,元乙=10

...兩種農(nóng)作物的10株苗的平均高度相同。

(2)：$2甲=3.6,§2乙=4.2

S?甲vS)乙

故甲種農(nóng)作物的10株苗長的比擬整齊。

3

2、(1)甲組合格人數(shù)為3人，甲組及格率為3x100%=30%；同理乙組的及格

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