2022年浙教版九年級數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)圖形的相似綜合壓軸題提升訓(xùn)練（含答案）

2022年春浙教版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圖形的相似綜合壓軸題》專題提升訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，折疊矩形ABCQ的一邊A。，使點。落在8c邊的點尸處.折痕AE=5J75，且

tanZ￡FC=A.

3

(1)求證：

(2)求矩形ABC。的周長；

(3)若點G為線段8c上一點，當(dāng)NGAE=45°時，直接寫出線段CG的長.

------------------------\D

B?FC

2.在△ABC中，ZABC=90°,N是43延長線上一點，點M在8c上.

【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,若AB=BC,CNLAM,求證：BM=BN；

【變式探究】

(2)如圖2,若AB=BC,過點8作于點尸，連接C尸并延長交AB于點Q.

求證：空=地；

PQBQ

【拓展提高】

(3)如圖3,設(shè)膽=&a7l),歷是8C的中點，過點B作于點P,連接CP

BC

并延長交AB于點Q.求tanNBPQ的值(用含k的式子表示).

BNAQBAQB

圖2圖3

3.在△ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6.

(1)如圖1,點。為AC上一點，DE〃BC交AB邊于點E,若墜迦?=」_,求AO及

SAACB16

OE的長；

(2)如圖2,折疊△ABC,使點A落在8c邊上的點”處，折痕分別交4C、AB于點G、

F,且"/〃AC.

①求證：四邊形4GHF是菱形；

②求菱形的邊長；

(3)在(1)(2)的條件下，線段CO上是否存在點尸，使得ACPHS/\DPE?若存在，

求出尸。的長；若不存在，請說明理由.

C------------BCHBCB

圖1圖2備用圖

4.在矩形ABCZ)中，AB=2,E是上一點，AE=\.將△ABE沿BE折疊，點A的對應(yīng)

點為凡

(1)如圖1,若點尸落在矩形A8CC的邊CD上.

①求證：ABCFs^FDE.

②求邊A。的長.

(2)如圖2,若點尸落在對角線80上,求邊AD的長.

3

B圖1CB圖2c

5.如圖①，在正方形ABC。中，點P為線段BC上的一個動點，連接AP,將△ABP沿直

線AP翻折得到△A",點。是CD的中點，連接BQ交AE于點凡若BQ〃PE.

(1)求證：XABEs△8QQ：

(2)求證：BF=&FQ；

3

(3)如圖②，連接OE交8Q于點G,連接EC,GC,若尸。=6,求△G8C的面積.

6.【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和

諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值.我們知道：如圖1,點C把線段AB分成兩部分，如果現(xiàn)

AC

=A￡,那么稱點C為線段A8的黃金分割點.

AB

【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,請直接寫出AC與CB的比值是.

【問題探究】如圖2,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,在84上截取80=

BC,再在AC上截取AE=A￡>,則32的值為

AC

【問題解決】如圖3,用邊長為6的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABDE得折

痕MN,連接EN,將AE折疊到EN上，點A對應(yīng)點H,得折痕CE,試說明：C是AB

的黃金分割點.

【拓展延伸】如圖4,正方形ABC3中，M為對角線上一點，點N在邊CQ上，且

CN<DN,當(dāng)N為CO的黃金分割點時，NAMB=NANB,連NM,延長NM交AO于E,

請用相似的知識求出些的值為

7.如圖1,△ABC絲ZXOAE,ZBAC=ZADE=90a.

(1)連接CE,若AB=1,點8、C、E在同一條直線上，求AC的長；

(2)將△4DE'繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖2,BC與交于點F,BC

的延長線與AE交于點N,

過點。，作DM//AE交BC于點M.

求證：?BM=DM-,

@MN2=NF'NB.

8.如圖1,2,3,將一個矩形A8co繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°VaW90°)，得到矩形ABiGG，

連接BD.

(1)探究：

①如圖1,當(dāng)a=90°時，點Ci恰好在的延長線上，若A8=l,求的長：

②如圖2,連接ACj,過點。作。iM〃ACi交8。于點線段。1M與。例相等嗎？請

說明理由.

(2)在探究(1)②的條件下，射線QB分別交AOi、ACi于點P、N(如圖3).

求證：①MN=AN；?MN1=PN*DN.

9.如圖1,在矩形ABC。中，點E是C。上一動點，連接AE,將△4OE沿AE折疊，點。

落在點尸處，AE與DF交于點0.

(1)射線EF經(jīng)過點B,射線OF與BC交于點G.

i)求證：XADEs/\DCG；

ii)若AB=10,AD=6,求CG的長；

(2)如圖2,射線EF與A8交于點H,射線。F與BC交于點G,連接4G,HG//AE,

40=10,DE=5,求CE的長.

10.如圖1,在Rt/XABC中，/ACB=90°,AB=10,BC=6.。、E分別是48、4c邊的

中點，連接。E.現(xiàn)將△AOE繞4點逆時針旋轉(zhuǎn)，連接8。，CE并延長交于點尸.

(1)如圖2,點E正好落在AB邊上，C尸與交于點P.

①求證：AE'AB=AD'AC-,

②求BF的長；

(2)如圖3,若AF恰好平分/D4E,直接寫出CE的長.

11.【觀察與猜想】

(1)如圖1,在正方形ABCC中，點E,F分別是A8,AO上的兩點，連接。E,CF,

若DE上CF,則理的值為；

CF

(2)如圖2,在矩形A3CD中，40=7,CD=4,點E是上的一點，連接CE,BD,

若CELBD,則段的值為；

BD

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，NA=NB=90°,點E為AB上一點,連接。E,過

點C作OE的垂線交E￡>的延長線于點G,交A。的延長線于點F,求證：DE?AB=CF?

A。；

【拓展延伸】

(4)如圖4,在中，N8AO=90°,AD=9,48=3,將△ABO沿8。翻折，

點A落在點C處，得到△CBQ,點、E,F分別在邊AB,AQ上，連接。E,CF,若。

CF,則EE的值為

CF

圖1圖2圖3圖4

12.如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCQ折疊，使點A落在邊CC上的點M處(不與點

C、。重合)，連接4M,折痕EF分別交A。、BC、AM于點E、尸、H,邊4B折疊后交

邊BC于點G.

(1)求證：AEDMsAMCG；

(2)若。M=1C￡>,求CG的長；

3

(3)若點〃是邊CO上的動點，四邊形CDE尸的面

積S是否存在最值？若存在，求出這個最值；若不存

在，說明理由.

13.如圖1,AD,BD分別是△ABC內(nèi)角NBAC、/ABC的平分線，過點A作AE_L4O,交

8。的延長線于點E.

(1)求證：ZC=2ZE；

(2)如圖2,如果4E=AB,且8。：OE=1：2,求cos/ABC的值；

(3)如果NABC是銳角，且△ABC與△4OE相似，求NABC的度數(shù).

14.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=BC,。為邊BC上一動點(不與B、C重合)，BD

和AO的垂直平分線交于點E,連接4。、AE.DE和BE,￡￡)與AB相交于點尸，設(shè)N

BAE=a.

(1)請用含a的代數(shù)式表示/BED的度數(shù);

(2)求證：AACB^AAED；

(3)若a=30°,求空的值.

CD

15.如圖，已知矩形ABCQ,點E在邊CD上，連接BE,過C作CMLBE于點M,連接

AM,過M作MN_LAM,交BC于點N.

(1)求證：AMABsAMNC；

(2)若48=4,BC=6,且點E為CO的中點，求BN的長;

(3)若處=3,且MB平分乙4MM求絲的值.

BC4BN

16.如圖1,四邊形ABC。中，NBA。的平分線AE交邊8c于點E,已知AB=9,AE=6,

AE2=AB'AD,J.DC//AE.

(1)求證：DE2=AE?DC；

(2)如果BE=9,求四邊形ABC。的面積;

(3)如圖2,延長A。、8c交于點凡設(shè)BE=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫出定義域.

17.如圖，四邊形A8CO和四邊形AE/P是矩形且組屈，點E在線段8。上.

ADAG

(1)連接。G,求證：N8DG=90°；

(2)連接。F,當(dāng)A8=AE時，求證：DF=FG；

(3)在(2)的條件下，連接EG,若/。GE=45°,AB=2,求AD的長.

18.如圖，在△ABC中，ZC=90°,COL4=J5，點力為邊4c上的一個動點，以點、D為

頂點作NBZ)E=NA,射線。E交邊AB于點E,過點B作射線OE的垂線，垂足為點F.

(1)當(dāng)點。是邊4C中點時，求tan/AB。的值;

(2)求證：AD?BF=BC?DE；

(3)當(dāng)DE：EF=3：1時，求AE：EB.

19.如圖，四邊形ABC。是正方形，E是BC延長線一動點，連AC,BD,連HE交。C于尸,

交BD于G.

(1)若AC=EC時，求ND4E的大?。?/p>

(2)求證：AG2=GF-GE；

(3)連。E,求班的最小值.

20.在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A為公共頂點,

ZBAC^ZAED=90°.如圖②，若△48C固定不動，把△4OE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使

AD.AE與邊BC的交點分別為M、N(點M不與點B重合，點N不與點C重合).

【探究】求證：△BANs/XCMA.

【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4.

(1)BN'CM的值為.

(2)若BM=CN,則MN的長為.

D

圖①圖②

參考答案

1.（1）證明：如圖，???四邊形A8CZ）是矩形,

：.ZBAF+ZAFB=90°.由折疊可得NAFE=ND=90°,

:.NAFB+NCFE=90°,

ZBAF=ZCFE,

又,：NB=NC,

:.XAEBs[\FEC：

⑵解：?.?在RtAE“中，tan/EFC考

rCo

???設(shè)EC=4JGFC=3X,

EF=VEC2+FC2=5X,

由折疊可得。E=EF=5x,

，矩形ABCD中,AB^CD=DE+CE^9x,

,：ZXAFBs△在EC,

???A=F----A,B

FEFC

???A—F^―二9x,

5x3x

：.AF=\5x,

AE=VAF2+EF2=SA/IOx'

又???虹=5折，

***X=1f

：.AD=BC=AF=\5,AB=CD=9f

矩形ABC。的周長為48；

(3)解：過點G作于//,

：.ZBAG+ZDAE=45°,

VZFAE=/DAE,

：,/BAG=/GAH,

VAG=AG,N8=/A〃G=90°,

A/\ABG^/\AHG(A4S),

：.AH=AB=9,

：,HF=AF-AH=15-9=6,

■:NGFH=/FEC,NGHF=NC,

:AGFHs&CE,

?.?GF,HF

EFCE

??GF=6—,

54

解得：GF=J±L,

2

:.CG=CF+GF=2L.

2

2.(1)證明："：CNLAM,

.?./AOC=NABC=90°,

:.NBCN=NMAB,

在△ABM和△CBN中，

，ZMAB=ZBCN

<AB=BC，

ZABM=ZCBN

9>CBN(ASA),

:.BM=BN；

(2)證明：如圖，作C”〃AB交BP的延長線于H,

圖2

,JBPLAM,

二/BPM=/ABM=90°,

,：ZBAM+ZAMB=90°,NCBH+NBMP=90°,

：.ZBAM=ZCBH,

'JCH//AB,

，/HCB+NABC=180°,

VZABC=90°,

...NABM=NBC4=90°,

,：AB=BC,

：.(.ASA),

,:CH〃BQ,

?PC_CH_BM.

"PQ"BQ"BQ'

(3)解：如圖，作C//〃AB交3P的延長線于H,作CNLBH于N,

圖3

設(shè)BC=2，w,則AB=2，〃A,

由(2)知/CBN=N54M,

AtanZCBN=型

BNBC2mk2k

???點M為BC的中點，PM//CN,

:.PN=PB,

AtanZBPe=CNJCNJCNJ,.

PN2PNBNk

3.解：(1)'：DE//BC,

，AADE^AABC,

.SAADE/AD、2/DE、21

??-----I---I-I--J二■，，.，

k

SAABCAC'、BC’16

?.A?-D=-D--E=--1，

864

?'-AD=2,

(2)①由翻折不變性可知：

AF=FH,AG=GH,

ZAFG^ZGFH,

\'FH//AC,

：.ZAGF=ZGFH,

：.ZAGF=ZAFG,

：.AG=AF,

：.AG=AF=FH=HG,

，四邊形AG”尸是菱形；

@'：FH//AC,

:.叢FBHs叢ABC,

?BH_FH_BF,

*"BC"AC'AB'

又,：BC=6,AC=8,AB=W,

:.BH：FH：BF=3：4：5,

.?.設(shè)BH=3a,WJFH=AF=4a,BF=5a,

.,.4a+5a=10,

即菱形的邊長為敦;

(3)在點P使得△CPHS/\OPE,理由如下:

,:△CPHS/XDPE,

?CPDP

*'CH=DE"

??RH—cn\z1010

?3a=3義

yo

：.CH=

33

.6-DP=DP

,*_8_=3_

京7

,?DP鬢

4.(1)①證明：?.?四邊形ABC。是矩形,

?.?將△ABE沿BE折疊，點A的對應(yīng)點為F.

.?.NEFB=NA=90°,EF=AE=1,BF=AB=2,

:.NDFE+NBFC=90°,

VZCBF+ZCFB=90°,

ZDFE=NCBF,

?.?/￡>=/C=90°,

/XBCFS^FDE；

②解：設(shè)。E=x,則AO=x+l,

由①知△BCFS^.FDE,

?EFED1

?==—,

BFCF2

：.CF=2x,

在RtZXBCF中，由勾股定理得,

(x+1)2+⑵)2=22,

解得：x=旦或-1(舍去)，

5

AD—x+1--5-+[=8;

55

(2)解：設(shè)。尸=》，

；將△ABE沿BE折疊，

：.EF=AE=\,NEFB=NA=90°,

又；NBDA=NEDF,

，AABDs^FED,

??-D-F=EF=—1,

ADAB2

AE)=2jCt

：.DE=2x-1,

在RtAOE尸中，由勾股定理得：EF1=DE1-DF2,

即(2JC-1)2-7=1,

解得：或0(舍去)，

3

/4Z)=2x=2X———.

33

???四邊形A8CO是正方形，

，/ABC=NC=90°,AB//CD,

：.ZABF=ZCQB,

由翻折的性質(zhì)可知，NE=NABC=90°

"PE//BQ,

.?.N4FB=/E=90°,

:.AAFlisABCQ；

(2)證明：如圖①中，設(shè)A8=BC=C￡>=A￡>=2a,

?.?。是CO的中點，

,CQ=QD^a,

"：ZC=90°,

,B0=VcQ2+BC2=Va2+(2a)2=^'

：bAFBsXBCQ,

.?.此=膽，

*'CQBQ'

?BF=2a

卮

:.BF=2辰a,

5

：.QF=^&a,

5

2聯(lián)

?BF=5I2

.而一造-3

52

：.BF=2LQF-,

(3)解：如圖②，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，過點E作EHLAB于點7.

圖②

,:BF=ZFQ,尸2=6,

3

：.BF=4,

：.BQ=BF+FQ=4+6=10,

:.CQ=2娓,AB=BC=CD=AD=A而,

，。（4泥，2泥），

直線BQ的解析式為y=/,

:NEAT=/CBQ,ZATE=ZBCQ=90°,

/^ATE^^BCQ,

?AT=TE=AE

??而CQBQ*_

.AT=TE=W5

475275

：.AT=S,ET=4,

：.BT-AB-AT=4y/^-

：.E（4,4遙-8）,

,：D（4泥，4泥），

>=遮+1*+2旄-10,

直線OE的解析式為:

2

1

f*

'X=4V5-4

由，，解得

y=^+lx+2“_]0y=2粕-2

：.G(475-4,2旄-2),

，SMCG=2X4V5X(2V5-2)=20-4后

2

6.【問題發(fā)現(xiàn)】解：?.?點C為線段AB的黃金分割點,

A-C~

CB

AC

CB_V5

2

【問題探究】解：VZC=90°,AC=2,BC=1,

."8=62+12=匹

?；BD=BC=1,

：.AE=AD=AB-BD=y/s-1,

?.---A--E-~-乖-------1--,

AC2

故答案為：近二1；

2

【問題解決】解：如圖3,設(shè)EC與MN交于點尸,

'JMN//AB,且M為E4的中點,

?NPEM1

??---二------------,

ACEA2

過點P作PQLEN,

；EC平分NAEN,

：.PM=PQ,

設(shè)PM=PQ——AC=x,

:.PN=MN-PM=6-x,

￡；V=VDE2+DN2=V62+32=3V5,

PNEN

即上翼丁,

6-x3V5

解得x=3、左一3,

經(jīng)檢驗尤=*遙—是原方程的解,

；.AC=2x=3泥-3,

，AC詬-3娓-1BC

??AB=~~6-2F

故點C為A8的黃金分割點；

【拓展延伸】解：如圖4,延長NE交AB延長線于F,過點A作APL4N于P,

D

過點P作PQLFB于Q,過N作FHLFB于H,

'：ZAMB=NANB,

...點A、M、N、B四點共圓，

VZDBA=45°,

：.ZENA=45°,（同為窟所對的圓周角）

又?.?/B4N=90°,

為等腰直角三角形，

：.PA=AN,

'：PQ//AD,

：.ZQPA^ZPAD,

'：ZPAD+ZDAN=90°,NDAN+NNAB=9Q°,

:.NPAD=ZNAB,

:./QPA=NNAB,

又：/PQ4=NAHN=90°,

：./\PQA^^AHN(A4S),

:.AQ=NH=BC=CD,PQ=AH=DN,

為CD的黃金分割點，

設(shè)DN=y/5-1,則CD=2,

設(shè)FQ=x,

'：PQ//NH,

:.叢FPQs叢FNH,

?FQPQDN

??----z:--------=--------?

FHNHCD_

即一x4T,

X+2+V5-12

解得x=3+泥，

經(jīng)檢驗x=3+加是方程的解，

.?.4尸=尸。+4。=3+旄+2=5+晶，

'JAF//DN,

：./F=/DNE,NFAD=/NDA=90°,

:.IXNDEs匕FAE,

?DEJN二遍-1二避一5

^EA=AF=5-K/5=10-，

故答案為：訴f

10

7.(1)解：:△ABC絲△D4E,

：.AD=AB=1,AC=DE,

?.?NBAC=/A￡>E=90°,

：.AB//DE,

：./\ABC^/\DEC,

AB=AC

DECD'

?1=AC

**AC1-AC'

解得5-1；

2

(2)證明：①連接3D,

AZABC=ZDAE,AB=DAf

9：DM//AE,

：.ZMDA=ZDAE,

：.ZABC=ZMDA,

*：AB=DAf

：.ZABD=ZADBf

：.ZABD-ZABC=ZADB-ZMDA,

：?/MBD=/MDB,

:.BM=DM：

②連接MA,

由①知，BM=DM,AB=DAf

???AM=4M,

絲△AMO(SSS),

：.ZBAM=ZDAMf

由①知，ZABC=ZDAEf

：.ZABC+ZBAM=ZDAE+ZDAM,

：./AMN=/NAM,

：?MN=AN,

VZBNA=ZANF,ZABC=ZDAE,

：./\ANF^/\BNA,

??.—AN——NF,

BNAN

:.AN2=BN*NF,

:.MN2=NF,NB.

圖2

8.(1)解：①如圖1,：四邊形ABCO是矩形，

：.CD=AB,BC=DA,NBAD=90°,

,??將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形ABiCiOi,

：.ZD\AD^ZBAD=9Q°,CiO]=CO=AB=l,

與AOi重合，即點A、B、Oi在同一條直線上，

設(shè)8c=D4=￡)iA=x,則。i8=x-l,

VZDi=ZBAD=90°,NDg=NABD,

：.ADiBCi^AZABD,

.D]B_C[D]

，，-ABDA-,

??x?-l—1,

1X

解得X1=±U￡,X2=MG(不符合題意，舍去)，

22

2

②DiM=DM,理由如下：

如圖2,連結(jié)?！?i,

'：AD\=AD,

：.ZAD\D=ZADD],

"：D\C\=AB,NCDiA=/BAO=90°,A￡>i=D4,

：./XC\D\A^/\BAD(SAS),

：.ZD\AC\=ZADB,

'：D\M//AC\,

：.ZAD\M^ZD\AC\,

，ZAD\M=/ADB,

：.ZADiD-ZADiM=ZADDi-NADB,

???NMDTD=NMDD\,

：.D\M=DM.

(2)證明：如圖3,連結(jié)AM,

?\'AD\=AD,DiM=DM,AM=AM,

AAADiM^AADM(SSS),

AZAD]M=ZADMfZMAD\=ZMAD,

'：ZAD\M=ZNAD\,

：.NNADi=NADM,

：.NNAOi+NMAQi=NAQM+NMAD,

??/NAM=ZNADi+ZMAD\,/NMA=/ADM+/MAD,

:./NAM=/NMA,

:?MN=AN.

②：NNAD\=/ADM,

：.4NAP=4NDA,

*.?/ANP=/DNA,

JXANPsXDNA,

APN=AN,

**ANDN，

:?A#=PN,DN,

:?M砧=PN，DN.

9.解：(1)i)由翻折可得，△AOE四△AFE,。尸，AE于

AZCDG+ZADO=90°,ZADO+ZEAD=90°,

；./CDG=NEAD,

'：ZADE^ZDCG=90Q,

/.△ADE^ADCG；

ii)AB=1OAADE^AAFE,

：.AF=AD=6,

在RtAABF中，BF=>/^g2-^p2=V102-62=8,

設(shè)。E=EF=x,CE=10-x,BC=AD=6,

在RtZXBCE中，BE2=BC2+CE1,

即(8+x)2=62+(10-x)2,

解得：x-2>

由i)可知

?.?一AD=DC,,

DECG

.610

??~f

2CG

解得：CG=也;

3

（2）由i）可知，XADEsADCG,

?.?AD=:DC=10=yc，

DECG5

同理可得，XADEsXDOE,

"：ZOAD=ZODE,NADE=NDOE=90°,

'：HG//AE,

:.叢HGFs叢EDF,

'：/XDOE^^FOE,

.HGEO1

*'GF=OFV

；NBGH+NCGD=9Q°,ZBHG+ZBGH=90Q,

:.NCGD=NBHG,

VZB=ZC=90°,

:ABHGsACGD,

?DCBG

?----=---n

CGBH

綜上所述，XBllGsACGDsADEAsAOEDs4GHF,

設(shè)CE=x,DC=5+x,CG=^-,BG=10-CG=10-5些=15-x,BH=LBG=15二

22

HG=泥B”=近」15-x）,

,:HG：GF=1：2,

.?，Gf=V5（15-x）（

2

在△ADE中，AD=\0,DE=5,AE=5泥，DQ=AD*DEW

..11

?yAE-OD=yAD-OE=SAADE'

：.OE=疾,DO=OF=2娓,

在aOCG中，DC=5+x,CG=^-,3G=￡>F+FG=4遙+遍（15-x）

?*DG廠

.福M

：.DG=4^CG,

即4串且■述X號，

解得：x=9,

即CE=9.

10.(1)①證明：：。、E分別是48、AC邊的中點,

：.DE//BC,

:.△ADEsLABC,

?AE=AD；

"ACAB，

：.AE'AB=AD'AC；

②解：如圖1,

作CG_LAB于G,作"/_LA8于”，

在RtZXABC中,AB=10,BC=6,

；.AC=8,

：.AE=4,

：.BE=AB-AE=6,

"：BG=BC?cosNABC=6區(qū)=6X_L=歿

AB105

CG=BC,sinZABC=6X且="

105

：.EG=BE-BG=6-超=￡

55

：.tanZFEH=tanZCEG=—=o,

EG

tanZFEH=^-=o,

EH

設(shè)EH=a,FH=2a,

.?MF3需卷=2,

:?BH=4a,

?：BH-EH=BE,

4a-。=6,

?**ci=2,

：?FH=4,BH=8,

BF=VFH2+BH2=V42+82=4^;

(2)如圖2,

當(dāng)A尸平分NAME時，，AF1BD,

：.ZAFD=ZAED=90Q,

.?.點A、E、F、。共圓，

NDEF=Z.DAF,

設(shè)A尸與QE的交點為O,作OGJ_4Z）于G,作AHLCF于H,

,：AF平分ND4E,

：.OG=OE,AG=AF=4,

：.DG=AD-AG^l,

設(shè)OG=OE=x,

.\OD=3-x,

在RtZXQOG中，

(3-x)2-J?=I2,

'.x=—,

3

；.OG=OE=±

3

；.tan/Z)AF=^sinZDAF=^^.,cosZDAF=^S^,

AG431010

VZA￡D=90°,

AZAEH+ZDEF=90",

VZAEH+ZEAH=90°,

：.ZEAH=ZDEF=ZDAF,

：.EH=AE-sinZEAH=4X魚屋空匝，

105

AH=AE?cos/EAH=4X

105

??所71?^=/2_誓)

CE=EH+CH=+2乂31°一

5

11.(1)解：；四邊形ABC。是正方形，

二/A=NA￡?C=90°,AD=CD.

：.ZADE+ZEDC=90°.

'：DE±CF,

：.ZADE+ZDFC=90°.

：./AED=ZDFC.

在△4ED和△。尸C中，

，ZA=FDC=90°

?ZAED=ZDFC，

AD=DC

A/XAED^/XDFC(A45).

：.ED=FC.

?理=1

CF

故答案為：1.

(2)解：,??四邊形ABC。是矩形，

AZA=ZADC=ZDCB=90°.

???乙4。8+/3。。=90°.

VCE±BZ),

/.ZADB+ZDEC=90°.

：.ZBDC=ZDEC.

:,NEDC=NDCB=90°,

:.AEDCSADCB,

?EC_DC

??麗記

,:AD=BC=1,8=4,

...型=2

,?麗7'

故答案為：1.

7

(3)證明：過點尸作/77_L8C于點”，如圖,

VZA=ZB=90°,FHLBC,

???四邊形ABH/為矩形.

：.AB=FH9NAFH=9b°.

AZHFC+ZDFG=90°.

VZCFH+ZHCF=90°,

：.ZHCF=ZDFG.

VCG1DG,ZA=90°,

AZA=ZG=90°.

,?ZADE=ZGDFf

：./AED=NDFG,

JZAED=ZHCF.

VZA=ZFHC=90°,

.??XAEDsXHCF.

.DE^AD

*'CF'PH'

?DEAD

?方而

：.DE^AB=CF*AD；

(4)解：過點C作CMLW于點M,連接AC,交BD與點、H,如圖,

由題意：△ABO與△CB。關(guān)于BD軸對稱,

.?.8。垂直平分A”，

即A”=HC,AHLBD.

VZBAD=90°,BDLAH,

：.4ABHsMBDA.

???A,B一BH—.

BDAB

:.AB2=BH-BD.

".'BD^^AB^AD2,

^=732+92=3X/TO,

...BH=3ViU

10_

：.DH=BD-.

10

；.AC=2AH=^SL

5

..11

?SAADC或DH,AC或AD?，

...27/1^x9XCM.

105

CM=ZL.

5

VZBAD=90°,

AZAED+ZADE=9Q°.

"：CFLDE,

：.ZCFD+ZEDA=90°.

：.ZAED=ZCFD.

:NEAD=NFMC=90°,

：./\AED^^\FMC.

.DE_AD=9=5

"CF"CM

V

故答案為：5.

3

12.(1)證明：；四邊形ABC￡>是正方形,

AZD=ZBAD=ZC=90°,

ZDEA/+ZDME=90°,

由折疊知，NEMG=NBAD=90°,

/￡>ME+/CMG=90°,

:.NDEM=NCMG,

：.叢EDMs叢MCG；

(2)解：?.?正方形ABC。的邊長為4,

：.CD=AD=4,

'：DM=1.CD,

3

.,.￡)M=A,CM=&,

33

設(shè)AE=x,則。E=4-X,

由折疊知，EM=AE=Xf

在RtAOEM中，根據(jù)勾股定理得，DE?+DM2=EM2,

(4-x)2+(A)2=~

3

.?4r=...2.0.,

9

，?！辏?4-毀=應(yīng)

99

由(1)知，2EDMS/\MCG,

?DEDM

?.3:----,

HCCG

16

.TJ

'■8_-CG'

~3

；.CG=2；

(3)解：存在最大值，為10；

理由：如圖，過點F作FNLAO于M

4ENF=/4VF=ZABC=90°,

四邊形A8FN是矩形，

FN=AB=AD=CD=4,

同理：四邊形COVF是矩形,

由折疊知，AMLEF,

：.ZAHE=90°,

AZDAM+ZAEF=90°,

；NENF=90°,

：.NNFE+NAEF=9Q°,

ZDAM=ZNFE,

：./\ADM^/\FNE(A4S),

：.DM=EN,

設(shè)DM=a=EN,DE=b,則EM=AE=4-b,

在RtZXQEM中，根據(jù)勾股定理得，EM2=DE?+DM2,

(4-b)2=a2+b1,

A4/?=8-3,

2

S=SJg?CDNF-S^ENF=DN-CD-LEF?EN=4(a+b)-Ax4Xa=-A(a-2)2+10,

222

.?.當(dāng)a=2時,S有最大值為10.

13.(1)證明：如圖1中,

■E

\

B^------------------、C

圖1

"：AELAD,

：.ZDAE=90°,Z￡=90°-ZADE,

?；A。平分/3AC,

AZBAD=^ZBAC,同理/ABO=JLNABC,

22

VZADE^ZBAD+ZDBA,/BAC+/ABC=180°-ZC,

AZADE=1.(/A8C+NBAC)=90°-Azc,

22

AZE=90°-(90°-AzO=』/C

22

(2)解：延長4。交8c于點F.

4_E

1

BF0

圖2

9：AB=AE,

：./ABE=NE,

BE平分NABC

，/ABE=/EBC,

：./E=NCBE,

：.AE//BC,

：.ZAFB=ZEAD=90°,此

AEDE

YBD：DE=l：2,AE=BE,

；?cosZABC=^-二竺-=A.

ABAE2

(3):△ABC與△43E相似，ND4E=90°,

ZABC中必有一個內(nèi)角為90°

,/AABC是銳角，

二乙48390°.

①當(dāng)/BAC=ND4E=90°時，

/E=2/C,

2

.?./ABC=/E=」/C,

2

VZABC+ZC=9Q°,

AZABC=30°.

②當(dāng)NC=NQAE=90°時，ZE=AzC=45°，

2

AZEDA=45°,

,?ZXABC與△ADE相似，

AZABC=45°.

綜上所述，/ABC=30°或45°.

14.(1)解：和A。的垂直平分線交于點E,

：.AE=DE,DE=BE,

：.AE=BE,

：.ZEBA=ZEAB=a,

VZC=90°,AC=BC,

：.ZABC=45°,

；.NDBE=45°+a,

:./BDE=NDBE=45°+a,

AZB￡D=180°-2NDBE=90°-2a；

(2)證明：

A

：.Z3+ZDAB=ZCAB=ZABC=45°,

?:BD和AD的垂直平分線交于點E,

:.AE=ED=BE,

AZ1=Z2,N1+NCBA=NEDB,

：.ZCAB+Z2=Zi+ZCBAf

即NEDB=NCAE,

NEDB+NCDE=180°,

：.ZCAE+ZCDE=]SO°,

VZCAE+ZC+ZCDE+ZAED=360°,

：.ZC+ZAED=180°,

VZC=90°,

AZAED=90°,

：.ZC=ZAED=90°,

VAC：BC=AE：ED=1,

：./XACB^AAED；

(3)解：當(dāng)a=30°時ZZBED=90°-60°=30°,

AZAED=ZAEB-ZBED=120°-30°=90°,

?：AE=ED,

：.ZADE=ZAED=45°,

*：DE=BE,

：.ZBDE=ZBED=15°,

AZADC=180°-ZADE-ZBDE=60°,

設(shè)￡F=x,則AE=Q,

AD—,

V6r

,",^=yAD-:~~?A>

.EFx=返

-

**CDWe

~2~x

15.(1)證明：：四邊形ABCD是矩形,

：.AB//CD,AB=CD,

：.NABE=NBEC,

"CMLBE,

：.NBEC+NMCE=90°,

又；NBCM+NMCE=90°,

/.NBCM=NBEC=NABE,

,:NAMN=/BMC=90°,

/.NAMB=ZNMC,

:.△MABsXMNC；

(2):點E為CQ的中點，AB=CD=4,

：.CE=DE=2,

==

'?^^gQ2+^,g2=V36+42VTo>

VSABEC=—XBCXCE=-lxBEXCM,

22

.?.2X6=2-/i0XCM,

ACA^=,

5

VtanZCB￡=^l^L,

BCBM

6BM

.?.BM=2^S,

5

由(1)可知：AMABs/\MNC,

?NC=MC

"AB"BM'

3^

.NC_5

,，T=W，

5

:.NC=&

3

：.BN=BC-BN=坦;

3

(3)由(1)可知：ZXAM8s△MVC,

?NC_HC,

*'AB'BM"

:NCBM=NCBE,NBMC=NBCE=90°,

:.叢BMCs叢BCE,

???M-C---C-E，

BMBC

?NCCE

AB=BC'

???A-B~--N-C,_—3,

BCCE4

:.設(shè)NC=3a,CE=4afAB=3x,BC=4x,

如圖，過點B作BH〃CM,交MN的延長線于從

〈CM上BE,BH//CM、

：.BH±BE,

：.ZHBM=90°,

〈MB平分NAMN,

AZAMB=ZBMN=45°,

:?/BMN=/H=45。,

：?BM=BH,

"."BH//CM,

:.XBHNs/\CMN,

?BM_BN；

"MC'NC"

?BM=4xz3a_=AB)

"CM=3a而，

?4x-3a_3x

3a3a

?.x=3a,

J.BC^Ua,

：.BN=BC-NC=9a,

?%9

*'BN979"

16.(1)證明：如圖1,平分NBA。，

；.NBAE=NDAE,

,：AE2=AB'AD,

...絲_=雪

*'AEAD'

.../\ABE^/\AED,

NAEB=NADE,

'：DC//AE,

：.NAEB=NDCE,NAED=ZCDE,

二/DCE,

/\ADEs/\ECD,

?AE=DE；

"DEDC,

：.DE^=AE-DC：

(2)解：如圖2,過點B作BGJ_AE,

"：BE=9=AB,

.?.△ABE是等腰三角形，

；.G為AE的中點，

由(1)可得△ADE、△ECO也是等腰三角形,

\'AE2=AB-AD,AB=BE=9,AE=6,

：.AD=4,DE=6,CE=4,AG=3,

:.4ADEm4ECD(SAS),

在RtZ\4BG中，BG=dAB?-AG?={/_32=6&,

%ABE=LXAEXBG=Zx6X6yf2=1872-

22

/\ABE^/\AED且相似比為3：2,

S^ABE：SAAED=9：4(

**?SaAED=S&CDE=8A/2,

；?SVV>IKAI3CD=S/SABE+SAAED+SACDE=1^,\[2+Sy/~2+S-\[2=34y[2'

(3)解：如圖3,由(1)知：LABEsAAED,

?嶇=膽，

，

"BEDE

"：BE^x,AB=9,AE=6,AE^^AB-AD,AD=4,

???-9----6-，

XDE

：.DE=2JC,

3

由(I)知：DE2=AE'DC,

.?.3C=2X2,

27

△ADEsgCD,

???^―A^―?D-CE-2,

AEDE3

CE=hc,

9

,JDC//AE,

：./\AEF<^ADCF,

...里=匹=式，

??麗AE百，

2

CF=^—EF,

81

2

...CE=EF-CF=81一81-x[

??麗EFEF~§1-，

：.y=EF=———CE=—迎—X&=-遠(yuǎn)匯一,

81-x281-x2981-x2

x>0(x>0

y>0即｛y>0

x+AE>ABx+6>9

A3<x<9,

...y關(guān)于x的函數(shù)解析式為r=學(xué)口，定義域為3Vx<9.

81-x2