專題16妙解離心率問(wèn)題（12大核心考點(diǎn)）（講義）

專題16妙解離心率問(wèn)題【目錄】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 4 12考點(diǎn)一：頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題 12考點(diǎn)二：焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率 16考點(diǎn)三：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題 19考點(diǎn)四：橢圓與雙曲線的4a通徑體 21考點(diǎn)五：橢圓與雙曲線的4a直角體 24考點(diǎn)六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題 26考點(diǎn)七：雙曲線的4a底邊等腰三角形 28考點(diǎn)八：焦點(diǎn)到漸近線距離為b 32考點(diǎn)九：焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形 36考點(diǎn)十：以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題 38考點(diǎn)十一：漸近線平行線與面積問(wèn)題 41考點(diǎn)十二：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長(zhǎng)度角度 45求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問(wèn)題，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等．考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析離心率2023年新高考I卷第5、16題，10分2023年甲卷第9題，5分2022年甲卷第10題，5分2022年浙江卷第16題，4分2021年甲卷第5題，5分2021年天津卷第8題，5分離心率問(wèn)題一直是高考每年必考，對(duì)圓錐曲線概念和幾何性質(zhì)的考查為主，一般不會(huì)出太難，二輪復(fù)習(xí)我們需要掌握一些基本的性質(zhì)和常規(guī)的處理方法，挖掘橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)下手．求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．5、利用判別式建立不等關(guān)系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．1．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)橢圓，的離心率分別為，．若，則A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓可得，，，橢圓的離心率為，，，，，或（舍去）．故選：．2．（2023?甲卷）已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．3．（2022?甲卷）橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】已知，設(shè)，，則，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故選：．4．（2021?甲卷）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)，，則根據(jù)題意及余弦定理可得：，解得，所求離心率為．故選：．5．（2021?天津）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于，兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．3【答案】【解析】解由題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意可得：，漸近線的方程為：，可得，，，，所以，，由，解得：，即，所以雙曲線的離心率．故選：．6．（2022?甲卷）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為，則，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：，，則橢圓方程為．故選：．7．（2022?全國(guó)）若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的離心率為A．5 B． C． D．【答案】【解析】由雙曲線的方程可得漸近線方程為，由題意可得，所以雙曲線的離心率，故選：．8．（多選題）（2022?乙卷）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過(guò)作的切線與交于，兩點(diǎn)，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)過(guò)的切線與圓相切于點(diǎn)，則，，又，所以，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，所以，又為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，則，所以，由雙曲線的定義可知，所以，可得，即，所以的離心率．情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，如圖，記切點(diǎn)為，連接，則，，過(guò)作于，則，因?yàn)?，所以，，，即，所以，正確．故選：．9．（2023?新高考Ⅰ）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為．【答案】【解析】（法一）如圖，設(shè)，，，設(shè)，則，又，則，可得，又，且，則，化簡(jiǎn)得．又點(diǎn)在上，則，整理可得，代，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，設(shè)，由對(duì)稱性可得，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，在△中，由余弦定理可得，即，則．故答案為：．10．（2022?浙江）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)，且．若，則雙曲線的離心率是．【答案】．【解析】（法一）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由于，且，則點(diǎn)在漸近線上，不妨設(shè)，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，即，則，，又，則，又，則，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，．（法二）由，解得，又，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入方程中，解得，所以，代入雙曲線方程中，可得，所以．故答案為：．考點(diǎn)一：頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題，如圖所示：橢圓：，根據(jù)范圍求解值域．雙曲線：，根據(jù)范圍求解值域．【例1】（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為矩形，則，所以，在中，由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.【變式11】（2024·高三單元測(cè)試）已知橢圓（a＞b＞0）上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)，且，則該橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形為矩形．因此．．所以，．．，，，，其中，．．故選：A．【變式12】（2024·寧夏銀川·高三銀川二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓上有一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，可知四邊形為矩形，從而可知，且，由，可得，，結(jié)合，可得，根據(jù)，求出范圍即可.如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，則四邊形為矩形，所以，，由，可得，，，即，∵，，，，.故選：A.【變式13】（2024·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)且，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以，∵，∴，，∴，故選：C考點(diǎn)二：焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，則（當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）．【例2】（2024·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使得滿足是直角三角形的動(dòng)點(diǎn)恰好有6個(gè)，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，故選：C．【變式21】（2024·江西撫州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn),使,則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），c＞0，設(shè)P，則|PF1|=a+ex1，|PF2|=aex1．在△中，由余弦定理得，解得．∵，∴0≤＜a2，即．且∴．故橢圓離心率的取范圍是e∈【變式22】（2024·寧夏·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若橢圓C上存在點(diǎn)，使得，即以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，設(shè)，，解得，即，，又，故.故選：B.【變式23】（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處時(shí)，張角達(dá)到最大值．∵橢圓上存在點(diǎn)使得是鈍角，∴中，，∴中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．橢圓離心率的取值范圍是，故選B．考點(diǎn)三：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題，與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍【例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，，．設(shè)，．．則，，∴，．因?yàn)椋?，即．∴，∴，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．故選：A．【變式31】（2024·湖南·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，，分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則最小值等于．【答案】【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，為兩曲線在第三象限的交點(diǎn)，如圖，由橢圓和雙曲線定義與對(duì)稱性知，，四邊形為平行四邊形，，，而，則，因此，即，于是有，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．故答案為：【變式32】（2024·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長(zhǎng)半軸為，雙曲線實(shí)半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故選：B.考點(diǎn)四：橢圓與雙曲線的4a通徑體橢圓與雙曲線的4a通徑體如圖，若，易知，若，則一定有，根據(jù)可得，即【例4】（2024·河南新鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，過(guò)的直線交雙曲線的左支于、兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：，由雙曲線的定義可得，所以，，則，由余弦定理可得，，因?yàn)?，故，整理可得，故該雙曲線的離心率為.故選：B.【變式41】（2024·甘肅慶陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn).若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋钥稍O(shè)，，，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，，，所以，在中，，，由，可得，即橢圓的離心率為.故選：B.【變式42】（2024·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，在中，，由橢圓定義可知，，，解得，所以，，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，，即0，解得，所以橢圓離心率.故選：D.考點(diǎn)五：橢圓與雙曲線的4a直角體如左圖，若，過(guò)原點(diǎn)，且，，則可得離心率．如右圖，若，過(guò)原點(diǎn)，且，通過(guò)補(bǔ)全矩形，可得，，借助公式可得離心率．【例5】（2024·山東濟(jì)南·校聯(lián)考）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋环亮?，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，由橢圓的定義可得，，，則，，又，所以，則和都是直角三角形，則，即，解得，所以，，又，，所以，因此，所以橢圓的離心率為.故選：C.【變式51】（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，再由是等腰直角三角形，故選D,【變式52】（2024·湖北黃岡·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，且，橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，設(shè)，由橢圓的定義可得：，則，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，則有，所以，則，則，由，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，解得：，故選：.考點(diǎn)六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題同角余弦定理使用兩次【例6】已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【變式61】（2024·江西九江·高三九江一中?？计谀┮阎p曲線左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C．【變式62】（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，若為以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C．考點(diǎn)七：雙曲線的4a底邊等腰三角形當(dāng)或者時(shí)，令,則一定存在①，②【例7】（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)?，所以，即，則．設(shè)．因?yàn)?，所以，則，從而，故，解得．因?yàn)橹本€的斜率為，所以，整理得，即，故選：D．【變式71】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，如圖，取線段的中點(diǎn)H，連接，則．因?yàn)?，所以，即，則．設(shè)．因?yàn)椋?，則，從而，故，解得．因?yàn)橹本€l的斜率為，所以，整理得，即，則，故．故選：C【變式72】（2024·全國(guó)·高三長(zhǎng)垣市第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接.易知，所以，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.設(shè)，因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以，，所以離心率為.故選：A【變式73】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，連接，，在中，，，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B． C． D．2【答案】D【解析】設(shè)，則由雙曲線定義可得，，，由可得，再在中根據(jù)余弦定理即可列出式子求出離心率.設(shè)，則由雙曲線定義可得，，則，則，解得，從而.在中，，即，解得.故選：D.考點(diǎn)八：焦點(diǎn)到漸近線距離為b雙曲線的特征三角形，如圖所示，設(shè)漸近線，，過(guò)右焦點(diǎn)作，，由于漸近線方程為，故，且斜邊，故，故，.【例8】（2024·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，且恰為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，所以，且設(shè)點(diǎn)到一條漸近線的距離，所以，又，所以，中，滿足，整理為：，雙曲線的離心率.故選：D【變式81】（2024·吉林白山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），若線段交雙曲線于點(diǎn)，且則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)漸近線的方程為，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，將直線，的方程聯(lián)立，可得，又，所以即，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以該雙曲線的離心率為，故選：A.【變式82】（2024·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，不妨取點(diǎn)在第二象限，題中條件，得到，記，求出，根據(jù)雙曲線定義，得到，，在中，由余弦定理，即可得出結(jié)果.因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，不妨取點(diǎn)在第二象限，所以，則，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，所以；記，則，由解得，因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，，由余弦定理可得：，則，所以，整理得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.【變式83】（2024·遼寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積等于(為雙曲線的半焦距)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線：的右焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程設(shè)為，可得，，的面積為，即有，化為，，解得.故選：A.【變式84】（2024·廣西南寧·統(tǒng)考）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且，又過(guò)點(diǎn)作于P(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則雙曲線E的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)在第二象限，在第三象限，如下圖所示：因?yàn)椋?，所以，所以，，又，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所?故選：C.考點(diǎn)九：焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形利用幾何法轉(zhuǎn)化【例9】（2024·江西九江·高三九江一中?？茧A段練習(xí)）是雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于點(diǎn)．若，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，雙曲線漸近線方程為：若為直線與交點(diǎn)，為直線與交點(diǎn)則

直線方程為：，與聯(lián)立可得：直線方程與聯(lián)立可得：由得：，即，即，解得：或（舍）由雙曲線對(duì)稱性可知，當(dāng)為直線與交點(diǎn)，為直線與交點(diǎn)時(shí)，結(jié)論一致故選：【變式91】（2024·廣西玉林·?？寄M預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由題意雙曲線C：的漸近線，右焦點(diǎn)，不妨設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為與聯(lián)立得，所以，，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第二象限，所以，因?yàn)?，，，所以，，所以，即，因?yàn)?，所以，即故選：A【變式92】（2024·江西新余·統(tǒng)考）已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下圖所示：雙曲線的漸近線方程為，即，所以，，則，因?yàn)?，則，設(shè)，則，所以，，，，由二倍角的正切公式可得，即，可得，因此，.故選：A.考點(diǎn)十：以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題以為直徑作圓，交一條漸近線于點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，則令,則，【例10】（2024·全國(guó)·校聯(lián)考）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與雙曲線及其一條漸近線在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是(

)A．2. B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，由得到，由得到，而，，即點(diǎn)A是線段FB的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D【變式101】（2024·山西晉城·統(tǒng)考）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與直線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．2【答案】A【解析】由題意可得，即有為等腰三角形，設(shè)，則，所以即為，所以，故選：A【變式102】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F1F2為直徑的圓和曲線C在第一象限交于點(diǎn)P，且△POF2恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，設(shè)，則由題意可得是直角三角形，由恰好為正三角形得，，∴，∴，，．故選：C．【變式103】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，且以為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第四象限交點(diǎn)為，交雙曲線左支于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】寫(xiě)出圓方程，與漸近線方程聯(lián)立解得得點(diǎn)坐標(biāo)，由可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程整理后可求得．，圓方程為，由，由，，解得，即，設(shè)Q(x0，y0)，由，，得，，因?yàn)樵陔p曲線上，∴，，解得（舍去），故選：A考點(diǎn)十一：漸近線平行線與面積問(wèn)題①雙曲線C：上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)②雙曲線C：上的任意點(diǎn)P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別交于，兩點(diǎn)，則是一個(gè)常數(shù)，，【例11】（2024·北京·人大附中?？迹┮阎謩e為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若，則C的離心率