5.3.1函數(shù)的單調(diào)性-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)高分必刷常考題型專練人教A版2019選擇性（）

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性知識點：函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；（2）該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意：當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)個別點處為零，在其余點處為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。（3）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（4）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明（或判斷）函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性：步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)(2)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(3)下結(jié)論①該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；②該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：（1）分析的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（轉(zhuǎn)化為恒成立問題）思路一.（1）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（2）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：若函數(shù)f（x）在（a，c）上為減函數(shù)，在（c，b）上為增函數(shù)，則x=c兩側(cè)使函數(shù)（x）變號，即x=c為函數(shù)的一個極值點，所以考點01：用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性1．討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．【答案】單調(diào)遞增【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性.【詳解】由于在上恒成立，故在上單調(diào)遞增.2．確定函數(shù)在哪個區(qū)間上是增函數(shù)，在哪個區(qū)間上是減函數(shù)．【答案】在區(qū)間上，是增函數(shù)；區(qū)間上，是減函數(shù)【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】由題意可得：，令，解得；令，解得；所以在區(qū)間上，是增函數(shù)；在區(qū)間上，是減函數(shù)（如下圖）．3．已知函數(shù)．討論的單調(diào)性．【答案】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【分析】利用函數(shù)的二次求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】因為，所以，令，，故單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．考點02：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)4．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.5．函數(shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．?B．?和?C．?D．?【答案】D【分析】求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】的定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.6．（多選）已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)遞增區(qū)間，得到答案.【詳解】因為的定義域為R，，令得：或，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增．故選：AC．考點03：由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)7．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B8．（多選）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍可以是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合所給區(qū)間列出關(guān)于的不等關(guān)系，結(jié)合選項可求正確答案.【詳解】定義域為，；由得函數(shù)的增區(qū)間為；由得函數(shù)的減區(qū)間為；因為在區(qū)間上單調(diào)，所以或解得或；結(jié)合選項可得A,C正確.故選：AC.9．若函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)求解.【詳解】，顯然，即；故答案為：.考點04：由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)10．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，利用判別式即可求出的范圍．【詳解】函數(shù)，，若在遞增，則在恒成立，可得,解得，故選：D11．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，則，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故，故選：A.12．函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得在恒成立，進(jìn)而有，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，在恒成立，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.故選：D．考點05：函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系13．如圖所示是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的單調(diào)性，，原函數(shù)單調(diào)遞增，，原函數(shù)單調(diào)遞減，逐項分析判斷即可.【詳解】對于選項A：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，故A正確；對于選項B：當(dāng)時，；當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于選項C：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于選項D：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：A.14．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當(dāng)時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B，故選：D.15．函數(shù)的部分圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除求解即可.【詳解】對求導(dǎo)得恒成立,故在上單調(diào)遞增，A正確.故選：A.考點06：含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間16．已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】對求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論即可；【詳解】函數(shù)的定義域為，所以.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.17．設(shè)函數(shù)其中．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線斜率；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）1；（2）答案見解析.【分析】（1）由題設(shè)得，求出即可知切線斜率；（2）由題意，討論的符號，即可求單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）由題設(shè)，，則，∴，故點處的切線斜率為1.（2）由題設(shè)，，又，∴，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，或，單調(diào)遞減；∴在上遞增，在、上遞減.18．已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若曲線在點處的切線平行于軸，只需保證，求實數(shù)的值即可；（2）求得有兩個根“和”，再分、和三種情況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題可得，因為在點處的切線平行于軸，所以，即，解得，經(jīng)檢驗符合題意．（2）因為，令，得或．當(dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞