模型13 半角模型（教師版）

模型介紹模型介紹角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問(wèn)題的常見(jiàn)辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法.角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問(wèn)題的常見(jiàn)辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法.類型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（1）作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（2）（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理..任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥于EF于點(diǎn)G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長(zhǎng)線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.圖示（3）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小【專題說(shuō)明】半角模型應(yīng)用比較廣泛：理解半角模型的定義，掌握正方形背景中半角模型的模型的應(yīng)用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的應(yīng)用尤為重要?！局R(shí)總結(jié)】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)作兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。常見(jiàn)的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。一、半角模型特征1、共端點(diǎn)的等線段；2、共頂點(diǎn)的倍半角；二、半角模型輔助線的作法1、旋轉(zhuǎn)的方法：以公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，相等的兩條線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角；2、旋轉(zhuǎn)的條件：具有公共端點(diǎn)的等線段；3、旋轉(zhuǎn)的目的：將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)。例題例題精講【例1】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長(zhǎng)為．解：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE；連接CG、EF；∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF與△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，設(shè)AF＝x，則DF＝4﹣x，GF＝3+（4﹣x）＝7﹣x，∴EF＝＝，∴（7﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝，故答案為：．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（）A． B． C． D．解法一：作AF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于F，在CF的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四邊形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四邊形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADE＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，設(shè)BC＝a，則AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，設(shè)BE＝b，則DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．【變式1-2】．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，使其兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長(zhǎng)為10．解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，在△BDF和△CDN中，，∴△BDF≌△CDN（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，在△DMN和△DMF中，，∴△DMN≌△DMF（SAS）∴MN＝MF，∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝5+5＝10．故答案為：10．【變式1-3】．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP＝PF；②BG2+DP2＝GP2；③PB﹣PD＝BF；④S四邊形PEFG＝S△APG．以上結(jié)論正確的有①②④（填入正確的序號(hào)即可）．解：①如圖1，取AF的中點(diǎn)T，連接PT，BT，∵AP⊥PF，四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AT＝TF，∴BT＝AT＝TF＝PT，∴A，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，∴∠PAF＝∠PBF＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴PA＝PF，故①正確，②如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BD，交AM于N，連接NG，∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ABM＝180°，∴C，B，M共線，∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠BAF＝45°，∵∠DAE＝∠BAM，∴∠BAM+∠BAF＝45°＝∠EAF，∵∠GBN＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ABN＝45°＝∠ADP，∵AB＝AD，∠DAP＝∠BAN，∴△DAP≌△BAN（ASA），∴AP＝AN，∵AG＝AG，∴△AGP≌△AGN（SAS），∴PG＝NG，∵∠NBG＝90°，∴BN2+BG2＝NG2，∴BG2+PD2＝GP2，故②正確；③如圖3，連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CF于Q，過(guò)點(diǎn)P作PW⊥CD于W，則四邊形PQCW是矩形，在△PBA和PBC中，，∴△PBA≌△PBC（SAS），∴PA＝PC，∵PF＝PA，∴PF＝PC，∵PQ⊥CF，∴FQ＝QC，∵PB＝BQ，PD＝PW＝CQ＝FQ，∴PB﹣PD＝（BQ﹣FQ）＝BF，故③不正確；④如圖2，∵∠ABF+∠APF＝180°∴A，B，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，∴∠APG＝∠AFB，∵△AFE≌△AFM，∴∠AFE＝∠AFB，∴∠APG＝∠AFE，∵∠PAG＝∠EAF，∴△PAG∽△FAE，∴＝＝＝，∴S四邊形PEFG＝S△APG，故④正確，故答案為：①②④．【例2】．如圖，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，求S△AEF．解：如圖，將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．∴AD＝AG＝AB，∠D＝∠AGF＝90°，∠B＝∠AGE＝90°，∠DAF＝∠GAF，∠BAE＝∠GAE，∵∠EAF＝45°＝∠FAG+∠GAE，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠DAB＝45°+45°＝90°，即∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∴四邊形ABCD是正方形．由折疊知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE＝EG＝3，DF＝FG＝2，∵EF＝5，設(shè)AG＝x，則AB＝BC＝CD＝AG＝x，CE＝CB﹣BE＝x﹣3，CF＝x﹣2．∵CE2+CF2＝EF2，∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52．解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）．∴AG＝6．∴△AEF的面積＝EF?AG＝×5×6＝15．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，等邊△ABC中，D、E為BC邊上的點(diǎn)，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，CE的長(zhǎng)為．解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，作FH⊥BC于H．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠DAE＝30°，∴∠CAF+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝30°，∴∠EAD＝∠EAF＝30°，∵AE＝AE，AD＝AF，∴△EAD≌△EAF，∴DE＝EF＝3，設(shè)EC＝x，則BD＝CF＝2x∵∠ACF＝∠ACB＝60°，∴∠FCH＝60°，∴CH＝CF＝x，F(xiàn)H＝x，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2，∴9＝4x2+3x2，∴x＝，故答案為．【變式2-2】．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的長(zhǎng)度．解：過(guò)B作DA的垂線交DA的延長(zhǎng)線于M，M為垂足，延長(zhǎng)DM到G，使MG＝CE，連接BG，易知四邊形BCDM是正方形，則△BEC與△BGM中，，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°，在△ABE與△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AG＝AE＝10，設(shè)CE＝x，則AM＝10﹣x，AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；解得：x1＝4，x2＝6．故CE的長(zhǎng)為4或6．【變式2-3】．如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D和點(diǎn)E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．（1）如圖②，把△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，求證：△DAE≌△GAE；（2）試猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程．解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知，△ABD≌△ACG，∴AD＝AG，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠EAG＝45°，在△DAE和△GAE中，，∴△DAE≌△GAE（SAS）；（2）由△DAE≌△GAE，∴BD＝EG，由旋轉(zhuǎn)，BD＝CG，∠ACG＝∠B，∵∠BAC＝90°，∴∠ECG＝90°，在Rt△CEG中，EG2＝EC2+CG2，∴DE＝CE2+BD2．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，已知等邊三角形△ABC邊長(zhǎng)為a，等腰三角形△BDC中∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，角的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN，則△AMN的周長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．2a C．3a D．4a解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延長(zhǎng)AB至F，使BF＝CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，DB＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△CDN（HL），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN＝MF∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝2a，故選：B．2．如圖，菱形ABCD的邊AB＝20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO＝10，則⊙O的半徑長(zhǎng)等于（）A．5 B．6 C．2 D．3解：如圖作DH⊥AB于H，連接BD，延長(zhǎng)AO交BD于E．∵菱形ABCD的邊AB＝20，面積為320，∴AB?DH＝320，∴DH＝16，在Rt△ADH中，AH＝＝12，∴HB＝AB﹣AH＝8，在Rt△BDH中，BD＝＝8，設(shè)⊙O與AB相切于F，與AD相切于J，連接OF，OJ，則OF⊥AB，OJ⊥AD，OF＝OJ，∴OA平分∠DAB，∵AD＝AB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE＝90°，∠ABE+∠BDH＝90°，∴∠OAF＝∠BDH，∵∠AFO＝∠DHB＝90°，∴△AOF∽△DBH，∴＝，∴＝，∴OF＝2．故選：C．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，則AF的長(zhǎng)為2．解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，∴NF＝x，AN＝6﹣x，∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝＝＝，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得x＝2．∴＝＝2．故答案為：2．4．PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是．解：連接OA、OB、OP，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E∴∠OAF＝∠PBF＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB，∵△PCD的周長(zhǎng)＝PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝3r，∴PA＝PB＝r．在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽R(shí)t△OAF．∴＝＝＝，∴AF＝FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2＝FB2∴（PA+AF）2﹣PB2＝FB2∴（r+BF）2﹣（r）2＝BF2，解得BF＝r，∴tan∠APB＝＝＝，故答案為：．5．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N在CB，CD上運(yùn)動(dòng)，且∠MAN＝45°，在MN上截取一點(diǎn)G，滿足BM＝GM，連接AG，取AM，AN的中點(diǎn)F，E，連接GF，GE，令A(yù)M，AN交BD于H，I兩點(diǎn)，若AB＝4，當(dāng)GF+GE的取值最小時(shí)，則HI的長(zhǎng)度為8﹣4．解：如圖1中，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABJ，則AN＝AJ，∠DAN＝∠BAJ，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAB+∠BAJ＝∠MAB+∠DAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAN，∵AM＝AM，AJ＝AN，∴△AMJ≌△AMN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，∵M(jìn)A＝MA，MB＝MG，∴△MAB≌△MAG（SAS），∴AB＝AG＝4，∠ABM＝∠AGM＝90°，∵AF＝FM，AE＝EN，∴FG＝AM，EG＝AN，∴GF+GE＝（AM+AN），下面證明當(dāng)AM＝AN時(shí)，AM+AN的值最小，如圖2中，過(guò)點(diǎn)A在直線l∥MN，作點(diǎn)N關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接AN′，MN′．∵N，N′關(guān)于直線對(duì)稱，∴AN＝AN′，∴AM+AN＝AN′+AM，∴當(dāng)A，M，N′共線時(shí)，AM+AN的值最小，此時(shí)∵AN＝AN′，∴∠ANN′＝∠AN′N，∵M(jìn)N∥直線l，NN′⊥直線l，∴NN′⊥MN，∴∠MNN′＝90°，∴∠AMN+∠AN′N＝90°，∠ANM+∠ANN′＝90°，∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM，∴當(dāng)AM＝AN時(shí)，AM+AN的值最小，如圖1中，當(dāng)AM＝AN時(shí)，可知BH＝DI，過(guò)點(diǎn)H作HP⊥AB于P，在AP上截取一點(diǎn)K，使得AK＝KH，連接KH，設(shè)PH＝PB＝x，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，KA＝KH，∴∠KAH＝∠KHA＝22.5°，∴∠PKH＝∠KAH+∠KHA＝45°，∴PK＝PB＝PH＝x．AK＝KH＝x，∵AB＝4，∴2x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BH＝DI＝PB＝4﹣4，∵BD＝4，∴HI＝4﹣2（4﹣4）＝8﹣4，故答案為8﹣4．6．如圖，正方形被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小并證明你的結(jié)論．解：如圖，連接FH，延長(zhǎng)CB到M，使BM＝DH，連接AM，∵Rt△ABM≌Rt△ADH，∴AM＝AH，∠MAB＝∠HAD，∴∠MAH＝∠MAB+∠BAH＝∠BAH+∠HAD＝90°，如圖設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，AG＝m，GP＝n，則FC＝a﹣n，CH＝a﹣m，因?yàn)槊娣e是二倍所以列式得到：a2﹣（m+n）a+mn＝2mn，在直角三角形FCH中FH2＝（a﹣n）2+（a﹣m）2，將上面的式子聯(lián)立得到：FH2＝MF2＝（m+n）2，即得到FH＝MF，∵AF＝AF，AH＝AM，∴△AMF≌△AHF，∴∠MAF＝∠HAF，∴∠HAF＝∠MAF＝45°．7．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長(zhǎng)為2，求△MAN的面積的最小值．解：設(shè)DN＝x，BM＝y(tǒng)，∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM＝NC+CM+NM＝2，∴NM＝x+y．將△DNA繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF，則NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，∴△ANM≌△AFM（SSS）．∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥NM，垂足為E，∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN為公共邊，∴△DAN≌△EAN（AAS），∴AE＝AD＝1，∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，∴化簡(jiǎn)得：xy+x+y﹣1＝0，①∴S△ANM＝（x+y）②．∵（x﹣y）2≥0，∴（x+y）2≥4xy，∴xy≤，③∴將②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④∴（S+1）2≥2．∵S＞0，∴S≥﹣1，∴△MAN的面積的最小值為﹣1．8．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．（1）在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）若旋轉(zhuǎn)后E點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為M，點(diǎn)F在BC上，且∠EAF＝45°，連接EF．①求證：△AMF≌△AEF；②若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求EF．解：（1）如圖，△ABM為所作；（2）①如圖，連接EF．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵△ADE點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，∴AM＝AE，∠MAE＝90°，又∵∠EAF＝45°，∴∠MAF＝∠EAF，在△AMF和△AEF中，，∴△AMF≌△AEF（SAS）．②∵△AMF≌△AEF，∴EF＝MF，即EF＝MF＝BM+BF，而BM＝DE，∴EF＝BF+DE，在Rt△ADE中，，∴CE＝CD＝DE＝6﹣3＝3，設(shè)EF＝x，則BF＝x﹣3，∴CF＝6﹣（x﹣3）＝9﹣x．在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5．即EF＝5．9．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、AD上，連接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)CE＝x，AF＝y(tǒng)，則DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，∵AF+CE＝EF，∴EF＝x+y．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，∴xy+x+y＝1，∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；（2）∠EBF的度數(shù)為定值，理由如下：如圖，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM，此時(shí)AB與CB重合．由旋轉(zhuǎn)，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，∴點(diǎn)M、C、E在同一條直線上．∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，∴EF＝EM．在△BEF和△BEM中，，∴△BEF≌△BEM（SSS），∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，∴∠EBF＝∠ABC＝45°．10．在正方形ABCD中，連接BD．（1）如圖1，AE⊥BD于E，直接寫出∠BAE的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△AB1E1，AB1與BD交于M，AE1的延長(zhǎng)線與BD交于N．求證：BM2+ND2＝MN2．（提示，將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，并連接FM．）（3）如圖3，E、F是邊BC、CD上的點(diǎn)，△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出線段BM、DN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：（1）如圖1中，∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE＝∠BAE＝45°；（2）將△AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，在Rt△BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2＝FM2，∵旋轉(zhuǎn)△ABE得到△AB1E1，∴∠E1AB1＝45°，∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠BAF＝DAN，∴∠BAB1+∠BAF＝45°，∴∠FAM＝45°，∴∠FAM＝∠E1AB1，∵AM＝AM，AF＝AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM＝MN，∵BM2+FB2＝FM2，∴BM2+DN2＝MN2．（3）結(jié)論：BM2+DN2＝MN2．理由：如圖3中，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴DF＝GB，∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為4AB，△CEF周長(zhǎng)為EF+EC+CF，∵△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，∴4AB＝2（EF+EC+CF），∴2AB＝EF+EC+CF∵EC＝AB﹣BE，CF＝AB﹣DF，∴2AB＝EF+AB﹣BE+AB﹣DF，∴EF＝DF+BE，∵DF＝GB，∴EF＝GB+BE＝GE，由旋轉(zhuǎn)得到AF＝AG，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF，∴∠EAG＝∠EAF＝45°，同理可得BM2+DN2＝MN2．11．如圖，四邊形ABCO為正方形，若點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，5）．（1）如圖1，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)（5，5）；（2）如圖1，點(diǎn)D為線段OA上一點(diǎn)，連接BD，若點(diǎn)A到BD的距離為1，求點(diǎn)C到BD的距離；（3）如圖2，若D為x軸上一點(diǎn)，且OD＝2，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠DBM＝45°，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)（0，）或（0，）．解：（1）∵四邊形ABCO為正方形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，5），∴B的坐標(biāo)（5，5），故答案為：（5，5）；（2）如圖1，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∵∠ABE+∠FBC＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，又∵AB＝BC，∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BF＝AE＝1，又∵BC＝OA＝5，∴CF＝＝2，即點(diǎn)C到BD的距離為2；（3）①當(dāng)點(diǎn)D位于x軸正半軸時(shí)，如圖2，在x軸上截取CF＝AM，∵AB＝CB，∠MAB＝∠FCB＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴BM＝BF，∠ABM＝∠CBF，∵∠DBM＝45°，∴∠DBF＝∠DBC+∠CBF＝∠DBC+∠ABM＝90°﹣∠DBM＝45°，∴∠DBM＝∠DBF，又∵BD＝BD，∴△DBM≌△DBF（SAS），設(shè)OM＝y(tǒng)，則AM＝CF＝5﹣y，DF＝DM＝CD+CF＝5﹣2+5﹣y＝8﹣y，在Rt△MOD中，MD2＝OM2+OD2，即（8﹣y）2＝y(tǒng)2+22，解得：y＝，∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；②當(dāng)點(diǎn)D位于x軸負(fù)半軸時(shí)，如圖3，在x軸上截取CF＝AM，同理可得△ABM≌△CBF，△DBM≌△DBF，設(shè)OM＝y(tǒng)，則AM＝y(tǒng)﹣5＝CF，DF＝2+5﹣（y﹣5）＝12﹣y＝DM，在Rt△MOD中，MD2＝OM2+OD2，即（12﹣y）2＝y(tǒng)2+22，解得：y＝，∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），綜上，M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，），故答案為：（0，）或（0，）．12．（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝45°，若將△DAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周長(zhǎng)為6，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3．（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝60°，請(qǐng)判斷線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，△ABM是等邊三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)．解：（1）如圖1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周長(zhǎng)為：MN+CM+CN＝6，∴BM+CM+CN+DN＝6，∴BC+CD＝6，∴BC＝CD＝3，故答案為3．（2）如圖2中，結(jié)論：MN＝NM+DN．延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN，連接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN，∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE，∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）解：如圖3，把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，連接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一點(diǎn)K，使得∠NKH＝30°在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，∴AK＝KN，∴∠KAN＝∠KNA，∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，∴∠NAK＝15°，∴∠MAN＝75°＝∠BAD，由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．13．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：正方形ABCD中，M，N分別是直線CB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，∠MAN＝45°，當(dāng)∠MAN交邊CB、DC于點(diǎn)M、N（如圖①）時(shí)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)CB至E使BE＝DN，并連接AE，構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：（1）直接寫出上面問(wèn)題中，線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)∠MAN分別交邊CB，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M/N時(shí)（如圖②），線段BM，DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明；（3）在圖①中，若正方形的邊長(zhǎng)為16cm，DN＝4cm，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，試求MN的長(zhǎng)．解：（1）BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．理由如下：如圖，在DC上截取DF＝BM，連接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN＝FN，即MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；（3）∵正方形的邊長(zhǎng)為16，DN＝4，∴CN＝12．根據(jù)（1）可知，BM+DN＝MN，設(shè)MN＝x，則BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．在Rt△CMN中，∵M(jìn)N2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得x＝13.6．∴MN＝13.6cm．14．問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE+DF．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB