模型01 平行線拐點之豬蹄、鋸齒、鉛筆模型（教師版）

平行線拐點之豬蹄、鋸齒、鉛筆模型大招平行線拐點之豬蹄、鋸齒、鉛筆模型大招模型介紹模型介紹模型一：豬蹄與鋸齒模型【模型結(jié)論】如圖，直線MA∥NB，則：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【證明】：（1）∠APB＝∠A+∠B這個結(jié)論正確，理由如下如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【模型辨析】①注意：拐角為左右依次排列②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進行拆分

模型二：鉛筆模型【模型結(jié)論】如圖1：AB∥CD，則∠1+∠2＝180°；如圖2：AB∥CD，則∠1+∠2+∠3＝360°；如圖3：AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如圖4：AB∥CD，則∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。【證明】在圖1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；在圖2中，過E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖3中，過E作AB的平行線EN，過點F作AB的平行線FM，∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；在圖4中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．【模型辨析】①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應(yīng)進行拆分.例題精講例題精講考點一：豬蹄模型【例1】．如圖，直線AB∥CD，∠C＝44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，∵∠C＝44°，∠AEC為直角，∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，故選：B．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿足的等式是（）A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°解：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故選：D．【變式1-2】．如圖，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，則∠N＝50°．解：如圖所示，過M作ME∥AB，則∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝180°×2＝360°，又∵∠BMD＝160°，∴∠ABM+∠CDM＝200°，又∵∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∴∠NBM+∠NDM＝×200°＝150°，∴四邊形BMDN中，∠N＝360°﹣150°﹣160°＝50°，故答案為：50°．【變式1-3】．如圖，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．解：如圖，過點E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，故答案為：540°．考點二：鋸齒模型【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，則∠E：∠F＝3：2．解：過E、F分別作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM，CD∥FN，∴∠CDE＝∠DEM，∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，∠ABF＝∠BFN，∴∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∠DFB＝∠CDF+∠ABF，∵∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE∴∠DFB＝∠CDE+∠ABE＝∠DEB，∴∠DEB：∠DFB＝3：2，故答案為：3：2．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，直線AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，則∠GHM的大小是（）A．20° B．30° C．40° D．50°解：如圖，作GJ∥AB，HK∥AB交MN于K．∵AB∥GJ，HK∥AB，AB∥CD，∴AB∥GJ∥HK∥CD，∴∠AFE＝∠JGF＝30°，∵∠FGH＝90°，∴∠JGH＝∠GHK＝60°，∵∠CNP＝∠HKN＝40°＝∠M+∠MHK，∠M＝30°，∴∠MHK＝40°﹣30°＝10°，∴∠GHM＝60°﹣10°＝50°，故選：D．【變式2-2】．如圖①，已知AB∥CD，CE，BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1；第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2；第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3…第n次操作，分別作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為En．如圖②，若∠En＝b°，則∠BEC的度數(shù)是2nb°．解：如圖①，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如圖②，∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分線交點為E2，∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；如圖②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此類推，∠En＝∠BEC．∴當(dāng)∠En＝b°時，∠BEC等于2nb°考點三：鉛筆頭模型【例3】.已知AB∥CD，試解決下列問題：（1）如圖1所示，∠1+∠2＝180°．（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？請說明理由．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°．解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如圖3，過點E，點F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°，故答案為：（n﹣1）×180°．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°解：過點E作EF∥l1，標記如圖所示．∵l1∥l2，∴l(xiāng)1∥l2∥EF，∴∠2+∠GEF＝180°，∠1+∠DEF＝180°．∵∠2＝140°，∠1＝105°，∴∠DEF＝75°，∠GEF＝40°，∴∠3＝65°．故選：C．【變式3-2】．如圖，一環(huán)湖公路的AB段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后，又變成了東西方向的FE段，則∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是540°．解：如圖，根據(jù)題意可知：AB∥EF，分別過點C，D作AB的平行線CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，則∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠HDC＝180°，∠HDE+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案為540°．【變式3-3】．如圖，兩直線AB與CD平行，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝900°．解：分別過E點，F(xiàn)點，G點，H點作L1，L2，L3，L4平行于AB利用內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，把這六個角轉(zhuǎn)化一下，可得，有5個180°的角，∴180×5＝900°．故答案為：900．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，則∠C的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．120° D．140°解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，即∠A+∠AEC+∠C＝360°，∵∠A＝140°，∠AEC＝120°，∴∠C＝100°，故選：B．2．如圖，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α解：過C點作CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥DE，∴∠B+∠2＝∠D+∠1＝180°，∴β＝∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠2+∠D+∠1＝360°，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝α＝180°，∴2α＝β，故選：B．3．如圖，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（）A．α+β+γ B．β+γ﹣α C．180°﹣α﹣γ+β D．180°+α+γ+β解：過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD＝180°，∠DCM＝∠CMN，∠NMF＝γ，∴∠BCD＝180°﹣α，∠DCM＝∠CMN＝β﹣γ，∴x＝∠BCD+∠DCM＝180°﹣α+β﹣γ，故選：C．4．①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，AB∥CD，則∠P＝∠A﹣∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠E＝∠A+∠1；④如圖4，直線AB∥CD∥EF，點O在直線EF上，則∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故本結(jié)論錯誤，不符合題意；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故本結(jié)論正確，符合題意；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故本結(jié)論錯誤，不符合題意；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故本結(jié)論正確，符合題意；綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2，故選：B．5.如圖，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，則∠D的度數(shù)是．解：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥FC∥DE，∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故選：C．6．如圖，直線m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，則∠BCD的度數(shù)為解：如圖，過B作BE∥m，過C作CF∥n，∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故選：B．7．如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為150°．解：延長AB交l2于E，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．故答案為：150°．8．如圖，若直線a∥b，那么∠x＝度．解：令與130°互補的角為∠1，如圖所示．∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故答案為：64．9．如圖，已知AB∥CD，EF⊥AB于點E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，則∠EFG的度數(shù)是．解：過點H作HM∥AB，延長EF交CD于點N，如圖所示：∵AB∥CD，EF⊥AB，∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，∴∠CGH＝30°，∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，∵∠EFG是△FGN的外角，∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．故選：C．10．如圖，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠E：∠F＝．解：過點E、F分別作AB的平行線EG、FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED：∠BFD＝3：2．11．（1）如圖1，AM∥CN，求證：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．解：（1）①證明：如圖1，過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴所有角的和為（n+1）?180°．12．如圖，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如圖①，寫出∠BED與∠D的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF與DF交于點F，求∠EFD的度數(shù)；（3）如圖③，過B作BG⊥AB于G點，∠CDE＝4∠GDE，求的值．解：（1）結(jié)論：∠BED+∠D＝120°，證明：如圖①，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠D，∵∠ABE＝120°，∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，∴∠D+∠BED＝120°；（2）如圖②，∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，即∠CDE＝3∠CDF，設(shè)∠BEF＝α，∠CDF＝β，∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴3α+3β＝120°，∴α+β＝40°，∴2α+2β＝80°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，答：∠EFD的度數(shù)為100°；（3）如圖③，∵BG⊥AB，∴∠ABG＝90°，∵∠ABE＝120°．∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，∵∠CDE＝4∠GDE，∴∠GDE＝∠CDE，∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴∠CDE＝120°﹣∠E，∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），∴∠G＝∠E，∴＝．13．如圖1，點A是直線HD上一點，C是直線GE上一點，B是直線HD、GE之間的一點．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°（1）求證：AD∥CE；（2）如圖2，作∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的角平分線交于點F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，若點P是線段AB上一點（不同于A點），Q是GE上任意一點，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度數(shù)．（1）證明：如圖1中，作BK∥DH，∵BK∥DH，∴∠DAB+∠ABK＝180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，∴∠CBK+∠BCE＝1