2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題06 半角模型綜合應(yīng)用（知識解讀）

專題06半角模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法?！痉椒记伞款愋鸵唬旱妊苯侨切谓呛虢悄Ｐ停?）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.旋轉(zhuǎn)法翻折法作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，點E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.圖示（3）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型作輔助線：延長FC到G，使得CG=BE，連接DG結(jié)論：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF【典例分析】【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC．（1）求證：∠ADC+∠CDE＝180°；（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的長；（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的周長和面積．【變式1-1】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC邊上兩點，∠DAE＝45°，過A點作AF⊥AE，且AF＝AE，連接DF、BF．下列結(jié)論：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，則AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為．【類型二：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時，求EF的長？【變式2-1】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長為．【變式2-2】（2021秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易證得EF＝BE+FD．大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任務(wù)：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認為結(jié)論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）【變式3-1】探究：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明．【變式3-2】已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠MAN＝45°①求證：MN＝BM+DN；②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點．設(shè)BF＝y(tǒng)，DE＝x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，連接D'E．（Ⅰ）如圖1，當∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝D'E；（Ⅱ）如圖2，當DE＝D'E時，請寫出∠DAE與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（Ⅲ）當∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'時，請直接寫出BD與DE的數(shù)量關(guān)系（不必說明理由）．【變式4-1】（2017秋?錦江區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)是邊BC所在直線上與點B，C不重合的兩點．（1）如圖1，當∠BAC＝90°，∠EAF＝45°時，直接寫出線段BE，CF，EF的數(shù)量關(guān)系；（不必證明）（2）如圖2，當∠BAC＝60°，∠EAF＝30°時，已知BE＝3，CF＝5，求線段EF的長度；（3）如圖3，當∠BAC＝90°，∠EAF＝135°時，請?zhí)骄烤€段CE，BF，EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式4-2】等邊△ABC，D為△ABC外一點，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射線DM與直線AB相交于點M，射線DN與直線AC相交于點N，①當點M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．②當點M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時，猜想①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明．③當點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．專題06半角模型（知識解讀）【專題說明】角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標三角形法和翻折目標三角形法?！痉椒记伞款愋鸵唬旱妊苯侨切谓呛虢悄Ｐ停?）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.旋轉(zhuǎn)法翻折法作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，點E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD+CE=DE.（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點A作AG⊥于EF于點G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.圖示（3）作法：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型作輔助線：延長FC到G，使得CG=BE，連接DG結(jié)論：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF【典例分析】【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】【典例1】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，若將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC．（1）求證：∠ADC+∠CDE＝180°；（2）若AB＝3cm，AC＝，求AD的長；（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的周長和面積．【解答】（1）證明：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，則∠B+∠ADC＝180°．∵將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC，∴△ABC≌△EDC，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠ADC+∠CDE＝180°；（2）解：∵將△ABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△EDC，∴AC＝EC＝，AB＝ED＝3cm，∠ACE＝90°，∴AE＝AC＝8cm，∴AD＝AE﹣EC＝AE﹣AB＝5cm；（3）解：如圖，連接BD．由（2）知，AD＝5cm．則在直角△ABD中，由勾股定理得到：BD＝＝．又∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝＝，∴四邊形ABCD的周長為：AB+AD+2BC＝3+5+2＝8+2；∵△ABC≌△EDC，∴四邊形ABCD的面積＝△ACE的面積＝AC?CE＝×4×4＝16（cm2）．綜上所述，四邊形ABCD的周長為（8+2）cm，面積為16cm2．【變式1-1】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E為BC邊上兩點，∠DAE＝45°，過A點作AF⊥AE，且AF＝AE，連接DF、BF．下列結(jié)論：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD＝4，CE＝3，則AB＝6；④若AB＝BE，S△ABD＝，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠FAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠FAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AF＝AE，∴△ABF≌△ACE（SAS），故①正確；∵∠DAE＝45°，∠FAE＝90°，∴∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴∠FDA＝∠EDA，∴AD平分∠EDF，故②正確；在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AB，∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝CE＝3，∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°，∴DF＝＝＝5，∵△FAD≌△EAD，∴FD＝ED＝5，∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，∴AB＝6，故③正確；∵AB＝BE，∠ABE＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝67.5°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠DAE﹣∠AED＝67.5°，∴∠ADB＝∠AEC，∵AB＝AC，∠ABE＝∠C＝45°，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE，∵BF＝CE，∴BD＝BF，∵∠FBD＝90°，∴DF＝BD，∴DE＝BD，∴S△ADE＝S△ABD，故④錯誤；綜上所述，正確的個數(shù)有3個，故選：C【變式1-2】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，則MN的長為．【解答】解：將△AMB逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ACF，連接NF，∴CF＝BM，AF＝AM，∠B＝∠ACF．∠2＝∠3，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠1+∠3＝∠1+∠2＝90°﹣45°＝45°＝∠NAF，在△MAN和△FAN中∴△MAN≌△FAN，∴MN＝NF，∵∠ACF＝∠B＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FCN＝90°，∵CF＝BM＝1，CN＝3，∴在Rt△CFN中，由勾股定理得：MN＝NF＝＝，故答案為：．【類型二：正方形中角含半角模型】【典例2】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：△EDF≌△MDF；（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時，求EF的長？【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠DCF＝90°，AD＝AB＝BC＝5，由旋轉(zhuǎn)得：∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠DCF+∠DCM＝180°，∴F、C、M三點在同一條直線上，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDC＝45°，∴∠EDF＝FDM，∵DF＝DF，∴△EDF≌△MDF（SAS）；（2）設(shè)CF＝x，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣x，由旋轉(zhuǎn)得：AE＝CM＝2，∴BE＝AB﹣AE＝3，F(xiàn)M＝CF+CM＝2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF＝FM＝2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2＝EF2，∴9+（5﹣x）2＝（2+x）2，∴x＝，∴EF＝2+x＝，∴EF的長為．【變式2-1】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．（1）求證：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的長為．【解答】（1）證明：∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：設(shè)BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，【變式2-2】（2021秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易證得EF＝BE+FD．大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．任務(wù)：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認為結(jié)論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【解答】解：成立．證明：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABM，∴△ABM≌△ADF，∠ABM＝∠D＝90°，∠MAB＝∠FAD，AM＝AF，MB＝DF，∴∠MBE＝∠ABM+∠ABE＝180°，∴M、B、E三點共線，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝60°，∴∠MAE＝∠FAE，∵AE＝AE，AM＝AF，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝ME＝MB+BE＝DF+BE．【典例3】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，設(shè)NH＝x，則MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3【變式3-1】探究：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把（1）問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD”，則（1）問中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E、F運動到BC、CD延長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明．【解答】解：（1）如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立．理由如下：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，則△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，∠ABF′＝∠D，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAF′，∴∠EAF＝∠EAF′，又∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABF′+∠ABE＝180°，∴F′、B、E三點共線，在△AEF與△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又∵EF′＝BE+BF′，∴EF＝BE+DF；（3）發(fā)生變化．EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF＝BE﹣DF．理由如下：如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，點F落在BC上點F′處，得到△ABF′，∴△ADF≌△ABF′，∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF，又∵∠EAF＝∠BAD，且∠BAF′＝∠DAF，∴∠F′AE＝∠BAD﹣（∠BAF′+∠EAD）＝∠BAD﹣（∠DAF+∠EAD）＝∠BAD﹣∠FAE＝∠FAE，即∠F′AE＝∠FAE，在△F′AE與△FAE中，，∴△F′AE≌△FAE（SAS），∴EF＝EF′，又∵BE＝BF′+EF′，∴EF′＝BE﹣BF′，即EF＝BE﹣DF．【變式3-2】已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠MAN＝45°①求證：MN＝BM+DN；②若AM、AN交對角線BD于E、F兩點．設(shè)BF＝y(tǒng)，DE＝x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】（1）證明：將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，∴∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，∵M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，∴△AMN≌△AM′N′，∴MN＝NM′，∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，∴MN＝BM+DN．（2）解：∵∠AED＝45°+∠BAE，∠FAB＝45°+∠BAE，∴∠AED＝∠FAB，∵∠ABF＝∠ADE，∴△BFA∽△DAE，∴＝，∴＝，∴y＝．【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，連接D'E．（Ⅰ）如圖1，當∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝D'E；（Ⅱ）如圖2，當DE＝D'E時，請寫出∠DAE與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（Ⅲ）當∠BAC＝90°，DE＝D'E，EC＝CD'時，請直接寫出BD與DE的數(shù)量關(guān)系（不必說明理由）．【解答】（I）證明：∵將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD'，∴AD＝AD'，∠CAD'＝BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D'AE＝∠CAD'+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAE＝∠D'AE，在△ADE與△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SAS），∴DE＝D'E；（Ⅱ）解：∠DAE＝，理由如下：在△ADE與△AD'E中，，∴△ADE≌△AD'E（SSS），∴∠DAE＝∠D'AE，∴∠BAD+∠CAE＝∠CAD'+∠CAE＝∠D'AE＝∠DAE，∴∠DAE＝；（Ⅲ）解：DE＝BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝45°，∴∠ECD＝90°，∵EC＝CD'，∴△ECD'是等腰直角三角形，∴D'E＝CD'＝BD，∵DE＝D'E，∴DE＝BD．【變式4-1】（2017秋?錦江區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)是邊BC所在直線上與點B，C不重合的兩點．（1）如圖1，當∠BAC＝90°，∠EAF＝45°時，直接寫出線段BE，CF，EF的數(shù)量關(guān)系；（不必證明）（2）如圖2，當∠BAC＝60°，∠EAF＝30°時，已知BE＝3，CF＝5，求線段EF的長度；（3）如圖3，當∠BAC＝90°，∠EAF＝135°時，請?zhí)骄烤€段CE，BF，EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）結(jié)論：EF2＝BE2+CF2．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG，連接FG，如圖1中，∴AG＝AE，CG＝BE，∠ACG＝∠B，∠EAG＝90°，∴∠FCG＝∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°，