二章函數(shù)概念與性質(zhì)九節(jié)圖象

第九節(jié)函數(shù)的圖象?1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇圖象法、列表法、解析式法表示函數(shù).2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解集的問題.CONTENTS010203/目錄

知識·逐點夯實考點·分類突破課時·過關(guān)檢測01?1.利用描點法作函數(shù)圖象的步驟2.函數(shù)圖象的變換?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝f（x）＋1的圖象可由y＝f（x）的圖象向下平移1個單位長度得到.

（

）答案：（1）×

（2）函數(shù)y＝f（x）與y＝－f（x）的圖象關(guān)于原點對稱.

（

）（3）將函數(shù)y＝f（－x）的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y＝f（－x－1）的圖象.

（

）答案：（2）×

答案：（3）×2.（多選）若函數(shù)y＝ax＋b－1（a＞0，且a≠1）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則下列選項中正確的有（

）A.a＞1B.0＜a＜1C.b＞0D.b＜0解析：AD

因為函數(shù)y＝ax＋b－1（a＞0，且a≠1）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以其大致圖象如圖所示.由圖象可知函數(shù)為增函數(shù)，所以a＞1，當(dāng)x＝0時，y＝1＋b－1＝b＜0，故選A、D.3.把函數(shù)f（x）＝lnx的圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，得到的圖象的函數(shù)解析式是

?.

4.若關(guān)于x的方程｜x｜＝a－x只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是

?.

答案：（0，＋∞）?1.函數(shù)圖象自身的軸對稱（1）f（－x）＝f（x）?函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；（2）函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f（a＋x）＝f（a－x）?f（x）＝f（2a－x）?f（－x）＝f（2a＋x）；

2.函數(shù)圖象自身的中心對稱（1）f（－x）＝－f（x）?函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；（2）函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對稱?f（a＋x）＝－f（a－x）?f（x）＝－f（2a－x）?f（－x）＝－f（2a＋x）；（3）函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）成中心對稱?f（a＋x）＝2b－f（a－x）?f（x）＝2b－f（2a－x）.

?1.下列說法正確的是

（

）A.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（1＋x）＝f（1－x），則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱B.若函數(shù)y＝f（x）滿足f（x＋1）＝f（x－1），則函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱C.當(dāng)x∈（0，＋∞）時，函數(shù)y＝f（｜x｜）的圖象與y＝｜f（x）｜的圖象相同D.函數(shù)y＝f（1－x）的圖象可由y＝f（－x）的圖象向左平移1個單位長度得到解析：A

由結(jié)論1知A正確，B錯誤；令f（x）＝－x，則當(dāng)x∈（0，＋∞）時，f（｜x｜）＝f（x）＝－x，｜f（x）｜＝x，f（｜x｜）≠｜f（x）｜，故C錯誤；y＝f（－x）的圖象向左平移1個單位長度得到y(tǒng)＝f（－x－1）的圖象，故D錯誤.2.若對于函數(shù)y＝f（x）定義域內(nèi)的任意x都有f（2＋x）＋f（2－x）＝6，則y＝f（x）的圖象關(guān)于點

?對稱.

解析：由結(jié)論2知，a＝2，b＝3，圖象關(guān)于點（2，3）成中心對稱.答案：（2，3）3.函數(shù)y＝f（－2－x）與y＝f（x＋2）的圖象關(guān)于直線

?對稱.

解析：由結(jié)論3知－2－x＝x＋2，則x＝－2，所以函數(shù)y＝f（－2－x）與y＝f（x＋2）的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱.答案：x＝－202作函數(shù)圖象【例1】

作出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝2x＋1－1；解

（1）將y＝2x的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖①所示.（2）y＝｜lg（x－1）｜.解

（2）首先作出y＝lg

x的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg（x－1）的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝｜lg（x－1）｜的圖象，如圖②所示（實線部分）.｜解題技法｜作函數(shù)圖象的兩種常用方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本初等函數(shù)時，可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出；（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.提醒

（1）畫函數(shù)的圖象時一定要注意定義域；（2）利用圖象變換法時要注意變換順序.?

作出下列函數(shù)的圖象：

（2）y＝2｜x｜.解：（2）y＝2｜x｜的圖象是由y＝2x在y軸右邊的圖象和其關(guān)于y軸對稱的圖象組成的，如圖②所示.函數(shù)圖象的識別

答案

（1）A

（2）（2022·全國乙卷）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[－3，3]的大致圖象，則該函數(shù)是（

）

答案

（2）A｜解題技法｜1.由函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象的2個關(guān)鍵點（1）利用函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)奇偶函數(shù)圖象的對稱性，排除不合適的選項；（2）利用特值法，根據(jù)函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)值的符號或極限思想，對不適合的選項進(jìn)行排除.2.由函數(shù)圖象判斷其解析式的關(guān)鍵會觀圖，從圖象的左右位置，判斷函數(shù)的定義域；從圖象的上下位置，判斷函數(shù)的值域；從圖象的變化趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性；從圖象的對稱性，判斷函數(shù)的奇偶性.從而把不合適的解析式排除.?1.已知函數(shù)f（x）＝xlnx的圖象如圖所示，則函數(shù)f（1－x）的圖象為

（

）解析：D

易知函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，所以函數(shù)f（1－x）的定義域為（－∞，1）.故排除A、C；又當(dāng)x＝－1時，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln

2＞0，故排除B.故選D.

A.a＞0，b＞0，c＜0B.a＜0，b＞0，c＞0C.a＜0，b＞0，c＜0D.a＜0，b＜0，c＜0

函數(shù)圖象的應(yīng)用考向1

探究函數(shù)的性質(zhì)【例3】

已知函數(shù)f（x）＝x｜x｜－2x，則下列結(jié)論正確的是

（

）A.f（x）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0，＋∞）B.f（x）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（－∞，1）C.f（x）是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是（－1，1）D.f（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（－∞，0）

答案

C｜解題技法｜根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)的方法（1）觀察函數(shù)圖象是否連續(xù)，左右范圍以及最高點和最低點，確定定義域、值域；（2）觀察函數(shù)圖象是否關(guān)于原點或y軸對稱，確定函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)函數(shù)圖象上升和下降的情況，確定單調(diào)性.考向2

探究不等式問題【例4】

（1）設(shè)函數(shù)y＝f（x＋1）是定義在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函數(shù)，在區(qū)間（－∞，0）上是減函數(shù)，且圖象過點（1，0），則不等式（x－1）f（x）≤0的解集為

?；

答案

（1）{x｜x≤0或1＜x≤2}

（2）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f（x）＞f（－x）－2x的解集是

?.

｜解題技法｜利用函數(shù)圖象研究不等式問題的方法

當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法直接求解但其與函數(shù)有關(guān)時，可將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象（圖象易得）的上、下關(guān)系問題，利用圖象法求解.若函數(shù)為抽象函數(shù)，可根據(jù)題目畫出大致圖象，再結(jié)合圖象求解.考向3

求參數(shù)的范圍

A.（－∞，－1]∪[0，＋∞）B.[0，1]C.[－1，0]D.（－1，0）

答案

C｜解題技法｜

當(dāng)參數(shù)的不等式關(guān)系不易找出時，可將函數(shù)（或方程）等價轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個函數(shù)，再根據(jù)題設(shè)條件和圖象的變化確定參數(shù)的取值范圍.?1.（多選）已知函數(shù)f（x）＝｜lgx｜，則

（

）A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）值域為[0，＋∞）C.f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增D.f（x）有一個零點解析：BD

畫出f（x）＝｜lg

x｜的函數(shù)圖象如圖，由圖可知，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯誤；f（x）值域為[0，＋∞），故B正確；f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，故C錯誤；f（x）有一個零點1，故D正確.故選B、D.2.若函數(shù)f（x）＝ax－x－a（a＞0，且a≠1）有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

?.

解析：函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)就是函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y＝x＋a的圖象的交點的個數(shù)，如圖，當(dāng)a＞1時，兩函數(shù)圖象有兩個交點；當(dāng)0＜a＜1時，兩函數(shù)圖象有一個交點.故a＞1.答案：（1，＋∞）

03?1.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)f（x）＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是

（

）A.y＝ln（1－x）B.y＝ln（2－x）C.y＝ln（1＋x）D.y＝ln（2＋x）解析：B

法一：設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點的坐標(biāo)為（x，y），則其關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標(biāo)為（2－x，y），由對稱性知點（2－x，y）在函數(shù)f（x）＝ln

x的圖象上，所以y＝ln（2－x）.法二：由題意知，對稱軸上的點（1，0）既在函數(shù)y＝ln

x的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項中的函數(shù)解析式逐一檢驗，排除A、C、D，故選B.

C.－1D.－2

4.若函數(shù)y＝f（x）的大致圖象如圖，則f（x）的解析式可能是

（

）

5.函數(shù)g（x）＝f（x－1）－f（1－x）的圖象可能是（

）解析：D

函數(shù)g（x）＝f（x－1）－f（1－x），將x代換成2－x，則g（2－x）＝f（1－x）－f（x－1）＝－g（x），所以g（2－x）＋g（x）＝0，則函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，故選項A、B、C錯誤，選項D正確.故選D.6.（多選）對于函數(shù)f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列說法正確的是

（

）A.f（x＋2）是偶函數(shù)B.f（x＋2）是奇函數(shù)C.f（x）在區(qū)間（－∞，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，＋∞）上單調(diào)遞增D.f（x）沒有最小值解析：AC

f（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）為偶函數(shù)，A正確，B錯誤.作出f（x）的圖象如圖所示，可知f（x）在（－∞，2）上單調(diào)遞減，在（2，＋∞）上單調(diào)遞增；由圖象可知函數(shù)存在最小值0，C正確，D錯誤.

答案：（2，8]8.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)f（x）＝

?.

①f（x）＝f（2－x）；②當(dāng)x∈（1，＋∞）時，f（x）單調(diào)遞減.解析：由f（x）＝f（2－x）知函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線