專題10 數(shù)列不等式的放縮問題 （練習）（原卷版）-2024年高考數(shù)學二輪復習講練測（新教材新高考）

專題10數(shù)列不等式的放縮問題目錄01先求和后放縮 102裂項放縮 303等比放縮 404型不等式的證明 505型不等式的證明 706型不等式的證明 907型不等式的證明 1101先求和后放縮1．（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為，且______請在是公差為的等差數(shù)列；是公比為的等比數(shù)列，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.(1)求的通項公式(2)在與之間插入個實數(shù)，使這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和，證明：2．（2023·吉林白城·高三?？茧A段練習）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為，證明：.3．（2023·天津·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設數(shù)列的前項和為，且，求(3)設數(shù)列滿足：．證明：．4．（2023·陜西西安·高三西安市第三中學校考期中）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為.證明：對一切正整數(shù)，.02裂項放縮5．（2023·貴州黔東南·高三天柱民族中學校聯(lián)考階段練習）已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.6．（2023·湖南常德·高三臨澧縣第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前項和；(3)求證：.7．（2023·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；(2)若數(shù)列的前10項和為361，記，數(shù)列的前項和為，求證：.8．（2023·河北唐山·模擬預測）已知和是公差相等的等差數(shù)列，且公差的首項，記為數(shù)列的前項和，．(1)求和；(2)若的前項和為，求證：．03等比放縮9．（2023·廣東梅州·高三梅州市梅江區(qū)梅州中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為，，是與的等差中項．(1)求的通項公式；(2)設，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．(3)設，且數(shù)列的前項和為，求證：．10．（2023·全國·高三專題練習）求證：（）.11．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）記數(shù)列的前項和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：.04型不等式的證明12．（2023·河南·方城第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)（）.(1)證明：；(2)若正項數(shù)列滿足，且，記的前項和為，證明：（）.13．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)證明：當時，恒成立；(2)首項為的數(shù)列滿足：當時，有，證明：.14．（2023·重慶·高三校聯(lián)考期中）設數(shù)列的前項之積為，滿足.(1)設，求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項之和為，證明：.15．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且.（函數(shù)求導次可用表示）(1)求的通項公式.(2)求證：對任意的，，都有.16．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，證明：；(2)數(shù)列的前項和為，且；（?。┣螅唬áⅲ┣笞C：．17．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)證明：.18．（2023·海南·海口市瓊山華僑中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上只有一個零點，求的取值范圍；(2)若，記數(shù)列的前項和為，證明：．05型不等式的證明19．（2023·黑龍江大慶·高二大慶一中?？茧A段練習）已知曲線Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點P（﹣1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）.(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；(2)證明：.20．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，滿足，，且，.（1）求及；（2）猜想，的通項公式，并證明你的結(jié)論；（3）證明：對所有的，.21．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期末）在各項為正數(shù)的數(shù)列中，，點在曲線上；對于數(shù)列，點在過點，且以為方向向量的直線上．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，問是否存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；(3)對任意正整數(shù)，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍．06型不等式的證明22．（2023·山西·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)．(1)證明：對恒成立；(2)是否存在，使得成立？請說明理由．23．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？既＃┯洖閿?shù)列的前n項和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)數(shù)列{}滿足且，的前n項和為，證明:.24．（2023·四川成都·高一成都七中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．25．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)已知當時，，證明：.26．（2023·天津南開·高三南開中學校考階段練習）已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，滿足，，．(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)若數(shù)列滿足，，記．是否存在整數(shù)，使得對任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．27．（2023·福建·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)記數(shù)列的前項和為，當時，求證：.28．（2023·江西宜春·高二奉新縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）若在處有極值，問是否存在實數(shù)m，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.；（2）若，設.①求證：當時，；②設，求證：07型不等式的證明29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，．令，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．30．（2023·廣東廣州·高三廣