高中數(shù)學-2.3.1-2.3.2-平面向量基本定理、正交分解及坐標表示-課件-新人教A版必修4

第二章平面向量

第三節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示第二課時平面向量的正交分解及坐標表示

思考：給定平面內(nèi)任意兩個向量e1，e2，請你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2．平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？設e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖研究a與e1、e2之間的關系．e1e2aCaAe1e1e2aONMBe2NM即a=λ1e1+λ2e2．由圖可知，OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB平面向量根本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底（base）．不共線向量有不同方向，它們的位置關系可以用夾角來表示．關于向量的夾角，規(guī)定：OabBAθ當θ=0°時，a與b同向；當θ=180°時，a與b反向．如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b．已知兩個非零向量a和b．如圖，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角．

例1已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.e1e23e2-2.5e1OABC2.作平行四邊形AOBC．作法:1.如圖，任取一點O，作OA=-2.5e1，OB=3e2．OC就是求作的向量．MOCNa〔1〕一組平面向量的基底有多少對？〔有無數(shù)對〕思考EFANBMaOCMENMOCNaEF〔2〕假設基底選取不同，那么表示同一向量的實數(shù)λ1、λ2是否相同？〔可以不同，也可以相同〕ABOC=OF+OE

OC=2OA+OE

OC=2OB+ON

NE特別的，若a=0，則有且只有：λ1=λ2=0可使0=λ1e1+λ2e2．若λ1與λ2中只有一個為零，情況會是怎樣？特別的，若a與e1（e2）共線，則有λ2=0（λ1=0），使得：a=λ1e1+λ2e2．

如圖，光滑斜面上一個木塊受到重力G的作用，產(chǎn)生兩個效果，一是木塊受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力F2．也就是說，重力G的效果等價于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．G=F1+F2叫做把重力G分解．類似地，由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的情形．把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如圖，重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解．如圖，在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi+yj．①Oxyijaa=（x，y），②其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，②式叫做向量的坐標表示．顯然，i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）．這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標，記作Oxyija如圖，在直角坐標平面中，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由向量a唯一確定．Oxyijaaxy設OA=xi+yj，則向量OA的坐標（x，y）就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標（x，y）也就是向量OA的坐標．因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示．daxiOyj12345-5-4-3-2-112345-1-2-3-3-4-5AA1A2cb

解：由圖可知，同理，

例2如圖，分別用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標．a(chǎn)=AA1+AA2=2i+3j，∴a=（2，3）．b=-2i+3j=（-2，3）；c=-2i-3j=（-2，-3）；d=2i-3j=（2，-3）．練習請大家在圖中確一組基底，將其它向量用這組基底表示出來．ANMCDB梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC，M、N分別是DC，AB的中點．ANMCDB解析：設AB=e1，AD=e2，則有：DC=AB=e11212BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+