中國石油大學090107概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復習題及參考答案

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程綜合復習資料一、單選題1.設某人進行射擊，每次擊中的概率為1/3,今獨立重復射擊10次，則恰好擊中3次的概率為()。a?Φ3Φ7B.?φ3×(∣)7C?cioψ7×(∣)3d??3答案：B2.設X∣,X2,.X〃為來自總體X的一個樣本，區(qū)為樣本均值，EX未知，則總體方差OX的無偏估計量為()。A.--∑(X∕-X)2“Ti=ITOC\o"1-5"\h\zn _o1X(Xz-X)2ni=?? 0C?-∑(X，?一EX)1 〃 oD?--∑(Xi-EX)2〃-答案：A3.設X”X2,…，X〃為來自總體N(〃，/)的一個樣本，區(qū)為樣本均值，已知，記S12=-∑(Xz-X)2,5^=1X(Xz-X)2,則服從自由度為〃-1的f分布統(tǒng)計量是()。〃一IT ni=?MT=Sl/3S2/4nS)∕√n答案：D.設總體X?/HO),O為未知參數(shù)，X1,X2,.-,X“為*的一個樣本,0(X1,X2,--,.Xn),0(X1,X2,???,XZJ)為兩個統(tǒng)計量,包力為。的置信度為的置信區(qū)間,則應有()。P{Θ<Θ}=aP{Θ<Θ}=?-aP[Θ<Θ<Θ]=aP[Θ<Θ<Θ}=?-a答案：D.某人射擊中靶的概率為3/5,如果射擊直到中靶為止，則射擊次數(shù)為3的概率()。A.?36,設X和Y均服從正態(tài)分布X?N(μ工),Y~N(μ32),記P]=P{X<μ-2],p2=P{Y≥μ+3}f則OoA.對任何實數(shù)〃都有p∣>〃2B.對任何實數(shù)〃都有p∣<〃2C.僅對〃的個別值有Pl=p2D.對任何實數(shù)〃都有p∣二〃2答案：D7.設A和B為任意兩個事件，且Au3,P(B)>0,則必有()。P(A)<P(A?B)P(A)NP(AIB)P(A)>P(A?B)P(A)≤P(A?B)答案：D8.已知事件48相互獨立，P(B)>0,則下列說法不正確的是()。Λ.P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)48互不相容P(A∣B)=P(A)答案：C.甲、乙兩人獨立的對同一目標各射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概率是()。0.65/1175%6/11答案：C.已知P(A)=I/3,P(BIA)=I/5,P(AlB)=I/2,求P(AUB)二()。1/43/52/51/3答案：C.甲、乙兩人獨立的對同一目標各射擊一次，其命中率分別為0.5和0.6,則目標被命中的概率是()。0.90.70.550.8答案：D

二、填空題1.設X、y的概率分布分別為9(Λ?)=Jj1泰5；以加4；,)：：則E(X2_”)二Oo答案：9-3.一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個(有放回)。則恰有一次取到次品的概率為()。答案:10/36.一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個(不放回)。則至少取到一個正品的概率為()。答案：65/66.設X的概率分布為)X>0,則X的分布函數(shù)F(X)=Oo0,x≤0x>0x≤01—x>0x≤0答案：F(X)=0,.已知隨機變量X的分布列為X012P?0.30.50.2則：隨機變量X的期望EX=()。答案：0.9.已知隨機變量X的分布列為Xl-I0 2Pi0.4 0.2P則：DX=Oo答案：L84.一個盒子中有10個球，其中有3個紅球，2個黑球，5個白球，從中取球兩次，每次取一個(無放回)，則取到的兩只球至少有一個黑球的概率為()。答案：17/45.設對于事件4、B.C?P(A)=P(B)=P(C)=-,P(ABC)≈-f4 12P(AB)=P(BC)=P(AC)=-f貝∣JA、B、C都不發(fā)生的概率為()。8答案：13/24I+/,-1≤X≤O.設隨機變量X~/(x)=?A-x,O<x≤l,則常數(shù)A=O00,其它答案：1.已知事件A,B滿足PG48)=PQAClByP(A)=p,則P(B)=Oo答案：I-P.已知隨機變量X的分布列為Xl-IO2Pi0.4 0.2P則：EX=O0答案：0?4.已知隨機變量X的分布列為XOl2Pk073 05 02則：隨機變量X的方差。X=()。答案：0?49.一個盒子中有10個球，其中有3個紅球，2個黑球，5個白球，從中取球兩次，每次取一個(無放回)，則第二次取到黑球的概率為()。答案：1/5.一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個(有放回)。則兩次都取到次品的概率為()。答案：1/36.設隨機變量X~N(1,2?)則EX2=()o答案：5三、解答題O,X≤OL設X的分布函數(shù)為尸(X)= 求：1/2,1<x≤2Lx>2X的概率分布;1 3 3P{X<-}^P{?≤X<-}.P{1≤X≤∣}o答案：(1)X的概率分布列為Xol2P 1/3~1/6~1/2TOC\o"1-5"\h\zP{X<-)=F(-)=-2 2 33 3 1P{?≤X<-}=P[X<-}-P{X<?}=-Z Z O3 3 3 1P{l≤X≤-}=P{l<X<-}+P{X=∣}=-2.設隨機向量(X,丫)的概率密度為[C,0<x<l,0<y<2xAQ1。，其他求：(1)常數(shù)C；(2)關于x、y的邊緣概率密度，并判斷X與y是否相互獨立。答案：(1)利用歸一性知：∫∫/(x,y)dxdy=1=≠>C=1(2)yx(χ)=￡/(”)(，當C)VXVI時，有∕x(x)=匚/(%,)，)力=『dy=2x其他情況時，∕x(x)=0另口知/(χ)={α其他同理人(加卜右°J<2〔0,其他由于f(χ,y)w￡(χ)X4(y)知X與Y不相互獨立。3.已知r」X、y分別服從正態(tài)分布N(0,32)和N(2,42),且X與Y的相關系數(shù)pxγ=-1/2,設Z=X∕3+Y∕2,求：

(1)數(shù)學期望￡Z,方差。Z；X與Z的相關系數(shù)夕χz°答案：(1)由數(shù)學期望、方差的性質及相關系數(shù)的定義得TOC\o"1-5"\h\zV Y X Y I IEZ=E(—+-)=E(—)+E(-)=-×0+-×2=l3 2 3 2 3 2V V V Y V γDZ=D(—+-)=D(—)+D(-)+2Cov(-,-)3 2 3 2 3 2=^rDX+-4DK+2×-×-pxr√5x√5F32 22 32Cov(X,Z)=Cov(X,-X+-n=-Cov(X,X)+-Cov(X,y)3 2 3 2=-DX+-pvv√DX√DT=03 2Xy從而有X與Z的相關系數(shù)PXZ=裝好=0√DX√DZ4.設4.設X∣,X2,…,X”為X的一個樣本，X~/(λU)=?(∕l+l)∕,0<x<l其中4>_］為未知參數(shù)，求0,其它/1的極大似然估計量。答案：設王，x2,…，X〃為X-X2,…，X”觀測值，則構造似然函數(shù)L(2)=(2÷l)rt(?f.)/=1InL=n]n(λ+?)+λ^j]∩xii=?JlnLn JlnLn = Fdλ,Λ÷1ZInxi=0z=l解的4的極大似然估計量為2=∑lnX,/=1.設χ,X2fXifX」是來自正態(tài)總體N(0,32)的簡單隨機樣本，X=a(XL2Xj+N2X「3X4)2試確定。、〃使統(tǒng)計量X服從/分布，并指出其自由度。

答案：依題意，要使統(tǒng)計量X服從/分布，則必需使4/2(X「2X?)及/(2X3-3X，服從標準正態(tài)分布。由于X∣,X2,X3,X,為簡單隨機樣本，故相互獨立，所以由正態(tài)隨機變量的性質知α,z2(X1-2X2)~N(0,(9α+364)),從而解得α=1/45同理Ra(2X1-3X2)~N(0√366+8%)),從而解得b=1/117由/分布定義知，當Q=表、匕=+時，丫=。區(qū)-2乂2)2+伙2*3-3*4)2服從力2分布，且自由度為2.已知工廠4、B生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為現(xiàn)和2樂現(xiàn)從由A、B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：(1)該產(chǎn)品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是B工廠的概率。答案：設C表示“取到的產(chǎn)品是次品”；A“取到的產(chǎn)品是A工廠的“；B“取到的產(chǎn)品是B工廠的“。則(1)取到的產(chǎn)品是次品的概率為P(C)=P(A)P(ClA)+P(B)P(ClB)=60 1 40βP(C)=P(A)P(ClA)+P(B)P(ClB)=60 1 40βXβ+—

1001001002 7ioδ-5θδ(2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是B工廠的概率為40 2 V WAlC—P(8C)—P(B)P(CTB) 1001004P(C)P(Λ)P(C∣A)+P(B)P(CIB) 7?07.一批產(chǎn)品共有10件正品2件次品，從中任取兩件，求：(1)兩件都是正品的概率；(2)恰有一件次品的概率；(3)至少取到一件次品的概率。答案：設A表示：“取出的兩件都是正品是正品”；8表示：“取出的兩件恰有一件次品”；C表示：“取出的兩件至少取到一件次品”；則(1)兩件都是正品的概率(2)恰有一件次品的概率p(b)=￡l0=12G233(3)至少取到一件次品的概率P(C)=l-P(A)=l-≤?-=l--=—C?2222.一批產(chǎn)品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個(不放回)。求：(1)至少取到一個正品的概率；(2)第二次取到次品的概率；(3)恰有一次取到次品的概率。答案：設Aj表示：“第i次取出的是正品”(廠1,2),則(1)至少取到一個正品的概率 _ __ 21 65I-P(A1A2)=I-P(A1)P(A2M1)=I--X-=—(2)第二次取到次品的概率為 _ _ __IO2 2 1 1P(Λ1A2UΛ1A2)=P(A1)P(A2IA1)+P(Λ1)P(Λ2IA1)=—×-+—×-=-(3)恰有一次取到次品的概率為_ _ 一 - - 102 21010P(AA2UA1A2)=P(Al)P(A2∣A1)+P(A1)P(A2∣A1)=-×-+-×-=—.一個盒子中有三只乒乓球，分別標有數(shù)字1,2,2。現(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取一只(有放回)，以x、y分別表示第一次、第二次取得球上標有的數(shù)字。求：(1)X和y的聯(lián)合概率分布；(2)關于X和y邊緣分布；(3)X和y是否相互獨立？為什么？答案：(1)(X,y)的所有可能取值為(LD、(1,2)、(2,1)、(2,2)OPn=P{X=LY=D=Jxg=",02=P{X=Ly=2}=∣×∣=∣212 224P21=p{x=2,丫=|)=5、§=3，022=p{χ=2,y=2}=1X]=a于是(x,y)的概率分布表為1211/92/922/94/9(2)關于X和y的邊緣概率分布分別為X12y12Pi.1/32/3Pj1/32/3X和y相互獨立。因為Pi,j有P-Xp.j=Pij10.設x∣,X2,???,X”為總體X的一個樣本，且X的概率分布為P{X=k}=(l-p)λ~,p,k=l,2,3√??o再，x2?????X〃為來自總體X的一個樣本觀察值，求P的極大似然估計值。答案：構造似然函數(shù)L(p)=∏p(χz,p)=∏p(1-p)xι~i=Pn(1-p),βlZ=I /=1nInL=〃lnp+(gj?-〃)In(I-P)/=InYx；-nd]nL n?fdp p1-p解得p=〃/￡巧，因此P的極大似然估計值為/=1力=〃/￡七/=1IL已知某種型號的雷管在一定刺激下發(fā)火率為4/5,今獨立重復地作刺激試驗，直到發(fā)火為止，則消耗的雷管數(shù)X的概率分布。答案：X的可能取值為1,2,3,-O記4表示“第后次試驗雷管發(fā)火”則4表示“第Z次試驗雷管不發(fā)火”從而得：4Pl=P{X=1}=Q(A)=W- - 14p2=P{X=2}=P(A1A2)=P(A)P(4)=-×-P3=P{X=3}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=(-)2×-Pk=P{X=k}=P(A1??..V1AJ=g)"T依次類推，得消耗的雷管數(shù)X的概率分布為4I-P{X=^}=-×(-)λ-1(k=1,2,3,…)12.設X∣,X2,…,X”為來自總體X的一個樣本，T為樣本均值，試問Q=LW(Xj-又尸是〃/=1否為總體方差Z)X的無偏估計量？為什么？1，7答案：Q=?LE(Xj-9)2不是總體方差Z)X的無偏估計量?！?=1設EX=SDX≈σ2f因為：1nInEX=E(-EXi)=-EEXi=Un,?=∣nl=?TOC\o"1-5"\h\z]n I? ∕τ2DX=D(-∑Xi)=-∑DXi=-ni=? nJ=I n]〃 ——C1no— —2EQ=E[-∑(Xi-X)2]=E[-∑(Xf-2XXi+X)]ni=? n1=1=-E(∑Xi2-πX)〃 /=I=-?∑(DXi+(EYz)2)-n(DX+(EX)2)]n/=I=—l∑(c,^2+W2)-∏(-+M2)]=-~~-σ2≠DXn/=i n n13.設相互獨立隨機變量X、Y的概率分布分別為/、 -,l≤x≤3 /、(2e-2yfy>02 ；