數(shù)學北師大版必修2課時作業(yè)1-6-1垂直關系的判定

課時作業(yè)8垂直關系的判定時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是(D)A．l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B．l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C．l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D．l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義和判定定理來找判定條件．2．在空間四邊形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(C)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABD⊥平面DBCD．平面ABC⊥平面DBC解析：因為AD⊥BC，AD⊥BD，而BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.因為AD平面ABD，所以平面ABD⊥平面DBC.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是(B)A．平面DD1C1CB．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，∴AD1⊥平面A1DB1.4.如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關系是(C)A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關系是垂直不相交．5．已知直線m，n與平面α，β，γ，下列可使α⊥β成立的條件是(D)A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，nβC．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β解析：選擇適合條件的幾何圖形觀察可得，A中α∥β或α與β相交，B中α，β相交，但不一定垂直，C中α∥β或α與β相交．6．給出以下幾個結(jié)論，其中正確的個數(shù)是(B)①平面α∥β，直線aα，直線bβ，則a∥b；②直線l和平面α、β，lα，lβ，l⊥α，l∥β，則α⊥β；③直線l和平面α、β，lα，lβ，l∥β，α⊥β，則l⊥α；④直線l∥α，α∥β，則l∥β.A．0B．1C．2D．3解析：①錯，分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線可平行，也可異面；②對，經(jīng)過l的平面γ與β相交于l′，則由l∥β知l∥l′，∵l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，又l′β，∴β⊥α；③錯，如圖(一)；④錯，如圖(二)，lβ，∴選B.7．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面(B)A．有且只有一個 B．至多一個C．有一個或無數(shù)個 D．不存在解析：若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個，否則不存在．8．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，AB＝6，BC＝3，則二面角α－l－β的平面角的大小為(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：當二面角α-l-β是銳二面角時，因為AB⊥β且lβ，所以AB⊥l.因為BC⊥α，lα，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，所以l⊥AC.設垂足為H.所以BH平面ABC，所以l⊥BH，所以∠AHB為二面角α-l-β的平面角．Rt△BCA中，AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°.在Rt△ABH中，因為∠BAH＝30°，所以∠AHB＝60°.同理，當二面角α-l-β為鈍二面角時，可得所求二面角的平面角為120°.綜上所求角大小為60°或120°，故答案為D.二、填空題9．若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有7對．解析：如圖，平面PAD，PBD，PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小為45°.解析：∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1－AB－C的平面角，大小為45°.11．如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當四邊形ABCD滿足條件：AC⊥BD(答案不唯一)時，有A1C⊥B1D1(注：填上你認為正確的一種情形即可，不必考慮所有可能的情形)．三、解答題12．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD.證明：DC1⊥BC.證明：由題設知，三棱柱的側(cè)面為矩形．由于D為AA1的中點，故DC＝DC1.又AC＝eq\f(1,2)AA1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.又BC平面BCD，故DC1⊥BC.13．如圖，在四面體A－BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.證明：∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD與△BCD是等腰三角形．取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD，∴∠AEC為二面角A－BD－C的平面角．在Rt△ABE中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理，CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角為90°，∴平面ABD⊥平面BCD.——能力提升類——14．從平面外一點向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果這些斜線與平面成等角，有如下命題：①△ABC為正三角形；②垂足是△ABC的內(nèi)心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正確命題的個數(shù)是(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：由角相等可得垂足到斜足的距離相等，故③正確．15.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中點．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；(2)當點F在BB1上的什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：∵棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點F為所求．證明如下：∵C