第3章 函數(shù)的數(shù)值逼近

1第三章函數(shù)的數(shù)值逼近

代數(shù)多項(xiàng)式插值分段插值與保形插值樣條函數(shù)插值曲線擬合的最小二乘方法函數(shù)的最佳平方逼近引言

一、函數(shù)的工程化表達(dá)對(duì)于很多實(shí)際工程計(jì)算問(wèn)題，函數(shù)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的，表達(dá)形式上為函數(shù)表，無(wú)解析表達(dá)形式。2.雖然有些函數(shù)存在解析的表達(dá)式，但形式過(guò)于復(fù)雜而不易使用，通常也會(huì)造一個(gè)函數(shù)表。(例如：大家熟悉的三角函數(shù)表，對(duì)數(shù)表，平方根表，立方根表。)

需求：為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表上的函數(shù)值。解決方法：用易于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)近似函數(shù)表和復(fù)雜函數(shù)。設(shè)函數(shù)y=(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且已知(x)在點(diǎn)上的值為，若存在一簡(jiǎn)單函數(shù),使得成立，就稱(chēng)為的插值函數(shù)，點(diǎn)稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn),包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間[a,b]稱(chēng)為插值區(qū)間，求解函數(shù)的方法稱(chēng)為插值法。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)用曲線g

(x)來(lái)近似f(x)，以此計(jì)算x點(diǎn)值二維插值前二維插值后若是次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式，即其中為實(shí)數(shù)，就稱(chēng)為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱(chēng)為多項(xiàng)式插值。如果為分段的多項(xiàng)式，就是分段插值，若為三角多項(xiàng)式，就稱(chēng)為三角插值。研究問(wèn)題：（1）滿(mǎn)足插值條件的P(x)

是否存在唯一？（2）若滿(mǎn)足插值條件的P(x)

存在，如何構(gòu)造P(x)？（3）如何估計(jì)用P

(x)近似替代f

(

x)產(chǎn)生的誤差？一.插值多項(xiàng)式的存在唯一性由(1)式可得(2)設(shè)是的插值多項(xiàng)式，表示次數(shù)不超過(guò)n的所有多項(xiàng)式的集合。且。稱(chēng)插值多項(xiàng)式存在且唯一，就是指在中有且僅有一個(gè)滿(mǎn)足(1)式。插值多項(xiàng)式的唯一性

方程組(2)有唯一解即，證明：上式稱(chēng)為范德蒙(Vandermonde)行列式范德蒙行列式的性質(zhì)：由于時(shí)，，故定理1滿(mǎn)足條件(1)的插值多項(xiàng)式存在且唯一。y

0x

y=f(x)

的幾何意義一、線性插值與拋物線插值1.線性插值(n=1)設(shè)已知區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，求線性插值多項(xiàng)式，使其滿(mǎn)足y=L1(x)xk

xk+1

代數(shù)多項(xiàng)式插值

——過(guò)兩點(diǎn)(xk

,yk)與

(xk+1,

yk+1)

的直線或L1(x)是兩個(gè)線性函數(shù)的線性組合稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)上的線性插值基函數(shù)線性函數(shù)可以把的表達(dá)式寫(xiě)為

y10

xk

xk+1

x

y10

xk

xk+1

x

lk(x)

lk+1(x)滿(mǎn)足線性插值基函數(shù)2.拋物插值法

(n

=2時(shí)的二次插值)

設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為：,求二次插值多項(xiàng)式，使得

先求

插值基函數(shù)lk-1(x),lk(x),lk+1(x),且在節(jié)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何意義，--過(guò)三點(diǎn)的曲線。插值多項(xiàng)式L2(x)是三個(gè)二次函數(shù)的線性組合y

1

0

xy

1

0

xy

1

0

xxk-1

xk

xk+1

xk-1

xk

xk+1

xk-1

xk

xk+1

拉格朗日多項(xiàng)式插值(n次)niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項(xiàng)式使得條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即基函數(shù)必須滿(mǎn)足：li(x)

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(拉格朗日插值多項(xiàng)式與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)f每個(gè)li

有n

個(gè)根x0…

xi…xn問(wèn)題：這種插值得到的

近似的截?cái)嗾`差如何？截?cái)嗾`差：這個(gè)截?cái)嗾`差也被稱(chēng)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。為理論上分析方便，我們引入記號(hào)：它的一階導(dǎo)數(shù)：拉格朗日插值基函數(shù)也可以寫(xiě)成：定理設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)，是節(jié)點(diǎn)上的插值多項(xiàng)式，則對(duì)于任何，插值余項(xiàng)為證明：由給定條件知在節(jié)點(diǎn)上為零，即，于是其中是與x有關(guān)的待定系數(shù)?，F(xiàn)在把x看成[a,b]上一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù)根據(jù)插值條件及余項(xiàng)定義，可知在點(diǎn)及x處均為零，故在[a,b]上有n+2個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾(Rolle)定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)零點(diǎn)。故在[a,b]內(nèi)至少有n+1個(gè)零點(diǎn)。對(duì)再應(yīng)用羅爾定理，可知在[a,b]內(nèi)至少有n

個(gè)零點(diǎn)。依次類(lèi)推，在[a,b]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，記為，使于是將它帶入原式，得到余項(xiàng)表達(dá)式。注：

通常不能確定

x

,而是估計(jì),

x(a,b)

將作為誤差估計(jì)上限。

當(dāng)

f(x)為任一個(gè)次數(shù)

n

的多項(xiàng)式時(shí)，,可知，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)

n的多項(xiàng)式是精確的。例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算

利用這里而

sin50=0.7660444…)185(50sin10

pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實(shí)際誤差

0.01001

利用sin50

0.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實(shí)際誤差

0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的x

所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。n=2)185(50sin20

pL0.76543

sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差

0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……分段低次插值與保形插值例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱(chēng)為Runge現(xiàn)象Ln(x)

f(x)

分段低次插值盡量充分利用已有的信息插值多項(xiàng)式的次數(shù)不能持續(xù)無(wú)限制的增大&&Runge現(xiàn)象矛盾低次分段插值實(shí)際上,很少采用高于7次的插值多項(xiàng)式分段線性插值：所謂分段線性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線連接起來(lái)逼近f（x）

分段線性插值在每個(gè)區(qū)間上，用1階多項(xiàng)式

(直線)逼近f(x):記，易證：當(dāng)時(shí)，一致失去了原函數(shù)的光滑性。為什么前面分析的分段線性插值完全沒(méi)有光滑性呢？解決方法：不僅令插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上與原函數(shù)值相等，還令其導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等。原因之一是插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒(méi)能逼近原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。厄密插值多項(xiàng)式法

我們一般只考慮一階導(dǎo)數(shù)的情況，以及函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相等的情況。已知節(jié)點(diǎn)及在其上的函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表要求插值多項(xiàng)式滿(mǎn)足條件分析：這里給出了2n+2個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式，其形式為2n+2個(gè)系數(shù)呢？問(wèn)題：分析：直接根據(jù)來(lái)確定這些系數(shù)顯然非常復(fù)雜。如何確定中這仍然采用求拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)方法。令插值基函數(shù)為及共2n+2個(gè)，每一個(gè)基函數(shù)都是2n+1次多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足條件于是，插值多項(xiàng)式，可以寫(xiě)成用插值基函數(shù)表示的形式求求求解其中為拉格朗日基函數(shù)，

c，d為待定系數(shù)令？由得：如何求取對(duì)數(shù)求導(dǎo)故：求解其中為拉格朗日基函數(shù)，

e，f為待定系數(shù)令？同理代入：得：設(shè)有及都是厄密插值問(wèn)題的解。證明厄密插值的唯一性。證明：那么為次數(shù)的多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足條件：這說(shuō)明都是的二重零點(diǎn)，即共有2n+2個(gè)零點(diǎn)。即，n次方程最多有n個(gè)零點(diǎn)。為Hermite插值多項(xiàng)式，

則定理

(Hermite插值余項(xiàng))證明與拉格朗日余項(xiàng)公式證明類(lèi)似.問(wèn)題：已知，函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表分段三次厄密插值(保形插值)對(duì)于每個(gè)小區(qū)間求3次多項(xiàng)式使其滿(mǎn)足插值條件這種插值即為分段三次厄密插值，也叫保形插值。存在且唯一，具體表達(dá)式：高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值Hermite插值分段插值但分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提?。ㄕ业剑┤螛訔l插值（不需要每點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，并滿(mǎn)足二階光滑的工程需求）發(fā)展背景三次樣條插值(Cubicsplineinterpolation)前面討論的分段低次插值函數(shù)都有一致收斂性，但光滑性較差，對(duì)于像高速飛機(jī)的機(jī)翼形線，船體放樣等型值線往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。問(wèn)題：早期工程師制圖時(shí)，把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條(樣條)用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其他地方讓它自由彎曲，然后畫(huà)下長(zhǎng)條的曲線，成為樣條曲線。它實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。解決方案：數(shù)學(xué)定義：若函數(shù),且在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，其中是給定節(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)

是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)給定函數(shù)值，并成立則稱(chēng)為三次樣條插值函數(shù)。分析：

因在上是3次多項(xiàng)式，即為4n個(gè)待定系數(shù):共有個(gè)條件

要唯一確定，還必須附加條件(2邊界條件)。個(gè)條件已有條件：內(nèi)部條件：

個(gè)條件

連續(xù)性4n個(gè)待定系數(shù)常見(jiàn)邊界條件有三種：注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)。三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造(三轉(zhuǎn)角方程)現(xiàn)在構(gòu)造滿(mǎn)足插值條件及加上相應(yīng)邊界條件的三次樣條函數(shù)S(x)的表達(dá)式。若假設(shè)在節(jié)點(diǎn)處的值為，仿分段三次厄密插值公式，可得：

是未知的解決方法利用及邊界條件為求出，考慮S(x)在上的表達(dá)式：(首先令)對(duì)S(x)求二次導(dǎo)數(shù)得同理可得在上的表達(dá)式：(首先令)由條件可得：式子兩邊除以令有說(shuō)明：(b)上式有n-1個(gè)方程,要確定n+1個(gè)未知量缺少兩個(gè)方程,由邊界條件補(bǔ)足.方程組成的方程組.

mj(j=0,1,…,n)在力學(xué)上叫做細(xì)梁xj(j=0,1,…,n)處的轉(zhuǎn)角，數(shù)學(xué)上叫做變化率。上式反映了mj與mj-1,mj+1的關(guān)系,因此叫做三轉(zhuǎn)角方程。的n-1個(gè)(a)上式是關(guān)于n+1個(gè)未知量上面的方程組為關(guān)于所滿(mǎn)足的方程組：(1)增加第1種邊界條件：則方程組變?yōu)殛P(guān)于所滿(mǎn)足的方程組可寫(xiě)為：矛盾方程組n+1個(gè)未知量，n-1個(gè)方程如果邊界條件為第二類(lèi)：如果邊界條件為自然邊界條件：如果邊界條件為第三類(lèi)：令這些方程組的系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由此可知這些方程組的系數(shù)陣為非奇異矩陣，則方程組有唯一解可由解方程組的方法求解，從而可以得出的表達(dá)式，且S(x)具有連續(xù)的一階,二階導(dǎo)數(shù)(即S(x)為3次樣條插值函數(shù)）。說(shuō)明：注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴(lài)于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。例

已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。求滿(mǎn)足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529分析：屬于第一類(lèi)邊界條件三次樣條插值問(wèn)題由第一類(lèi)邊界條件：厄密插值公式由于數(shù)值逼近問(wèn)題在生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中有很多函數(shù)，它的解析表達(dá)式是不知道的，僅能通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察的方法測(cè)得一系列節(jié)點(diǎn)上的值。即得到一組數(shù)據(jù)或者說(shuō)得到平面上一組點(diǎn)，現(xiàn)在的問(wèn)題是尋求的近似表達(dá)式。用幾何語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是尋求一條曲線，來(lái)擬合（平滑）這m個(gè)點(diǎn)，簡(jiǎn)言之求一曲線擬合。曲線擬合是求近似函數(shù)的又一類(lèi)數(shù)值方法。它不要求函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處與函數(shù)同值，即不要求近似曲線過(guò)已知點(diǎn)，只要求它盡可能反映給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的基本趨勢(shì)，在某種意義下“逼近”函數(shù)。函數(shù)逼近的兩種度量1.最佳一致逼近尋求次數(shù)的多項(xiàng)式P*n(x)，使的n次最佳一致逼近多項(xiàng)式。相應(yīng)的逼近問(wèn)題稱(chēng)為最佳一致逼近（或稱(chēng)為極大極小逼近，或稱(chēng)為理論上可以證明，對(duì)存在且唯一。多項(xiàng)式次最佳一致逼近切比雪夫（Chebyshev）逼近）。若存在稱(chēng)為f(x)2.最佳平方逼近均方誤差尋求使其中權(quán)函數(shù)ω(x)滿(mǎn)足：這種逼近問(wèn)題稱(chēng)為最佳平方逼近問(wèn)題。中的最佳平方逼近多項(xiàng)式。在[a,b]上可積在[a,b]任意小區(qū)間內(nèi)不恒等于0(1)在各種度量意義下最佳逼近多項(xiàng)式是否存在？是否唯一？（主要討論：最小二乘逼近）(2)如何具體尋找或構(gòu)造各種最佳逼近意義下多項(xiàng)式問(wèn)題：1.基礎(chǔ)知識(shí)已知關(guān)于點(diǎn)集上函數(shù)，(1)內(nèi)積：定義:

內(nèi)積滿(mǎn)足以下四條性質(zhì)：定義

設(shè)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).(2)函數(shù)的歐幾里德范數(shù)性質(zhì)：(3)正交:若滿(mǎn)足則稱(chēng)與在[a,b]上帶權(quán)正交。若函數(shù)族，滿(mǎn)足關(guān)系則稱(chēng)是[a,b]上帶權(quán)的正交函數(shù)族。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(4)函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè)有函數(shù)組在[a,b]上連續(xù)若在[a,b]上線性無(wú)關(guān)稱(chēng)否則，稱(chēng)函數(shù)組在[a,b]上線性相關(guān)若函數(shù)族中的任意有限個(gè)線性無(wú)關(guān)，則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)函數(shù)族。例如：就是[a,b]上的線性無(wú)關(guān)函數(shù)族。定理：在[a,b]上線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的克萊姆(Gramer)行列式，其中曲線擬合的最小二乘法在科學(xué)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法研究中，往往要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系。由于貫徹?cái)?shù)據(jù)往往不準(zhǔn)確，因此不要求經(jīng)過(guò)所有點(diǎn)，而只要求在給定點(diǎn)上誤差按照某種標(biāo)準(zhǔn)最小。若記，誤差最小即要求向量的范數(shù)最小。如果采用最大范數(shù)，計(jì)算上困難較大，通常就采用歐式范數(shù)作為誤差量度的標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于最小二乘法的一般提法是：對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)，要求在函數(shù)類(lèi)中找到一個(gè)函數(shù)，使誤差平方和其中這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語(yǔ)言說(shuō)，就稱(chēng)為曲線擬合的最小二乘法。的一般表達(dá)式是用最小二乘法求擬合曲線時(shí)，首先要確定的形式。這不單純是數(shù)學(xué)問(wèn)題，還與所研究的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及所得觀測(cè)數(shù)據(jù)有關(guān)。通常要從問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及給定的數(shù)據(jù)描圖，確定的形式，并通過(guò)實(shí)際計(jì)算選出較好的結(jié)果。所表示的線性形式。若是k次多項(xiàng)式，那么就是n次多項(xiàng)式。為了使問(wèn)題的提法更具有一般性，通常把最小二乘法中都考慮成加權(quán)平方和。其中是[a,b]上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點(diǎn)處的數(shù)據(jù)比重不同。例如可表示在點(diǎn)處重復(fù)觀測(cè)的次數(shù)。用最小二乘法求擬合曲線的問(wèn)題，即求下式的最小值問(wèn)題:轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極小值問(wèn)題由多元函數(shù)極值的必要條件有：若記那么上式可寫(xiě)為上面這個(gè)方程成為法方程，可以寫(xiě)成矩陣形式：其中由于線性無(wú)關(guān)，故從而得到函數(shù)的最小二乘解為因?yàn)?/p>