微積分基礎(chǔ)(國家開放大學)-極限的概念和計算

微積分基礎(chǔ)(國家開放大學)---------極限的概念和計算2024-01-25目錄極限的基本概念極限的計算方法無窮小量與無窮大量極限的應(yīng)用舉例01極限的基本概念對于數(shù)列{an}，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，|an-A|<ε恒成立，則稱數(shù)列{an}的極限為A，記作limn→∞an=A。數(shù)列極限的定義對于函數(shù)f(x)，當x趨近于某個值x0（或無窮大）時，如果函數(shù)值f(x)無限接近于某個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當x趨近于x0（或無窮大）時的極限，記作limx→x0f(x)=A（或limx→∞f(x)=A）。函數(shù)極限的定義極限的定義010203唯一性如果數(shù)列{an}或函數(shù)f(x)的極限存在，那么該極限是唯一的。有界性如果數(shù)列{an}收斂于A，那么數(shù)列{an}是有界的。保號性如果limx→x0f(x)=A>0（或<0），那么在x0的某個去心鄰域內(nèi)，f(x)>0（或<0）。極限的性質(zhì)數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列{an}的極限為A，意味著當n無限增大時，數(shù)列的項an無限接近于A。在數(shù)軸上，這表現(xiàn)為點an逐漸靠近點A。函數(shù)極限的幾何意義函數(shù)f(x)在x趨近于x0（或無窮大）時的極限為A，意味著當x無限趨近于x0（或無窮大）時，函數(shù)值f(x)無限接近于A。在函數(shù)圖像上，這表現(xiàn)為曲線逐漸靠近直線y=A。極限的幾何意義02極限的計算方法直接代入法01直接代入法是指將自變量直接代入函數(shù)表達式中計算函數(shù)值的方法。02該方法適用于函數(shù)在自變量取值的點處連續(xù)的情況。在使用直接代入法時，需要注意自變量的取值范圍以及函數(shù)表達式的定義域。03010203消去法是指通過消去分母或分子中的某些項，從而簡化函數(shù)表達式的方法。該方法適用于分式函數(shù)或含有根式的函數(shù)極限的計算。在使用消去法時，需要注意消去后函數(shù)表達式的等價性，以及消去過程中可能出現(xiàn)的錯誤。消去法洛必達法則010203洛必達法則是指在一定條件下，通過求導數(shù)的方式計算函數(shù)極限的方法。該方法適用于函數(shù)在自變量取值的點處不連續(xù)或不可導的情況。在使用洛必達法則時，需要注意滿足洛必達法則的條件，以及求導的正確性和計算的準確性。03在使用泰勒公式法時，需要注意泰勒公式的展開項數(shù)以及展開的精度要求，同時需要注意計算的準確性和收斂性。01泰勒公式法是指利用泰勒公式將函數(shù)展開成多項式，從而計算函數(shù)極限的方法。02該方法適用于函數(shù)在自變量取值的點處可導且導數(shù)存在的情況。泰勒公式法03無窮小量與無窮大量性質(zhì)無窮小量不是一個具體的數(shù)，而是一個變量，其絕對值可以小于任何正數(shù)。無窮小量與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小量。無窮小量之間可以進行比較，例如高階無窮小量和低階無窮小量。定義：如果函數(shù)$f(x)$在自變量的某個變化過程中，其絕對值無限趨近于0，則稱$f(x)$是這個變化過程中的無窮小量。無窮小量的定義與性質(zhì)無窮大量與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮大量。正無窮大量和負無窮大量統(tǒng)稱為無窮大量。無窮大量也不是一個具體的數(shù)，而是一個變量，其絕對值可以大于任何正數(shù)。定義：如果函數(shù)$f(x)$在自變量的某個變化過程中，其絕對值無限增大，則稱$f(x)$是這個變化過程中的無窮大量。性質(zhì)無窮大量的定義與性質(zhì)無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。02在自變量的某個變化過程中，如果函數(shù)$f(x)$是無窮小量，則$frac{1}{f(x)}$是無窮大量；反之亦然。03無窮小量與無窮大量在分析函數(shù)的性質(zhì)和進行函數(shù)運算時具有重要的作用，例如在求極限、判斷函數(shù)的增減性、研究函數(shù)的連續(xù)性等方面都會用到這兩個概念。0104極限的應(yīng)用舉例若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)定義連續(xù)函數(shù)具有局部有界性、局部保號性、四則運算性質(zhì)等。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條不間斷的曲線。連續(xù)函數(shù)的圖形特點連續(xù)函數(shù)的概念及性質(zhì)導數(shù)的定義函數(shù)在某一點處的導數(shù)描述了該函數(shù)在該點處的切線斜率。導數(shù)的計算通過求極限的方式計算導數(shù)，常見的方法有定義法、公式法、運算法則等。導數(shù)的應(yīng)用導數(shù)在幾何上表示曲線的切線斜率，在物理上表示速度、加速度等，在經(jīng)濟上表示邊際效應(yīng)等。導數(shù)的概念及計算定積分的計算通過求原函數(shù)或利用定積分的性質(zhì)進行計算，常見的方法有換元法、分部積分法等。定積分的應(yīng)用定積分在幾何上表示面積、體積等，在物理上表示功、能等，在經(jīng)濟上表示總收益、總成本等。定積分的定義定積分是函數(shù)在某個區(qū)間上的積分，表示函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。定積分的概念及計算微分方程的定義微分方程是含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程。微分方程的解法通過對方程進行