概率與統(tǒng)計的綜合運用（13大核心考點）（講義）（原卷版）-2024年高考數(shù)學二輪復習講練測（新教材新高考）

專題21概率與統(tǒng)計的綜合運用【目錄】 2 3 4 6 10考點一：求概率及隨機變量的分布列與期望 10考點二：超幾何分布與二項分布 11考點三：概率與其它知識的交匯問題 13考點四：期望與方差的實際應用 14考點五：正態(tài)分布與標準正態(tài)分布 16考點六：統(tǒng)計圖表及數(shù)字特征 18考點七：線性回歸與非線性回歸分析 21考點八：獨立性檢驗 24考點九：與體育比賽規(guī)則有關的概率問題 27考點十：決策型問題 28考點十一：遞推型概率命題 30考點十二：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式 32考點十三：高等背景下的概統(tǒng)問題 33概率統(tǒng)計在高考中扮演著很重要的角色，概率統(tǒng)計解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學必考內容，考查熱點為古典概型、相互獨立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機變量的分布列、期望與方差的實際應用等．回顧近幾年的高考試題，可以看出概率統(tǒng)計解答題，大多緊密結合社會實際，以現(xiàn)實生活為背景設置試題，注重知識的綜合應用與實際應用，作為考查實踐能力的重要載體，命題者要求考生會收集，整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，建立數(shù)學模型，再應用數(shù)學原理和數(shù)學工具解決實際問題．考點要求考題統(tǒng)計考情分析統(tǒng)計圖表及數(shù)字特征2023年乙卷第17題，12分2023年II卷第19題，12分2022年II卷第19題，12分【命題預測】預測2024年高考，以解答題形式出現(xiàn)，具體估計為：（1）以解答題壓軸題形式出現(xiàn)，考查數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理與數(shù)學運算四大核心素養(yǎng)．（2）熱點是與體育比賽規(guī)則有關的概率問題及高等背景下的概統(tǒng)問題.期望與方差2023年上海卷第19題，14分2023年I卷第21題，12分2022年甲卷第19題，12分2021年I卷第18題，12分獨立性檢驗2023年甲卷第17題，12分2022年I卷第20題，12分

（一）涉及的概率知識層面主要考查隨機變量的概率分布與數(shù)學期望，一定要根據(jù)有關概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨立事件還是獨立重復試驗，以便選擇正確的計算方法，進行概率計算及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算，也要掌握幾種常見常考的概率分布模型：離散型有二項分布、超幾何分布，連續(xù)型有正態(tài)分布．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，1、離散型隨機變量的期望與方差一般地，若離散型隨機變量的分布列為稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．稱為隨機變量的方差，它刻畫了隨機變量與其均值的偏離程度，其算術平方根為隨機變量的標準差．（1）離散型隨機變量的分布列的性質=1\*GB3①；=2\*GB3②．（2）均值與方差的性質若，其中為常數(shù)，則也是隨機變量，且（3）分布列的求法=1\*GB3①與排列、組合有關分布列的求法．由排列、組合、概率知識求出概率，再求出分布列．=2\*GB3②與頻率分布直方圖有關分布列的求法．可由頻率估計概率，再求出分布列．=3\*GB3③與互斥事件有關分布列的求法．弄清互斥事件的關系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．=4\*GB3④與獨立事件（或獨立重復試驗）有關分布列的求法．先弄清獨立事件的關系，求出各個概率，再列出分布列．（4）常見的離散型隨機變量的概率分布模型=1\*GB3①二項分布；=2\*GB3②超兒何分布．2、常見的連續(xù)型概率分布模型正態(tài)分布．（二）概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力1、與數(shù)列結合的實際問題2、與函數(shù)導數(shù)結合的實際問題3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結合的實際問題4、與統(tǒng)計結合的實際問題5、與其他背景結合的實際問題1．（2023?乙卷）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，，2，．試驗結果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，2，，，記，，，的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高．（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）2．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．（1）當漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；（2）設函數(shù)（c）（c）（c）．當，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．3．（2023?甲卷）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計算試驗組的樣本平均數(shù)；（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表；對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6354．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀藍色外觀棕色內飾128米色內飾23（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨立；（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設：假設1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結果，即外觀和內飾均為同色、外觀和內飾都異色、以及僅外觀或僅內飾同色；假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高；假設3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；請你分析獎項對應的結果，設為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學期望．5．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．6．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（?。┑慕Y果給出的估計值．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.8287．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總人口的．從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001．考點一：求概率及隨機變量的分布列與期望求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；（2）求出隨機變量所有可能取值對應的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算）【例1】（2024·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級中學校聯(lián)考期末）一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概率為，向左移動的概率為.(1)已知螞蟻2秒后所在位置對應的實數(shù)為非負數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；(2)記螞蟻4秒后所在位置對應的實數(shù)為，求的分布列與期望.【變式1-1】（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學?？茧A段練習）某學校為了學習、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學期望；(2)設這次比賽共有3局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．【變式1-2】（2024·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）某校高一年級開設建模，寫作，籃球，足球，音樂，朗誦，素描7門選修課，每位同學須彼此獨立地選3門課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學不選素描，乙同學沒有要求.(1)求甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率；(2)用表示甲、乙、丙選中建模的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望.考點二：超幾何分布與二項分布超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型，實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決．一般地，在含有件產品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，且，稱為超幾何分布列．一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則．此時稱隨機變量服從二項分布，記作，并稱為成功概率．此時有．【例2】（2024·河南南陽·高三南陽中學?？茧A段練習）假設某市大約有800萬網(wǎng)絡購物者，某電子商務公司對該地區(qū)n名網(wǎng)絡購物者某年度上半年前6個月內的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個小矩形依次對應第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進行網(wǎng)絡購物愛好調查，①求在各組應該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．【變式2-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.(1)求一個問題的應答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當最大時的值.【變式2-2】（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預測）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.(1)當時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；(2)我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；有二項分布中（即男性員工的人數(shù)）男性員工恰有2人的概率記作.那么當N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數(shù)據(jù)：）考點三：概率與其它知識的交匯問題在知識交匯處設計試題是高考命題的指導思想之一，概率作為高中數(shù)學具有實際應用背景的主要內容，除與實際應用問題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學知識對已知條件進行轉化．這類題型具體來說有兩大類：1、所給問題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識為載體的概率問題．求解時需要利用相關知識把所給問題轉化為概率模型，然后利用概率知識求解．2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉化為關于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導數(shù)知識進行求解；或者把問題轉化為與概率變量有關的數(shù)列遞推關系式，再通過構造特殊數(shù)列求通項或求和．【例3】（2024·全國·模擬預測）乒乓球被稱為我國的“國球”，是一種深受人們喜愛的球類體育項目．在某高校運動會的女子乒乓球單打半決賽階段，規(guī)定：每場比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場比賽結束．已知甲、乙兩名運動員進行了一場比賽，且均充分發(fā)揮出了水平，其中甲運動員每局比賽獲勝的概率為，每局比賽無平局，且每局比賽結果互不影響．(1)若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為，求乙每局比賽獲勝的概率；(2)若前三局比賽中甲只贏了一局，設這場比賽結束還需要比賽的局數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望，并求當為何值時，最大．【變式3-1】（2024·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知正六棱錐的底面邊長為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其數(shù)學期望．【變式3-2】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.（1）求概率的值；（2）求隨機變量的概率分布及其數(shù)學期望.考點四：期望與方差的實際應用數(shù)學期望反映的是隨機變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實際生活中，越來越多的決策需要應用數(shù)學期望與方差來對事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進行評估，通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（1）若我們希望實際的平均水平較理想，則先求隨機變量的期望，當時，不應認為它們一定一樣好，還需要用來比較這兩個隨機變量的方差，確定它們的偏離程度．（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實際問題的需要來判斷．【例4】（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學?？茧A段練習）為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調查結果如表：運動鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度注：①滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值；②對于每位回訪顧客，只調研一種款式運動鞋的滿意度．假設顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大?。ńY論不要求證明）【變式4-1】（2024·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）某人從地到地有路程接近的2條路線可以選擇，其中第一條路線上有個路口，第二條路線上有個路口.(1)若，，第一條路線的每個路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線的第一個路口遇到紅燈的概率為，第二個路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數(shù)的期望”考慮，哪條路線更好？請說明理由.(2)已知；隨機變量服從兩點分布，且，.則，且.若第一條路線的第個路口遇到紅燈的概率為，當選擇第一條路線時，求遇到紅燈次數(shù)的方差.【變式4-2】（2024·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)假設每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，寫出方差，，的大小關系.考點五：正態(tài)分布與標準正態(tài)分布解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：（1）對稱軸標準差分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉化，使分布區(qū)間轉化為特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標準正態(tài)分布下對稱軸為．【例5】（2024·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）某大型公司招聘新員工，應聘人員簡歷符合要求之后進入考試環(huán)節(jié).考試分為筆試和面試，只有筆試成績高于75分的考生才能進入面試環(huán)節(jié)，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績.(1)從參加筆試的1000名考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有一人進入面試的概率；(2)甲?乙?丙三名應聘人員進入面試環(huán)節(jié)，且他們通過面試的概率分別為.設這三名應聘人員中通過面試的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，【變式5-1】（2024·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預測）某地區(qū)教育局數(shù)學教研室為了了解本區(qū)高三學生一周用于數(shù)學學習時間的分布情況，做了全區(qū)8000名高三學生的問卷調查，現(xiàn)抽取其中部分問卷進行分析（問卷中滿時長為12小時），將調查所得學習時間分成，，，，，6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．

(1)求a的值；(2)以樣本估計總體，該地區(qū)高三學生數(shù)學學習時間近似服從正態(tài)分布，試估計該地區(qū)高三學生數(shù)學學習時間在內的人數(shù)；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學習時間在，內的學生隨機抽取8人，并從這8人中再隨機抽取3人作進一步分析，設3人中學習時間在內的人數(shù)為變量X，求X的期望．【變式5-2】（2024·河南開封·河南省蘭考縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：年高考總成績由語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績，．(1)若規(guī)定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業(yè)水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數(shù)，求的數(shù)學期望和方差．附：當時，，．考點六：統(tǒng)計圖表及數(shù)字特征1、制作頻率分布直方圖的步驟．第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距第二步：分組，通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表；第四步：畫頻率分布直方圖．2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點．（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總體個數(shù)．3、用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法．（1）眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標；（2）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；（3）平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和．【例6】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查.通過抽樣，獲得了某年200位居民家庭的月平均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值；(2)該市決定設置議價收費標準，用水量低于的居民家庭按照“民用價”收費，不低于的按照“商業(yè)價”收費，為保障有的居民能享受“民用價”，請設置該標準；(3)以每組數(shù)據(jù)的中點值作為該組數(shù)據(jù)的代表，分別是.規(guī)定“最佳穩(wěn)定值”是這樣一個量：與各組代表值的差的平方和最小.依此規(guī)定，請求出的值.【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）當代大學生有著購物、精神、文化、社交等多元化需求，這些需求促進大學城商圈的發(fā)展．某媒體調查了全國各地大學城中數(shù)千名消費者在大學城里的月均消費額及月均消費次數(shù)，從中隨機抽取500名消費者，把他們的月均消費額（單位：千元）按照，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖：統(tǒng)計他們的月均消費次數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：月均消費次數(shù)12345678人數(shù)406080120120502010(1)從全國各地大學城中隨機抽取8000名消費者，估計這8000名消費者中月均消費額大于2000元的人數(shù)及樣本中500名樣本消費者的月均消費額的眾數(shù)及平均數(shù)．(2)從月均消費次數(shù)超過5次的樣本消費者中按照月均消費次數(shù)分層抽樣，從中抽取n個人，抽取的月均消費6次的人數(shù)比月均消費8次的多4人．①求n的值；②若從抽取的n個人中再隨機抽取2個人給予禮品獎勵，求這2人的月均消費次數(shù)不都是6次的概率．【變式6-2】（2024·北京·高三東直門中學?？茧A段練習）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)為進一步了解這500名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在、、三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取8名學生，用表示這8名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中.當最大時，請直接寫出的值.（不需要說明理由）考點七：線性回歸與非線性回歸分析線性回歸分析的原理、方法和步驟：（1）利用圖表和數(shù)字特征可以對數(shù)據(jù)做簡單的分析，但是用回歸直線方程可以對數(shù)據(jù)的未來值進行預測．在選取數(shù)據(jù)觀察的時候，要注意大量相對穩(wěn)定的數(shù)據(jù)比不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)更有價值，近期的數(shù)據(jù)比過去久遠的數(shù)據(jù)更有價值．（2）判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關關系的方法：散點圖，相關系數(shù)．（3）相關指數(shù)與相關系數(shù)在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉化為線性回歸．【例7】（2024·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來務工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請用相關系數(shù)說明y與x之間的關系可用線性回歸模型擬合，并求y關于x的線性回歸方程.(2)假設該市政府對外來務工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補貼.①若該市E區(qū)有2萬名外來務工人員，根據(jù)（1）的結論估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補貼總金額；②若A區(qū)的外來務工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p，，其中，該市政府對甲、乙兩人的補貼總金額的期望不超過1400元，求p的取值范圍.參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【變式7-1】（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關系，分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日晝夜溫差x（℃）1011131286就診人數(shù)y（個）222529261612該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．參考公式：，．(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率；(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù)．①請根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；②若某日的晝夜溫差為7℃，請預測當日就診人數(shù)．（結果保留整數(shù)）．【變式7-2】（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯(lián)考階段練習）為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1～10分別對應年份2013～2022.

根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關于年份代碼x的經驗回歸方程模型，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關于年份代碼x的經驗回歸方程模型?并說明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關于x的經驗回歸方程；（ii）設該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.考點八：獨立性檢驗解獨立性檢驗應用問題的注意事項．（1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．（2）在列聯(lián)表中注意事件的對應及相關值的確定，不可混淆．（3）在實際問題中，獨立性檢驗的結論僅是一種數(shù)學關系表述，得到的結論有一定的概率出錯．（4）對判斷結果進行描述時，注意對象的選取要準確無誤，應是對假設結論進行的含概率的判斷，而非其他．【例8】（2024·河南·模擬預測）輕食是餐飲的一種形態(tài)、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養(yǎng)和味道，近年來隨著消費者健康意識的提升及美顏經濟的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費者行為數(shù)據(jù)，對中國輕食消費者進行抽樣調查.統(tǒng)計其中400名中國輕食消費者（表中4個年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.使用頻率偶爾1次3015510每周1~3次40403050每周4~6次25404530每天1次及以上552010(1)若把年齡在的消費者稱為青少年，年齡在的消費者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關聯(lián)；(2)從每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，從中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，，，求的分布列與期望；(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【變式8-1】（2024·全國·高三專題練習）例某市近年來空氣污染較為嚴重，現(xiàn)隨機抽取一年（365天）內100天的空氣中PM2.5指數(shù)的檢測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下：PM2.5指數(shù)空氣質量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經濟損失為S（單位：元），PM2.5指數(shù)為x．當x在區(qū)間內時對企業(yè)沒有造成經濟損失；當x在區(qū)間內時對企業(yè)造成的經濟損失成直線模型；當PM2.5指數(shù)為150時造成的經濟損失為500元；當PM2.5指數(shù)為200時，造成的經濟損失為700元；當PM2.5指數(shù)大于300時造成的經濟損失為2000元．(1)試寫出的表達式；(2)試估計在本年內隨機抽取一天，該天經濟損失S大于500元且不超過900元的概率；(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該市本年度空氣重度污染是否與供暖有關．非重度污染重度污染合計供暖季非供暖季合計100附：0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．【變式8-2】（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）2024年1月18日是中國傳統(tǒng)的“臘八節(jié)”，“臘八”是中國農歷十二月初八（即臘月初八）這一天．臘八節(jié)起源于古代祭祀祖先和神靈的儀式，后逐漸成為民間節(jié)日，盛行于中國北方．為調查不同年齡人群對“臘八節(jié)”民俗文化的了解情況，某機構抽樣調查了某市的部分人群．(1)在100名受調人群中，得到如下數(shù)據(jù)：年齡了解程度不了解了解30歲以下162450歲以上1644根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析受調群體中對“臘八節(jié)”民俗的了解程度是否存在年齡差異；(2)調查問卷共設置10個題目，選擇題、填空題各5個．受調者只需回答8個題：其中選擇題必須全部回答，填空題隨機抽取3個進行問答．某位受調者選擇題每題答對的概率為0.8，知道其中3個填空題的答案，但不知道另外2個的答案．求該受調者答對題目數(shù)量的期望．參考公式：①．獨立性檢驗常用小概率值和相應臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②隨機變量X，Y的期望滿足：考點九：與體育比賽規(guī)則有關的概率問題1、在與體育比賽規(guī)則有關的問題中，一般都會涉及分組，處理該類問題時主要借助于排列組合．對于分組問題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運用．2、與體育比賽有關的問題中最常見的就是輸贏問題，經常涉及“多人淘汰制問題”“三局兩勝制問題”“五局三勝制問題”“七局四勝制問題”，解決這些問題的關鍵是認識“三局兩勝制”“五局三勝制”等所進行的場數(shù)，贏了幾場與第幾場贏，用互斥事件分類，分析事件的獨立性，用分步乘法計數(shù)原理計算概率，在分類時要注意“不重不漏”．3、在體育比賽問題中，比賽何時結束也是經常要考慮的問題，由于比賽賽制已經確定，而比賽的平均場次不確定，需要對比賽的平均場次進行確定，常用的方法就是求以場數(shù)為隨機變量的數(shù)學期望，然后比較大?。?、有些比賽會采取積分制，考查得分的分布列與數(shù)學期望是?？碱}型，解題的關鍵是辨別它的概率模型，常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布，要注意分布是相互獨立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項分布，有的只是局部二項分布．【例9】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習）甲、乙兩人準備進行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結果相互獨立.經抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.(1)求第4個回合甲發(fā)球的概率；(2)設前4個回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.【變式9-1】（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學校考開學考試）第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至20日在中國舉行，其中冰壺比賽項目是本屆奧運會的正式比賽項目之一，冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線的左側）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負．某學校冰壺隊舉行冰壺投擲測試，規(guī)則為：①每人至多投3次，先在點M處投第一次，冰壺進入營壘區(qū)得3分，未進營壘區(qū)不得分；②自第二次投擲開始均在點A處投擲冰壺，冰壺進入營壘區(qū)得2分，未進營壘區(qū)不得分；③測試者累計得分高于3分即通過測試，并立即終止投擲．已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結果互不影響．(1)求甲通過測試的概率；(2)設為本次測試中乙的得分，求的分布列，【變式9-2】（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）甲、乙兩人組成“虎隊”代表班級參加學校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動，每輪活動由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動中，如果兩人都投中，則“虎隊”得3分；如果只有一個人投中，則“虎隊”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊”得0分.已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動中甲、乙投中與否互不影響.各輪結果亦互不影響.（1）假設“虎隊”參加兩輪活動，求：“虎隊”至少投中3個的概率；（2）①設“虎隊”兩輪得分之和為，求的分布列；②設“虎隊”輪得分之和為，求的期望值.（參考公式）考點十：決策型問題求解決策型問題的求解流程為：第一步：先確定函數(shù)關系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根據(jù)期望進行最后的決策．【例10】（2024·福建福州·高三福建師大附中校考階段練習）核酸檢測也就是病毒和的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.某研究機構為了提高檢測效率降低檢測成本，設計了如下試驗，預備份試驗用血液標本，從標本中隨機取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結果：份陽性，份陰性.若每次檢測費用為元（為常數(shù)），記檢測的總費用為元.(1)當時，求的分布列和數(shù)學期望.(2)以檢測成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應選哪個？【變式10-1】（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預測）隨著移動網(wǎng)絡的飛速發(fā)展，人們的生活發(fā)生了很大變化，其中在購物時利用手機中的支付寶?微信等APP軟件進行掃碼支付也日漸流行開來.某商場對近幾年顧客使用掃碼支付的情況進行了統(tǒng)計，結果如下表：年份20162017201820192020年份代碼x12345使用掃碼支付的人次y(單位：萬人)512161921（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關系滿足經驗關系式：，通過散點圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關性.設，利用與x的相關性及表格中的數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程，并估計2021年該商場使用掃碼支付的人次；（2）為提升銷售業(yè)績，該商場近期推出兩種付款方案：方案一：使用現(xiàn)金支付，每滿200元可參加1次抽獎活動，抽獎方法如下：在抽獎箱里有8個形狀?大小完全相同的小球(其中紅球有3個，黑球有5個)，顧客從抽獎箱中一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，則打7折；若摸出2個紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時系統(tǒng)自動對購物的顧客隨機優(yōu)惠，據(jù)統(tǒng)計可知，采用掃碼支付時有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受立減10元優(yōu)惠.若小張在活動期間恰好購買了總價為200元的商品.（i）求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數(shù)學期望；（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？附：最小二乘法估計公式：經過點的回歸直線為相關數(shù)據(jù)：(其中.【變式10-2】（2024·全國·高三專題練習）在一個系統(tǒng)中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”（即正在使用的設備出故障時才啟動的設備）．已知某計算機網(wǎng)絡服務器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設備，兩臺備用設備）的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡就不會斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設三臺設備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當時，求能使系統(tǒng)正常工作的設備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產業(yè)園當前的計算機網(wǎng)絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經驗可知，計算機網(wǎng)絡斷掉可給該產業(yè)園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業(yè)園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.8，更換設備硬件總費用為0.8萬元；方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備，達到“一用三備”．請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．考點十一：遞推型概率命題遞推型概率命題，綜合性較強，主要有以下類型：1、求通項公式：關鍵與找出概率或數(shù)學期望的遞推關系式，然后根據(jù)構造法（一般構造等比數(shù)列），求出通項公式.2、求和：主要與數(shù)列中的倒序求和錯位求和、裂項求和.3、利用等差、等比數(shù)列的性質，研究單調性、最值或求極限.【例11】（2024·全國·模擬預測）在2023年成都大運會的射擊比賽中，中國隊取得了優(yōu)異的比賽成績，激發(fā)了全國人民對射擊運動的熱情．某市舉行了一場射擊表演賽，規(guī)定如下：表演賽由甲、乙兩位選手進行，每次只能有一位選手射擊，用抽簽的方式確定第一次射擊的人選，甲、乙兩人被抽到的概率相等；若中靶，則此人繼續(xù)射擊，若未中靶，則換另一人射擊．已知甲每次中靶的概率為，乙每次中靶的概率為，每次射擊結果相互獨立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射擊后甲得20分的概率；(2)求第n次射擊的人是乙的概率．【變式11-1】（2024·山東·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．(1)求的值，并探究數(shù)列的通項公式；(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．【變式11-2】（2024·貴州黔西·高三興義第一中學校聯(lián)考階段練習）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關，與第，，，…次狀態(tài)無關，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.(1)求，和，；(2)證明：為等比數(shù)列（且）；(3)求的期望（用表示，且）.考點十二：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式【例12】俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當天穿西裝的概率．【變式12-1】（2024·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）某中學選拔出20名學生組成數(shù)學奧賽集訓隊，其中高一學生有8名、高二學生有7名、高三學生有5名．(1)若從數(shù)學奧賽集訓隊中隨機抽取3人參加一項數(shù)學奧賽，求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一的概率．(2)現(xiàn)學校欲對數(shù)學奧賽集訓隊成員進行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題