微積分趙樹嫄課件

微積分趙樹嫄課件2024-01-25緒論極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)多元函數(shù)微積分無窮級數(shù)目錄CONTENT緒論01123古希臘時期的阿基米德、中國的劉徽等人在解決幾何問題時，已經(jīng)初步涉及到微積分思想。古代微積分思想的萌芽牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。17世紀(jì)微積分的創(chuàng)立柯西、魏爾斯特拉斯等人對微積分進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)化，使之成為一門嚴(yán)密的科學(xué)。18-19世紀(jì)微積分的發(fā)展微積分的歷史與發(fā)展

微積分的基本思想以直代曲、化整為零通過無限細(xì)分，將曲線近似為直線段，從而實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜問題的簡化處理。極限思想通過極限概念，描述變量在某一過程中的變化趨勢，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)。微分與積分的互逆性微分是求導(dǎo)數(shù)的過程，而積分是求原函數(shù)的過程，二者具有互逆性。微積分在力學(xué)、電磁學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如牛頓第二定律、麥克斯韋方程組等。物理學(xué)在土木工程、機(jī)械工程、電子工程等領(lǐng)域，微積分用于解決復(fù)雜的工程問題，如結(jié)構(gòu)優(yōu)化、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等。工程學(xué)微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于研究邊際效應(yīng)、彈性分析等，為經(jīng)濟(jì)決策提供數(shù)學(xué)支持。經(jīng)濟(jì)學(xué)微積分還廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，如生物生長模型、化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)等。其他領(lǐng)域微積分的應(yīng)用領(lǐng)域極限與連續(xù)0203極限存在的條件左右極限存在且相等。01極限的定義描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的變化趨勢。02極限的性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號性、四則運(yùn)算法則。極限的概念與性質(zhì)無窮大量的定義絕對值無限增大的變量稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量，反之亦然。無窮小量的定義極限為零的變量稱為無窮小量。無窮小量與無窮大量在定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)間斷點(diǎn)的分類局部有界性、介值性、反函數(shù)的連續(xù)性。第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)）和第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)）。030201函數(shù)的連續(xù)性導(dǎo)數(shù)與微分03導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)值隨自變量變化的快慢程度。導(dǎo)數(shù)的定義分別表示函數(shù)在某一點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)的變化趨勢，若左右導(dǎo)數(shù)相等，則稱函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。左、右導(dǎo)數(shù)包括可導(dǎo)性、連續(xù)性、可微性等，這些性質(zhì)在微積分學(xué)中具有重要意義。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則包括加法、減法、乘法、除法的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，以及復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。高階導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)多次求導(dǎo)后的結(jié)果，反映了函數(shù)更高層次的變化特征。基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過基本導(dǎo)數(shù)公式直接求得。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則微分的定義01微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部線性逼近，即函數(shù)的微小變化量可以用切線的微小變化量來近似表示。微分的計(jì)算02通過求導(dǎo)得到函數(shù)的微分表達(dá)式，進(jìn)而可以求出函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分值。微分的應(yīng)用03在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中，微分被廣泛應(yīng)用于求解最優(yōu)化問題、描述自然現(xiàn)象等方面。例如，利用微分可以求解速度、加速度、邊際效應(yīng)等問題。微分及其應(yīng)用積分學(xué)04不定積分的定義不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程，表示了函數(shù)與其原函數(shù)之間的關(guān)系。不定積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)等，這些性質(zhì)在求解不定積分時非常有用。不定積分的求解方法通過湊微分、換元法、分部積分等方法，可以求解不同類型的不定積分。不定積分的概念與性質(zhì)定積分表示函數(shù)在某個區(qū)間上的面積，是一個確定的數(shù)值。定積分的定義包括線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、保號性等，這些性質(zhì)在分析和計(jì)算定積分時非常重要。定積分的性質(zhì)通過牛頓-萊布尼茲公式、換元法、分部積分等方法，可以求解不同類型的定積分。定積分的求解方法定積分的概念與性質(zhì)幾何應(yīng)用物理應(yīng)用經(jīng)濟(jì)應(yīng)用工程應(yīng)用積分的應(yīng)用利用定積分可以計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等幾何問題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，積分可以用來計(jì)算總收益、總成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，以及分析邊際效益和邊際成本等問題。積分在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等。在工程領(lǐng)域，積分可以用來解決各種實(shí)際問題，如計(jì)算曲線的長度、求解微分方程等。多元函數(shù)微積分05多元函數(shù)的定義設(shè)$D$為一個非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實(shí)數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)具有一些與一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。這些性質(zhì)在多元函數(shù)的微積分中起著重要的作用。多元函數(shù)的概念與性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)$y$固定在$y0$而$x$在$x0$處有增量$Deltax$時，相應(yīng)地函數(shù)有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$處對$x$的偏導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二全微分的定義設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)$(x0,y0)$的全增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0+Deltay)-f(x0,y0)$可表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依賴于$Deltax,Deltay$而僅與$x0,y0$有關(guān)，$rho=(Deltax^2+Deltay^2)^{frac{1}{2}}$，則稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$處可微，而$ADeltax+BDeltay$稱為函數(shù)在點(diǎn)$(x0,y0)$處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)與全微分設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在有界閉區(qū)域$D$上有界，將閉區(qū)域$D$任意分成$n$個子域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,…,Deltasigma_n$，并以$Deltasigma_i$的直徑作為高做小柱體，構(gòu)成一個柱體群的體積的代數(shù)和。當(dāng)每個子域的直徑趨于零時，該代數(shù)和的極限存在，則稱此極限為函數(shù)$f(x,y)$在區(qū)域$D$上的二重積分。二重積分的定義設(shè)三元函數(shù)$f(x,y,z)$在可求超體積的有界閉區(qū)域$Omega$上有界。將$Omega$任意分割為$n$個互不重疊的小區(qū)域，每個小區(qū)域的體積記作$DeltaV_i(i=1,2,...,n)$。在每個小區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)$(x_i,y_i,z_i)$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)DeltaV_i$。若該和式當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時的極限存在，則稱該極限為函數(shù)$f(x,y,z)$在區(qū)域$Omega$上的三重積分。三重積分的定義多元函數(shù)的積分無窮級數(shù)06闡述級數(shù)的基本概念，包括級數(shù)的定義、部分和、收斂與發(fā)散等，并介紹級數(shù)的基本性質(zhì)，如級數(shù)的線性性質(zhì)、結(jié)合律等。級數(shù)的定義與基本性質(zhì)詳細(xì)討論正項(xiàng)級數(shù)的收斂性判別方法，如比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法等，并通過實(shí)例加以說明。正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法介紹任意項(xiàng)級數(shù)的收斂性判別方法，如萊布尼茨定理、阿貝爾定理等，并通過實(shí)例加以說明。任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)的定義與基本性質(zhì)闡述冪級數(shù)的基本概念，包括冪級數(shù)的定義、收斂半徑、收斂區(qū)間等，并介紹冪級數(shù)的基本性質(zhì)，如冪級數(shù)的和函數(shù)、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等。冪級數(shù)的收斂性判別法詳細(xì)討論冪級數(shù)的收斂性判別方法，如阿貝爾定理、狄利克雷定理等，并通過實(shí)例加以說明。冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)介紹冪級數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算等基本性質(zhì)，并通過實(shí)例加以說明。冪級數(shù)及其收斂性函數(shù)展開成冪級數(shù)的方