2019年高考全國(guó)卷Ⅲ文數(shù)試題解析

2019年高考全國(guó)卷m文數(shù)解析

1.已知集合A={-1,0,1,2},B=41},則AcB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-U}D.{0,1,2}

【答案】A

先求出集合8再求出交集.

【解析】vx2,

.?.3={止1。＜1}，則Ac8={-1,0,1},

故選A.

2.若z(l+i)=2i,則z=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【答案】D

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.

2i2i(l-i),.

【解析】z=丁一=:.、=1+1.故選D.

1+1(l+i)(l-i)

3.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進(jìn)而得解.

【解析】?jī)晌荒型瑢W(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不

相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是:?故選D.

4.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小

說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀

過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀

過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)

與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.

【解析】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學(xué)生人數(shù)

之比為70?100=0.7.故選C.

5.函數(shù)/(x)=2siax-sin2x在[0,2句的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

令/(x)=0,得sinx=0或cosx=l,再根據(jù)x的取值范圍可求得零點(diǎn).

【解析】由/(%)=25m%—§由2%=25由%—20111%以)5%=25由%(1—85%)=(),

彳導(dǎo)sinx=0或cosx=l,???x￡[0,2;r],

x=0>1或2冗.

.?J(X)在[0,2句的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3,

故選B.

6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)歹！J｛q,｝的前4項(xiàng)和為15,且%=34+4卬，貝114=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

利用方程思想列出關(guān)于4，q的方程組，求出4，夕，再利用通項(xiàng)公式即可求得為的值.

a1+。聞+。]9"+=15,

【解析】SIE數(shù)的等比數(shù)列｛而的公比為4，則「4：2A，

%q=3a]q+44

4=1,o

解得，?.?％=〃q=4,故選c.

17=2

7.已知曲線y=ae'+xlnx在點(diǎn)(l,ae)處的切線方程為y=2x+8，貝(J()

A.a=e,h=-\B.a=e,b=\C.a=e~',b=\D.

a=e~',b=-\

【答案】D

通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得。，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得。.

【解析】解析：y'=ae'+\nx+l,

女=y'3=ae+l=2,：.a=e~'

將(1,1)代入y=2x+。得2+人=1力=-1,故選D.

8.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCO的中心，A￡CD為正三角形，平面ECE>_L平面ABC。,“

是線段EO的中點(diǎn)，則()

B

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMKEN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM^EN,且直線BM,EN是異面直線

【答案】B

利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題.

【解析】如圖所示，作EOLC。于。，連接ON,過(guò)/作于P.

連BE,?.?平面CDEL平面ABC。.

￡0_1。）,后0匚平面。?！?.?.￡O_L平面ABC。,MF，平面MCE,

AMFB與AEON均直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,易知

EO=6，ON=\EN=2,

MF=—,BF==/1-：.BM^EN,故選B.

22

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出$的值等于（）

/輸

【答案】c

根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，可得結(jié)果.

【解析】輸入的￡為0.01,

x=l.S=0+l,x=0.5<0.01?不滿足條件；

5=0+1+-,》=工<0.01?不滿足條件；

24

S=0+l+-+...+-L,x=-!-=0.0078125<0.01?滿足條件

22128

輸出S=l+g+…+/=2（1—?）=1-/,古嫡D.

22

】。.已知F是雙曲線。：亍-々=1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)。在C上’。為坐標(biāo)原點(diǎn),若

\OP\^\OF\,則的面積為（）

【答案】B

設(shè)P（』,為），因?yàn)閨。"=|。F|再結(jié)合雙曲線方程可解出|%|,再利用三角形面積公式可求

出結(jié)果.

22

【解析】設(shè)點(diǎn)P（X。,%），則號(hào)--微-=1①,

又|0"=|0■=7^=3,

V+^（）2=9②.

25

2

由①②得y0=—,

即閭<.

???SAOPF=J°FH%|=；X3xg=|,

故選B.

x+V..6

11.記不等式組C-八表示的平面區(qū)域?yàn)椤?，命題〃：*,>0€。2+'.9；命題

2x-y>0

q:V（x,y）wO,2x+y,12.給出了四個(gè)命題,.①P~q?，②7^q:③P5:④ni,

這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.①②C.②③D.③④

【答案】A

根據(jù)題意可畫出平面區(qū)域再結(jié)合命題可判斷出真命題.

y=2xfx=2

【解析】如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由.〈，得,

x+y=6Iy=4

即A(2,4),直線2x+y=9與直線2x+y=12均過(guò)區(qū)域D,

則P真q假，有力假F真，所以①③真②④假.故選A.

12.設(shè)/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,+。）單調(diào)遞減，則（）

【答案】C

由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把/（log3；），/，/2行，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再

比較大小.

【解析】?."（％）是R的偶函數(shù)，

2_3_2_3

,/log34>log33=1,1=2°>2>22,log?4>2§>22，

又/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

y(iog34)</

(_3\(

f丁2>/

13.已知向量。=(2,2),B=(—8,6),貝！Jcos<a,B>=

【答案】一也

10

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.

—7a?b2x(—8)+2x6y/2,

r解析］cos<a^b>=|_i='>——I==———

［賄”卜陽(yáng)萬(wàn)兩xj(—8)2+6210-

【遷移】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問(wèn)題的關(guān)鍵.

14記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若%=5,%=13,貝.

【答案】100

根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得結(jié)果.

%=4+2d=5=1

【解析】，得

%=4+61=13d=2'

inx9ir)x9

.-.5lo=10a.+--^^=10xl+--^-x2=100.

i°』22

【遷移】本題考點(diǎn)為等級(jí)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等

差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵。

22

15股與F2為橢圓C:—+^-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，〃為C上一點(diǎn)且在第一象限.若AM和

3620

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為.

【答案】（3,后）

根據(jù)橢圓的定義分別求出|崢|、|g|,設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出M的坐標(biāo).

【解析】由已知可得“2=36,/=20,.?./=/—/=16,；.。=4,

?」叫|=忻段=20=8.:.\MF2\=4.

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（』，%）（%>0,%>°），則5,轉(zhuǎn)=；?田用』=4%，

又S*?=；x4x正一2。=4小，「.4.%=4岳，解得%=后，

.片?（屏）=i，解得%=3（%=-3舍去），

"3620

\M的坐標(biāo)為（3,岳）.

16.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體

A6CO-4月a。挖去四棱錐。―EEG〃后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體的中心，

E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度為

0.9g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

【答案】118.8

根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型

的質(zhì)量.

1,

【解析】由題意得，SEFGH=4x6-4x-x2x3=l2cm-,

.1,

四棱錐O-&G的局13cm，，匕M-G”=§x12x3=12。/.

又長(zhǎng)方體ABCO—A/CA的體積為匕=4x6x6=144(7,，

所以該模型體積為V=匕-匕=144-12=132C/,

其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成

A8兩組，每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液，3組小鼠給服乙離子溶液.每只小

鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠

體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中“力的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表).

【答案】(1)a=0.35，人=0.10;(2)4.05,6.

⑴由尸(。)=Q70及頻率和為1可解得。和匕的值；⑵根據(jù)公式求平均數(shù)

【解析】(1)由題得。+0.20+().15=0.70,解得a=0.35由

0.05+6+0.15=1-尸(0=1-0.70,解得。=0.10.

(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

18.A4BC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a,4c,已知asin-----=AsinA.

2

(1)求3；

(2)若小鉆C為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

【答案】Q)8=(;(2)(手,孚).

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角

JT|

解得8二號(hào)乂④根據(jù)三角形面積公式,八品二萬(wàn)訛七足^,又根據(jù)正弦定理和C=1得到

JT

S.ABC關(guān)于C的函數(shù)，由于VABC是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于7來(lái)計(jì)算。的

定義域，最后求解S“BC(C)的值域.

A-L-CA+C

【解析】Q)根據(jù)題意小畝二-=以畝4,由正弦定理得sinAsin工一=sin8sinA

A+C

因?yàn)?<A<乃，故sinA>0,消去sinA得sin---=sinBo

A+C

0<B<n,0<—〈"因?yàn)楣室籢=8或者一^+6=?,而根據(jù)題意

222

A+「A+C

A+8+C=7T，故=一+8=萬(wàn)不成立，所以下一=6，又因?yàn)?+3+。=萬(wàn)，代入得

71

3B=TI，所以8=耳.

712

(2)因?yàn)閂ABC是銳角三角形，由(1)知8=],A+8+C=》得到A+C=§萬(wàn),

0<C<-

2.7171

故?/解得~C<—.

、2兀八71o2

0<-----C<—

32

ac

又應(yīng)用正弦定理c=l,

sinAsinC

由三角形面積公式有：

,,,.,國(guó)sin(------C)

1.1tz._1smA.A/33

Se=—ac-smBn=—c2—smB=—c2-------sin8=--------------------

“*ABfiCr22c2sinC4sinC

y/3sin-cosC-cos—sinC

171131

33-(sin--------------F叵

TsinC43tanC8tanC8

V3旬M3A/3V3

又因工<C<±,tanC>J,故一<二d--<--

62388tanC82

百。百

故<S,BC<K-

o/

故S.ABC的取值范圍是

【遷移】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以

用余弦定理求解)，最后考查VA8C是銳角三角形這個(gè)條件的利用?？疾榈暮苋?，是一道

很好的考題.

19.圖1是由矩形和菱形BFGC組成的Y平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿AB,折起使得BE與BF重合，連結(jié)

DG,如圖2.

(1)證明圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC1平面BCGE;

(2)求圖2中的四邊形4CGD的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4.

⑴因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦蜛BE。，HAABC和菱形8FGC內(nèi)部的夾角，所以

AD//BE,BF//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得證.因?yàn)锳B是平面BCGE

垂線，所以易證.(2)欲求四邊形ACGD的面積，需求出CG所對(duì)應(yīng)的高，然后乘以CG即

可。

【解析】(1)證：AD//BE,BF//CG,又因?yàn)椤旰褪吃谝黄?

AD//CG,A,C,G,D四點(diǎn)共面.

又?.?ABLBE,ABLBC.

AB_L平面BCGE,?「ABu平面ABC,平面ABCJ_平面BCGE,得證.

⑵取CG的中點(diǎn)“，連結(jié)EM,。例.因?yàn)锳B//。七，43_L平面BCGE,所以。E_L平面

BCGE,t^DE±CG,

由已知，四邊形BCGE是菱形，且NEBC=60得，CG,故CG，平面DEM。

因此D0LCG。

在用△￡)?中，DE=1,EM=0＞，故ZW=2。

所以四邊形ACGD的面積為4.

【遷移】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是

不變的。再者粘合后的多面體不是直棱柱，最后將求四邊形ACGD的面積考查考生的空間

想象能力.

20.已知函數(shù)/(幻=2尤3一依2+2

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)當(dāng)0<。<3時(shí)，記/(%)在區(qū)間［0,1］的最大值為M,最小值為切，求加一加的取值

范圍.

Q

【答案】(1)見(jiàn)解析；⑵［藥,2).

⑴先求八幻的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)。的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)討論。的范圍,利用函

數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終求得知-m的取值范圍.

【解析】Q)對(duì)/(%)=2？-ax2+2求導(dǎo)得/'(X)=6x2-2ax=6x(x-1).所以有

當(dāng)"0時(shí)，(-畤)區(qū)間上單調(diào)遞增，與0)區(qū)間上單調(diào)遞減，(0,+8)區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)。=0時(shí)，(-8,例)區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，(一雙0)區(qū)間上單調(diào)遞增，(0,￡)區(qū)間上單調(diào)遞減，(］,+8)區(qū)間上單調(diào)遞增.

⑵

若0<aW2,/(x)在區(qū)間(0,全單調(diào)遞減，在區(qū)間q,1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小

值為一()而八0)=2"(1)=2-a+22/(0),故所以區(qū)間上最大值為了⑴.

3

所以〃_加=/(l)_/(；)=(4_a)_［2(W)3_a(W)2+2］=|y_a+2,設(shè)函數(shù)

r3r2

g(x)=|y-x+2,求導(dǎo)g'(x)=}l當(dāng)0<xW2時(shí)g'(x)<0從而g(x)單調(diào)遞減而

o3Q

0<a<2,所以二4二一。+2<2.即加一加的取值范圍是［二,2).

若2<a<3,/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,在區(qū)間q,1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間。1］上最小

值/(］)而/(0)=2,/(l)=2—a+2W/(0),故所以區(qū)間［0J上最大值為7(0).

3

所以聞_，〃=./?(())_/《)=2_［2(?3_以攵2+2］=探,而2<a<3,所以

o“3Q

a<幺<1.即"-加的取值范圍是(”」).

272727

Q

綜上得M-〃7的取值范圍是［二,2).

27

【遷移】⑴這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少.考查的

函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算.思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充.

-1

21.已知曲線Uy,為直線y=-5上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作。的兩條切線,切點(diǎn)分別為

(1)證明：直線A8過(guò)定點(diǎn)：

(2)若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程.

【答案】(1)見(jiàn)解析；⑵f+(y—1)2=4或i+(y-}2=2.

(1)可設(shè)4X,%)，8(%,必)，?！?-}然后求出人，8兩點(diǎn)處的切線方程，比如4。：

另+；=X,(x,-r),又因?yàn)?0也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線A3方程，最后求出

它所過(guò)的定點(diǎn).

(2)由Q)得帶參數(shù)的直線A8方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過(guò)M為線段的中點(diǎn)，

麗，福得出f的值，從而求出M坐標(biāo)和［EM\的值，最后求出圓的方程.

【解析】(1)證明：設(shè)。&一g),A(x，x),則y=；玉2。又因?yàn)閥=,所以y'=x.則

切線DA的斜率為x，故y+；=%（%-/），整理得2州—2y+1=0.設(shè)8*2,%），同理

得2為-2y+1=0.A（xt，必），5（乙,%）都滿足直線方程2次-2y+1=0.于是直線

2a-2y+1=0過(guò)點(diǎn)A,B,而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線AB方程為

2tx-2y+l=O.gp2tx+（-2y+l）=0,當(dāng)2x=0,-2y+l=0時(shí)等式恒成立。所以直線AB

恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）.

2

⑵由⑴得直線43方程為2枕-2y+l=0,和拋物線方程聯(lián)立得：

2tx-2y+\=0

'12化簡(jiǎn)得/_2狀_]=0.于是玉+工2=2乙%+/=/（玉+%）+1=2r+1

y=—x

I2

設(shè)M為線段A3的中點(diǎn)，則

由于麗，福，而麗=（7,產(chǎn)一2）,而與向量（1M平行，所以/+/（r一2）=0,

解得f=0或/=±L

當(dāng)r=0時(shí)，EM=（0,-2）,同=2所求圓的方程為Y+（y—1）2=4；

當(dāng)/=±1時(shí)，兩=（1,一1）或成=（一1,一1）,|月可=夜所求圓的方程為

d+（y_|）2=2.

所以圓的方程為爐+S—1）2=4或V+（y—1）2=2.

【遷移】此題第一問(wèn)是圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題和第二問(wèn)是求面積類型，屬于常規(guī)題型,按部

就班的求解就可以.思路較為清晰，但計(jì)算量不小.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.如圖，在極坐標(biāo)系。i中，A(2,0),,C(V2,y),。(2,兀)，弧.,BC,

CD所在圓的圓心分別是(L0),(1，9,(1㈤,曲線必是弧A8，曲線“2是弧BC，

曲線M3是弧8.

(1)分別寫出加一M2,AT,的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線/由M,M2，%構(gòu)成，若點(diǎn)尸在M上，且|OP|=G,求P的極坐標(biāo).

TTTT3乃37r

【答案】(1)p=2cos^e[0,-]),p=2sin^e[-,—]),p=-2cos^€[—,^]),

4444

⑵(瓜芻,(6,勺,(瓜多,(省,斗).

6336

(1)將三個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中。的取值范圍.

(2)根據(jù)條件。=6逐個(gè)方程代入求解，最后解出P點(diǎn)的極坐標(biāo).

【解析】(1)由題意得，這三個(gè)圓的直徑都是2,并且都過(guò)原點(diǎn).

陷：夕=2cose(ee[0,?]),

A/2:p=ZcosC^-y)=2sin0(0e《，苧D,

37r

A/3:p=2cos(0-7r)=-2cos0(0G,^]).

⑵解方程2cose=6(ee[0,f])得6=9,此時(shí)P的極坐標(biāo)為(g,g)

466

解方程2sin。=而。e[g,當(dāng))得。=￡或。=與，此時(shí)P的極坐標(biāo)為(8,￡)或

44333

(點(diǎn)爭(zhēng)

解方程-285。=6(。曰￥，萬(wàn)])得夕=苧，此時(shí)P的極坐標(biāo)為(后當(dāng)

466

故P的極坐標(biāo)為(瓜g),(瓜g),(百，多，(百，當(dāng).