高等教育數(shù)學(xué)常用極限求法

./求函數(shù)極限的方法和技巧摘要:本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。關(guān)鍵詞：函數(shù)極限引言在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中,極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容,因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合,力圖在方法的正確靈活運(yùn)用方面,對(duì)讀者有所助益。主要內(nèi)容一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例:用極限定義證明:證:由取則當(dāng)時(shí),就有由函數(shù)極限定義有:2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)若<I><II><III>若B≠0則：〔IV〔c為常數(shù)上述性質(zhì)對(duì)于例：求解:=3、約去零因式〔此法適用于例:求解:原式=====4、通分法〔適用于型例:求解:原式===5、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法〔特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f<x>、g<x>滿足：〔I<II><M為正整數(shù)>則：例:求解:由而故原式=6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系?！睮若：則<II>若:且f<x>≠0則例:求下列極限①②解:由故由故=7、等價(jià)無(wú)窮小代換法設(shè)都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量,且有：, 存在,則也存在,且有=例:求極限解:=注：在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí),一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換,若以和、差出現(xiàn)時(shí),不要輕易代換,因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后,往往改變了它的無(wú)窮小量之比的"階數(shù)"8、利用兩個(gè)重要的極限。但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求下列函數(shù)極限9、利用函數(shù)的連續(xù)性〔適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限。例：求下列函數(shù)的極限〔210、變量替換法〔適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型特別地有：m、n、k、l為正整數(shù)。例：求下列函數(shù)極限①、n②解:①令t=則當(dāng)時(shí),于是原式=②由于=令：則===11、利用函數(shù)極限的存在性定理定理:設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)<x>≤f<x>≤h<x>且有:則極限存在,且有例:求<a>1,n>0>解:當(dāng)x≥1時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使k≤x≤k+1于是當(dāng)n>0時(shí)有:及又當(dāng)x時(shí),k有及=012、用左右極限與極限關(guān)系<適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限,以及用定義求極限等情形>。定理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：==A例：設(shè)=求及由13、羅比塔法則〔適用于未定式極限定理：若此定理是對(duì)型而言,對(duì)于函數(shù)極限的其它類型,均有類似的法則。注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：要注意條件,也就是說(shuō),在沒(méi)有化為時(shí)不可求導(dǎo)。應(yīng)用羅比塔法則,要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù),而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式,在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,應(yīng)立即停止使用羅比塔法則,否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)不存在時(shí),本法則失效,但并不是說(shuō)極限不存在,此時(shí)求極限須用另外方法。例：求下列函數(shù)的極限①②解：①令f<x>=,g<x>=l,由于但從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到②由故此例屬于型,由羅比塔法則有：14、利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō),應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便,下列為常用的展開式：1、2、3、4、5、6、上述展開式中的符號(hào)都有:例:求解:利用泰勒公式,當(dāng)有于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件：<I>f在閉區(qū)間上連續(xù)<II>f在<a,b>內(nèi)可導(dǎo)則在<a,b>內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得此式變形可為:例:求解:令對(duì)它應(yīng)用中值定理得即:連續(xù)從而有:16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法<1>有理式的情況,即若:<I>當(dāng)時(shí),有<II>當(dāng)時(shí)有:①若則②若而則③若,,則分別考慮若為的s重根,即:也為的r重根,即:可得結(jié)論如下：例：求下列函數(shù)的極限①②解:①分子,分母的最高次方相同,故=②必含有〔x-1之因子,即有1的重根故有:<2>無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式,但求極限方法完全類同,這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。例：求解:二、多種方法的綜合運(yùn)用上述介紹了求解極限的基本方法,然而,每一道題目并非只有一種方法。因此我們?cè)诮忸}中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧,使得計(jì)算大為簡(jiǎn)化。例:求[解法一]:=注:此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。[解法二]:=注：此解法利用"三角和差化積法"配合使用兩個(gè)重要極限法。[解法三]:注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換法以及羅比塔法則[解法四]:注:此解法利用了