排列組合問題經(jīng)典題型解析含答案及排列組合問題經(jīng)典題型解析含答案

第1頁共1頁排列組合用A還是C的技巧．解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，同時還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一、合理分類與準確分步法(利用計數(shù)原理)解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。例1、五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有(）A．120種B．96種C．78種D．72種分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有P(4,4)=24種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有78種，選C。解排列與組合并存的問題時，一般采用先選（組合）后排（排列）的方法解答。例2、4個不同小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，恰有一空盒的方法有多少種？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個球中選2個有C(4,2)種，從4個盒中選3個盒有C(4,3)種；2）排：把選出的2個球看作一個元素與其余2球共3個元素，對選出的3盒作全排列有P(3,3)種，故所求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144種。二、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。例3、用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。A．24個B。30個C。40個D。60個[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因為0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有P(4,2)=12個，2）0不排在末尾時，則有C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18個，由分數(shù)計數(shù)原理，共有偶數(shù)30個，選B。例4、馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：表面上看關(guān)掉第1只燈的方法有6種，關(guān)第二只，第三只時需分類討論，十分復(fù)雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5只亮燈的4個空中插入3只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種數(shù)為C(4,3)=4。三、插空法、捆綁法對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？分析：先將其余四人排好有P(4,4)種排法，再在這人之間及兩端的5個“空”中選三個位置讓甲乙丙插入，則有P(5,3)種方法，這樣共有P(4,4)*P(5,3)=1440種不同排法。對于局部“小整體”的排列問題，可先將局部元素捆綁在一起看作一個元，與其余元素一同排列，然后在進行局部排列。例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一個“元”，與其余4人共5個元作全排列，有P(5,5)種排法，而甲乙、丙、之間又有P(3,3)種排法，故共有P(5,5)*P(3,3)=720種排法。四、排除法對于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時需注意不能多減，也不能少減。例如在例3中，也可用此法解答：五個數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有C(4,1)P(4,2)=48個，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30個偶數(shù)。五、順序固定問題用“除法”(對等法)對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。例7、6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲乙丙”順序排的排隊方法有多少種？分析：不考慮附加條件，排隊方法有P(6,6)種，而其中甲、乙、丙的種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有P(6,6)/P(3,3)=120種。六、構(gòu)造模型“擋板法”對于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C(11,3)=165。例9、把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)？解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個“空檔”內(nèi)插入2塊隔板共有C(6,2)=15種插法。又如六個“優(yōu)秀示范員”的名額分配給四個班級，有多少種不同的分配方法？經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。七、分排問題“直排法”把幾個元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例9、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有P(7,7)=5040種。八、構(gòu)造方程或不等式例10：某賽季足球比賽的記分規(guī)則是：勝一場得3分；平一場得1分；負一場得0分。一球隊打完15場積33分，若不考慮順序，該隊勝、負、平情況共有（）A.3種B.4種C.5種D.6種解析：設(shè)該隊勝x場，平y(tǒng)場，則負(15-x-y)場，由題意得3x+y=33y=33-3x(0≤x≤11且x+y≤15)因此，有以下三種情況：x=11,y=0或x=10,y=3或x=9,y=6故選A例12、把一張20元面值的人民幣換成1元、2元或5元面值的人民幣，有多少種不同的換法？解：設(shè)對換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，5元的人民幣z張，則x+2y+5z=20當(dāng)z=0時，x+2y=20,x可以取0、2、4…20，有11種方法。當(dāng)z=1時，x+2y=15,x可以取1、3、5…15，有8種方法。當(dāng)z=2時，x+2y=10,x可以取0、2、4…10，有6種方法。當(dāng)z=3時，x+2y=5,x可以取1、3、5有3種方法。當(dāng)z=4時，x+2y=0,x=0，y=0,1種方法。故共有11+8+6+3+1=29種方法。九、枚舉法：有些計數(shù)問題由于條件過多，從排列或組合的角度思考不太方便，可以嘗試用枚舉法，枚舉時也要按照一定的思路進行，才能做到不重不漏。例11：某寢室4名同學(xué)各寫了一張新年賀卡，先集中起來，然后每人從中取走一張別人寫的賀卡，問有多少種不同的取法？解：設(shè)4位同學(xué)分別為A、B、C、D，各人取別人賀卡的不同取法可羅列成下表：同學(xué)A同學(xué)B同學(xué)C同學(xué)D1BADC2BCDA3BDAC4CADB5CDAB6CDBA7DABC8DCAB9DCBA故共有9種不同的取法。排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（）A、60種B、48種C、36種D、24種2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（）A、24種B、60種C、90種D、120種4.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（）A、種B、種C、種D、種6.全員分配問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、240種C、120種D、96種7.名額分配問題隔板法:例7：10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？8.限制條件的分配問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)再相加。例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種（2）從1，2，3…，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？（3）從1，2，3，…，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式例10.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例11.現(xiàn)1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種16.圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.例16.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？18.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例18.馬路上有編號為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個不同偶數(shù)整除？（2）正方體8個頂點可連成多少隊異面直線？21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？（2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到B的最短路徑有多少種？22.全錯位排列問題公式法:全錯位排列問題（賀卡問題，信封問題）記住公式即可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用A、B、C……表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a錯裝進B里了，包含著這個錯誤的一切錯裝法分兩類：（1）b裝入A里，這時每種錯裝的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯裝法。（2）b裝入A、B之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把（除a之外的）份信紙b、c……裝入（除B以外的）n－1個信封A、C……，顯然這時裝錯的方法有f(n-1)種?？傊赼裝入B的錯誤之下，共有錯裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C，裝入D……的n－2種錯誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯裝法，因此:得到一個遞推公式：f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}，分別帶入n=2、3、4等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法解析版1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（）A、60種B、48種C、36種D、24種解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種，答案：.2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（）A、24種B、60種C、90種D、120種解析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種，選.4.標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有種，選.（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（）A、種B、種C、種D、種答案：.6.全員分配問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有種，故共有種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A、480種B、240種C、120種D、96種答案：.7.名額分配問題隔板法:例7：10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.8.限制條件的分配問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；③若乙參加而甲不參加同理也有種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種.9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計.例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種解析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.（2）從1，2，3…，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種.（3）從1，2，3，…，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？解析：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式例10.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=｛6人中任取4人參賽的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：種.11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例11.現(xiàn)1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學(xué)在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選.14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？解析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析：先取男女運動員各2名，有種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有中排法，故共有種.15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有個.（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種解析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為，四個面共有個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是種.16.圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.例16.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個不同元素