微積分學(xué)標(biāo)準(zhǔn)課件25-第25講不定積分及其計(jì)算

2024-01-24微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件25-第25講不定積分及其計(jì)算目錄CONTENTS不定積分基本概念與性質(zhì)換元法求解不定積分分部積分法求解不定積分有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分總結(jié)與拓展01不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，如果存在可導(dǎo)函數(shù)$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對(duì)任意$xinI$成立，則稱$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)。對(duì)于任意常數(shù)$C$，函數(shù)族$F(x)+C$也是$f(x)$的原函數(shù)。稱$intf(x)dx=F(x)+C$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的不定積分，其中$int$為積分號(hào)，$f(x)$為被積函數(shù)，$f(x)dx$為被積表達(dá)式，$x$為積分變量。不定積分的幾何意義不定積分$intf(x)dx=F(x)+C$表示的是一族曲線，這些曲線在平行于$y$軸的任意直線上的截距之差為常數(shù)。當(dāng)$C=0$時(shí)，$intf(x)dx=F(x)$表示的是通過原點(diǎn)的一條曲線。不定積分定義及幾何意義原函數(shù)與不定積分是相互依存的。原函數(shù)的存在是不定積分存在的前提，而不定積分則是原函數(shù)的全體。求一個(gè)函數(shù)的不定積分，就是求它的原函數(shù)。原函數(shù)與不定積分的聯(lián)系原函數(shù)是一個(gè)具體的函數(shù)，而不定積分則是一族函數(shù)，它們之間相差一個(gè)常數(shù)。此外，原函數(shù)的圖形是一條確定的曲線，而不定積分的圖形則是一族平行的曲線。原函數(shù)與不定積分的區(qū)別原函數(shù)與不定積分關(guān)系01$int[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1intf_1(x)dx+k_2intf_2(x)dx$，其中$k_1,k_2$為常數(shù)。線性性質(zhì)02$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$，其中$a<c<b$。區(qū)間可加性03對(duì)于任意常數(shù)$k$，有$intkdx=kx+C$，其中$C$為任意常數(shù)。積分常數(shù)性不定積分基本性質(zhì)常見不定積分公式回顧指數(shù)函數(shù)的積分公式如$inte^xdx=e^x+C$，$inta^xdx=frac{a^x}{lna}+C$等。三角函數(shù)的積分公式如$intsinxdx=-cosx+C$，$intcosxdx=sinx+C$等。冪函數(shù)的積分公式$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$nneq-1$。對(duì)數(shù)函數(shù)的積分公式如$intlnxdx=xlnx-x+C$等。反三角函數(shù)的積分公式如$intarcsinxdx=xarcsinx+sqrt{1-x^2}+C$等。02換元法求解不定積分步驟2.通過湊微分，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本積分形式。示例：求解不定積分∫cos2xdx。原理：通過湊微分，將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的基本積分形式。1.觀察被積函數(shù)，尋找可以湊微分的部分。3.應(yīng)用基本積分公式，求出原函數(shù)。010203040506第一類換元法（湊微分法）01原理：通過變量代換，將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的基本積分形式。02步驟031.選擇適當(dāng)?shù)拇鷵Q變量，將原變量用新變量表示。042.求出新變量的微分，并將其代入原不定積分中。053.應(yīng)用基本積分公式，求出原函數(shù)。06示例：求解不定積分∫√(a2-x2)dx(a>0)。第二類換元法（變量代換法）010405060302原理：利用三角函數(shù)的性質(zhì)，將根式或復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為簡單的三角函數(shù)形式，從而方便求解不定積分。常見三角代換1.√(a2+x2)=atanθ或asecθ2.√(a2-x2)=asinθ或acosθ3.√(x2-a2)=atanhθ或asechθ示例：求解不定積分∫√(x2+a2)dx。三角代換在不定積分中應(yīng)用常見根式代換1.對(duì)于含有√(ax+b)的不定積分，可令√(ax+b)=t。示例：求解不定積分∫x√(x-1)dx。2.對(duì)于含有√(x2+a2)或√(x2-a2)的不定積分，可采用三角代換后再進(jìn)行根式代換。原理：通過根式代換，將含有根式的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的有理函數(shù)形式，從而方便求解。根式代換在不定積分中應(yīng)用03分部積分法求解不定積分原理：分部積分法基于乘積的微分法則，適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)乘積的不定積分。步驟1.選擇$u$和$dv$：將被積函數(shù)拆分為兩部分，一部分作為$u$（優(yōu)先選取容易求導(dǎo)的函數(shù)），另一部分作為$dv$（優(yōu)先選取容易積分的函數(shù)）。2.對(duì)$u$求導(dǎo)得到$du$，對(duì)$dv$積分得到$v$。3.應(yīng)用公式$intudv=uv-intvdu$進(jìn)行計(jì)算。分部積分法原理及步驟例題1求解$intxcosxdx$分析選擇$u=x,dv=cosxdx$，則$du=dx,v=sinx$。解答$intxcosxdx=xsinx-intsinxdx=xsinx+cosx+C$例題2求解$inte^xsinxdx$分析選擇$u=e^x,dv=sinxdx$，則$du=e^xdx,v=-cosx$。解答$inte^xsinxdx=-e^xcosx+inte^xcosxdx=-e^xcosx+e^xsinx+C$典型例題分析與解答對(duì)于更復(fù)雜的被積函數(shù)，可能需要多次應(yīng)用分部積分法。每次應(yīng)用時(shí)，都要注意選擇合適的$u$和$dv$，以便簡化計(jì)算。例如，求解$intx^2e^xdx$時(shí)，第一次選擇$u=x^2,dv=e^xdx$，得到$intx^2e^xdx=x^2e^x-2intxe^xdx$；第二次選擇$u=x,dv=e^xdx$，得到$intxe^xdx=xe^x-e^x+C$。最終結(jié)果為$intx^2e^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$。多次使用分部積分法處理復(fù)雜問題注意事項(xiàng)和易錯(cuò)點(diǎn)提示在某些情況下，如果選擇不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致循環(huán)計(jì)算。因此，在應(yīng)用分部積分法時(shí)，要注意觀察和判斷，避免陷入循環(huán)計(jì)算的困境。避免循環(huán)計(jì)算選擇合適的函數(shù)作為$u$和$dv$是解題的關(guān)鍵，需要根據(jù)被積函數(shù)的性質(zhì)和公式進(jìn)行靈活選擇。選擇合適的$u$和$dv$在求解過程中，不要忘記加上積分常數(shù)$C$。注意積分常數(shù)04有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)不定積分通解公式對(duì)于一般形式的有理函數(shù)$R(x)=frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$是多項(xiàng)式，且$Q(x)neq0$，其不定積分為$intR(x)dx$。一般形式通過部分分式分解，有理函數(shù)可以寫為一系列簡單分式的和，每個(gè)簡單分式的不定積分都有通用的求解公式。通解公式真分式分解為部分分式方法若$P(x)$的次數(shù)小于$Q(x)$的次數(shù)，則稱$R(x)=frac{P(x)}{Q(x)}$為真分式。分解方法真分式可以分解為一系列形如$frac{A}{x-a}$的簡單分式之和，其中$A$是常數(shù)，$a$是$Q(x)$的根。確定系數(shù)通過比較分子中各項(xiàng)系數(shù)，可以求解出各簡單分式的系數(shù)$A$。真分式定義三角函數(shù)有理式形如$intR(sinx,cosx)dx$的積分，其中$R$是有理函數(shù)。轉(zhuǎn)換方法通過變量替換，如令$t=tanfrac{x}{2}$，可將三角函數(shù)有理式轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的不定積分。求解步驟先轉(zhuǎn)換，再按照有理函數(shù)不定積分的通解公式進(jìn)行求解。三角函數(shù)有理式不定積分求解形如$intsqrt{ax+b}dx$或$intfrac{1}{sqrt{ax+b}}dx$的積分。簡單無理函數(shù)通過變量替換，如令$sqrt{ax+b}=t$，可將簡單無理函數(shù)轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)的不定積分。求解方法在求解過程中，需要注意變量的取值范圍以及開方運(yùn)算的定義域。注意事項(xiàng)簡單無理函數(shù)不定積分求解05總結(jié)與拓展本節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧01不定積分的定義與性質(zhì)02不定積分的計(jì)算方法，包括直接積分法、換元法、分部積分法等幾種特殊類型的不定積分，如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的不定積分03忽略不定積分的常數(shù)項(xiàng)在求解不定積分時(shí)，需要注意加上積分常數(shù)C，否則會(huì)導(dǎo)致答案不完整。錯(cuò)誤使用換元法換元法需要選擇合適的變量代換，如果代換不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程復(fù)雜或無法得到正確結(jié)果。分部積分法使用不當(dāng)在使用分部積分法時(shí)，需要選擇合適的u和dv，否則可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程