中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習考點題型歸納與分層訓(xùn)練專題31 與圓有關(guān)的計算(原卷版)

專題31與圓有關(guān)的計算【專題目錄】技巧1：圓與相似三角形的綜合技巧2：用三角函數(shù)解與圓有關(guān)問題技巧3：圓與學(xué)科內(nèi)知識的綜合應(yīng)用【題型】一、求多邊形中心角【題型】二、已知正多邊形中心角求邊數(shù)【題型】三、正多邊形與圓【題型】四、利用弧長公式求弧長、圓心角、半徑【題型】五、扇形面積的相關(guān)計算【題型】六、圓錐側(cè)面積的相關(guān)計算【考綱要求】1.掌握弧長和扇形面積計算公式，并能正確計算．2.運用公式進行圓柱和圓錐的側(cè)面積和全面積的計算．3.會求圖中陰影部分的面積.【考點總結(jié)】一、弧長、扇形面積的計算1．如果弧長為l，圓心角的度數(shù)為n°，圓的半徑為r，那么弧長的計算公式為l＝SKIPIF1<0.2．由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對弧圍成的圖形叫做扇形．若扇形的圓心角為n°，所在圓半徑為r，弧長為l，面積為S，則S＝eq\f(nπr2,360)或S＝eq\f(1,2)lr.【考點總結(jié)】二、圓柱和圓錐1．圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的長等于圓柱的底面圓的周長，寬等于圓柱的高h.如果圓柱的底面半徑是r，則S側(cè)＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圓錐的軸截面與側(cè)面展開圖：軸截面為由母線、底面直徑組成的等腰三角形．圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．因此圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)l·2πr＝πrl(l為母線長，r為底面圓半徑)；圓錐的全面積：S全＝S側(cè)＋S底＝πrl＋πr2.【考點總結(jié)】三、不規(guī)則圖形面積的計算求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解．3．將陰影中某些圖形等積變形后移位，重組成規(guī)則圖形求解．4．將所求面積分割后，利用旋轉(zhuǎn)將部分陰影圖形移位后，組成規(guī)則圖形求解．5．將陰影圖形看成是一些基本圖形覆蓋而成的重疊部分，用整體和差法求解．【技巧歸納】技巧1：圓與相似三角形的綜合1.【中考·衢州】如圖，已知△ABC，AB＝BC，以AB為直徑的圓交AC于點D，過點D的⊙O的切線交BC于點E.若CD＝5，CE＝4，則⊙O的半徑是()A．3B．4C.eq\f(25,6)D.eq\f(25,8)(第1題)(第2題)2．【中考·南通】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB＝6，AD＝5，則AE的長為()A．2.5B．2.8C．3D．3.23．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AB＝AC，AD交BC于點E，AE＝3，ED＝4，則AB的長為()A．3B．2eq\r(3)C.eq\r(21)D．3eq\r(5)(第3題)(第4題)4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在圓上，CD⊥AB，DE∥BC，則圖中與△ABC相似的三角形有________個．5．如圖，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點(不與點A重合)，過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA.設(shè)PA＝x，PB＝y(tǒng)，則x－y的最大值是________．(第5題)(第6題)6．如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連接CD，OD，給出以下四個結(jié)論：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正確結(jié)論的序號是________．7．【2017·濱州】如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求證：直線DM是⊙O的切線；(2)求證：DE2＝DF·DA.(第7題)8．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，PBPC＝12.(1)求證：AC平分∠BAD；(2)探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面積．(第8題)技巧2：用三角函數(shù)解與圓有關(guān)問題一、選擇題1．如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為3，AC＝4，則sinB＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2,3)(第1題)(第2題)2．如圖，已知⊙O的兩條弦AC，BD相交于點E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么cos∠AEB的值為()A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝eq\f(4,5).⊙O過B，C兩點，且⊙O的半徑r＝eq\r(10)，則OA的長為(A．3或5B．5C．4或5D．4二、填空題4．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝15，AC＝9，則tan∠ADC＝________.(第4題)(第5題)5．如圖，直線MN與⊙O相切于點M，ME＝EF且EF∥MN，則cosE＝________.6．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，點C是優(yōu)弧AB上的一點(不與A，B重合)，則cosC的值為________．(第6題)(第7題)7．如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分別與OA，OC，BC相切于點E，D，B，與AB交于點F，已知A(2，0)，B(1，2)，則tan∠FDE＝_______.三、解答題8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq\r(5)，tanB＝eq\f(1,2)，半徑為2的⊙C分別交AC，BC于點D，E，得到eq\o(DE,\s\up8(︵)).(1)求證：AB為⊙C的切線；(2)求圖中陰影部分的面積．(第8題)9．如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E.(1)求證：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝eq\f(1,2)，AB＝3，求BD的長．(第9題)技巧3：圓與學(xué)科內(nèi)知識的綜合應(yīng)用【類型】一：圓與三角函數(shù)的綜合1．如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，BN⊥CD于點N.(1)求證：∠ADC＝∠ABD；(2)求證：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝eq\f(18,5)，sin∠ABD＝eq\f(3,5)，求線段BN的長．(第1題)【類型】二：圓與相似的綜合2．如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，點P在eq\o(AB,\s\up8(︵))上移動，P，C分別位于AB的異側(cè)(P不與A，B重合)，△PCD也為直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜邊PD經(jīng)過點B，BA，PC相交于點E.(1)當BA平分∠PBC時，求eq\f(BE,CD)的值；(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面積的最大值．(第2題)【類型】三：圓與二次函數(shù)的綜合3．如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交于C(－2，0)，D(－8，0)兩點，與y軸相切于點B(0，4)．(1)求經(jīng)過B，C，D三點的拋物線的函數(shù)表達式．(2)設(shè)拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切．(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF的面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐標．(第3題)【題型講解】【題型】一、求多邊形中心角例1、正六邊形的邊長為4，則它的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2、如圖，SKIPIF1<0是中心為原點SKIPIF1<0，頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點SKIPIF1<0的坐標為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】二、已知正多邊形中心角求邊數(shù)例3、若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是36°，則這個多邊形是（）A．正五邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十八邊形例4、一個半徑為3的圓內(nèi)接正n邊形的中心角所對的弧等于SKIPIF1<0，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【題型】三、正多邊形與圓例5、半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)SKIPIF1<0bSKIPIF1<0c B．bSKIPIF1<0aSKIPIF1<0c C．a(chǎn)SKIPIF1<0cSKIPIF1<0b D．cSKIPIF1<0bSKIPIF1<0a例6、如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4，以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】四、利用弧長公式求弧長、圓心角、半徑例7、如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是弦，點SKIPIF1<0在直徑SKIPIF1<0的兩側(cè)．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則CD的長為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8、一個扇形的圓心角為SKIPIF1<0，扇形的弧長等于SKIPIF1<0則該扇形的面積等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例8、若扇形的圓心角是SKIPIF1<0，且面積是SKIPIF1<0，則此扇形的弧長是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】五、扇形面積的相關(guān)計算例9、如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個幾何體的側(cè)面積為（）A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2例10、如圖，在⊙O中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圖中陰影部分的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】六、圓錐側(cè)面積的相關(guān)計算例11、一個圓錐的底面半徑r＝10，高h＝20，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A．100SKIPIF1<0π B．200SKIPIF1<0π C．100SKIPIF1<0π D．200SKIPIF1<0π例12、用一個半徑為SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐(不計損耗)，則圓錐的底面半徑為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例13、如圖，有一塊半徑為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與圓有關(guān)的計算（達標訓(xùn)練）一、單選題1．已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為SKIPIF1<0則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，五邊形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角SKIPIF1<0的度數(shù)是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°3．我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)加倍的過程中，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即當圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率．這種確定圓周率的方法稱為（

）A．正負術(shù) B．方程術(shù) C．割圓術(shù) D．天元術(shù)4．公元263年，我國數(shù)學(xué)家利用“割圓術(shù)”計算圓周率．割圓術(shù)的基本思想是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．隨后，公元480年左右，我國另一位數(shù)學(xué)家又進一步得到圓周率精確到小數(shù)點后7位，由此可知，這兩位數(shù)學(xué)家依次為（

）A．劉徽，祖沖之 B．祖沖之，劉徽 C．楊輝，祖沖之 D．秦九韶，楊輝5．下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（

）A． B． C． D．6．如圖，將正六邊形SKIPIF1<0放在直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若SKIPIF1<0點的坐標為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如圖，點SKIPIF1<0是正六邊形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0的兩邊SKIPIF1<0，分別與SKIPIF1<0，相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，下列說法錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相等8．若正六邊形的邊長等于4，則它的面積等于（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、填空題9．如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠OCD的度數(shù)為_____°．10．一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．三、解答題11．如圖，SKIPIF1<0為正五邊形SKIPIF1<0的外接圓，已知SKIPIF1<0，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中的邊SKIPIF1<0上求作點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；(2)在圖2中的邊SKIPIF1<0上求作點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．與圓有關(guān)的計算（提升測評）一、單選題1．如圖，工人師傅準備從一塊斜邊SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0的等腰直角SKIPIF1<0材料上裁出一塊以直角頂點SKIPIF1<0為圓心的面積最大的扇形，然后用這塊扇形材料做成無底的圓錐SKIPIF1<0接縫處忽略SKIPIF1<0，則圓錐的底面半徑為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在半徑為2，圓心角為SKIPIF1<0的扇形內(nèi)，以SKIPIF1<0為直徑作半圓，交弦SKIPIF1<0于點D，則圖中陰影部分的面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，正方形SKIPIF1<0的邊長為2，以SKIPIF1<0為直徑的半圓與對角線SKIPIF1<0相交于點E，則圖中陰影部分的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別相切于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，連SKIPIF1<0，若四邊形SKIPIF1<0是菱形，則圖中陰影部分面積是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．把邊長為2+SKIPIF1<0的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<06．如圖1所示的正六邊形（記為“圖形SKIPIF1<0”）邊長為6，將每條邊三等分，沿每個頂點相鄰的兩個等分點連線剪下6個小三角形（如圖1中6個陰影部分的三角形），把剪下的這6個小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形SKIPIF1<0”），作出圖形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；②把圖2中空白部分記作“圖形SKIPIF1<0”，則圖形SKIPIF1<0的周長之比為3：2：SKIPIF1<0；③圖3中正六邊形的邊上任意一點到⊙O上任意一點的最大距離為4+SKIPIF1<0．以上結(jié)論正確的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①7．如圖，正五邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線交對角線SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，則下列結(jié)論不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為SKIPIF1<0）重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片六邊形SKIPIF1<0沿水平方向向左平移SKIPIF1<0個單位長度，則上面正六邊形紙片面積與折線SKIPIF1<0