概率論的發(fā)展簡介及在生活中的應用改

Ⅰ摘要概率論是一門研究不確定性和隨機性等現(xiàn)象的一門數(shù)學，其發(fā)展過程從最初的研究賭博的隨機性開始、最終形成了當代的概率理論這門重要的數(shù)學分支，研究概率論發(fā)展的歷史，有助于更好的理解和學習概率論，并在實際的生活和諸多科技領域更好的應用這門數(shù)學科學。對此本文通過收集相關的文獻資料對概率論的發(fā)展歷程進行了梳理，從概率論的起源到發(fā)展，再到成熟進行了全面的論述，最后從生活應用的角度來闡述概率論和現(xiàn)代生活緊密的聯(lián)系，并從經濟管理決策、中獎問題、優(yōu)化選擇以及抽簽公平問題和食品質量設計方案中等角度進行了深入的剖析。關鍵字：概率論；發(fā)展歷程；應用ⅡAbstractProbabilitytheoryisamathematicalstudyofanuncertainandstochasticphenomenon,itsdevelopmentprocessbegins,eventuallyformingprobabilityofmoderntheoryofthisbranchofmathematicsfromtherandomnessofgamblingfirst,studythehistoryofthedevelopmentofprobabilitytheory,contributetoabetterunderstandingandlearningthetheoryofprobability,applicationandbetterinreallifeandinmanyareasofscienceandtechnologyofthemathematicalsciences.Inthispaper,throughthecollectionofrelevantliteratureandsummarizesthedevelopmenthistoryofprobabilitytheory,fromtheorigintothedevelopmentofprobabilitytheory,andthentothematurearediscussedinthispaper,theapplicationperspectiveofprobabilitytheoryandmodernlifeclosely,andfromtheoptimizationselectionanddrawfairnessandfoodqualitydesignschemeofmediumangleeconomicmanagementdecision,winningquestion,hascarriedonthethoroughanalysis.Keywords:ProbabilitytheoryDevelopmentApplication14目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章引言 1第二章概率論的發(fā)展歷程 22.1概率論的起源 22.2早期概率論的發(fā)展歷程 32.3概率論的成熟 4第三章概率論在生活中的應用分析 63.1在經濟管理決策中的應用分析 63.2概率論在中獎問題中的應用 73.3概率論在優(yōu)化選擇中的應用分析 83.4概率在選購方面的應用 83.5抽簽先后的公平問題 103.6相遇問題的應用 103.7概率在食品質量設計方案中的綜合性應用 11第四章總結 13參考文獻 14致謝 15第一章引言概率論雖然屬于數(shù)學理論知識，但是在現(xiàn)實的生活中我們能夠常常發(fā)現(xiàn)概率論的應用，不過大多數(shù)人在應用概率論方面都相對簡單，比如在競猜硬幣的正反面式，無論是正面還是反面機會都是50%，這個認識實際上就是最基本的概率論。但是學過概率論的人們大多數(shù)認為概率論過于理論化，比如母函數(shù)、極限定理等內容似乎和我國的生活應用沒有關系，彰顯了概率論的數(shù)學屬性，但是如果我們采用概率論分析日常生活中內容往往會讓人們獲得更加深刻的認識。概率論看起來相對復雜，但是在我們的日常生活中幾乎每天都會和概率論打交道，現(xiàn)在被廣泛應用的計算機技術就引入了隨機理論，從而提升了計算機的運算性能，除了在高端科技領域概率論有著廣泛的用武之地，在我們平時的生活中同樣存在，比如我們常見的抽獎過程中就可以采用概率論進行分析，從而選擇一些可能中獎的號碼。還比如在經濟管理決策中，利用概率論來篩選風險系數(shù)更小，投資回報率更高的項目，還有在選購上面同樣可以采用基于概率論理論選擇性價比更好的方案。其實概率論和我們的生活中的應用有著密切關系，在學習概率論的時候其實也可以將這些理論知識和我們的實際生活聯(lián)系起來，而不僅僅是當成一種數(shù)學理論學習來幫助自己獲得相應的學分。概率論作為高等數(shù)學的一項重要內容，和我們的現(xiàn)實生活是密不可分的，本文研究的重點就是通過分析概率論的發(fā)展歷程，追溯概率論從誕生到發(fā)展，進而從經濟生活等方面的應用來分析概率論的重要作用，這也是本文研究的意義所在。第二章概率論的發(fā)展歷程作為數(shù)學知識中的一個重要分支和其他數(shù)學理論知識一樣都是人類通過社會實踐以及生產活動所獲得的治理積累，隨著計算機技術的發(fā)展概率論已經在生活中的各個方面都得到了廣泛的應用，在數(shù)學的眾多分支中儼然成了一顆參天大樹。而這個大樹的誕生和早期一代又一代的科學家的辛勤勞動不無關系。2.1概率論的起源人們了解隨機現(xiàn)象從遠古時期就已經開始，古希臘哲學家很早就思考偶然和必然的潛在關系，我國從春秋時期就有有關隨機現(xiàn)象的思考。但是從數(shù)學的角度進行思考最少也要追朔到西方的中世紀。在十五世紀上半葉就有很多數(shù)學家開始認真考慮這種隨機的問題。意大利數(shù)學家帕喬利在1494年出版的《算術》這本數(shù)學專著中就探討過賭博中的概率問題[1]。帕喬利在書中做過一個假設，當一個賭局的規(guī)則是以誰先獲勝六局誰就能夠贏得賭資?？墒窃谫€博的過程中其中甲方贏得了5局，而乙方贏得了2局，此時賭博因故取消，那么這個賭資應該如何分配，帕喬利給出的答案是將賭資分成7份，然后以賭局勝負次數(shù)的5:2的方式分配給比賽雙方?？墒钱敂?shù)學家卡丹看到這個問題的答案確認為這種分配是不正確的，因為后面的比賽會存在多種不同結果，并給出了應以10:1的比例進行分配。很顯然卡丹的這種分配方法顯然也存在著問題?？ǖぴ谠缙诟怕收摰陌l(fā)展上起到了重要的作用，不僅僅從賭博的角度探討了概率論，同時和塔塔利亞共同合作研究了人口統(tǒng)計以及保險方面的概率應用?？墒菍τ趥鹘y(tǒng)數(shù)學家們而言這些研究多少帶有賭博的性質，所以不少數(shù)學家并不認可他們的研究。不過作為現(xiàn)代自然科學的創(chuàng)始人伽利略同樣在研究擲色子時引入了概率知識。比如同時擲下的3個色子，有人通過簡單歸納發(fā)現(xiàn)3個色子點數(shù)之和為9和為10的情形都為6中，所以就認為在擲色子的時候出現(xiàn)9和10的次數(shù)大概相當。不過伽利略通過窮舉法卻發(fā)現(xiàn)3個色子點數(shù)之和有25種，而為10有27中，所以在擲色子的游戲中出現(xiàn)10的幾率要比9的幾率大，這實際上就是早期概率論的萌芽[2]。隨后在16世紀，概率論隨著法國數(shù)學家帕斯卡以及費馬和惠更斯的努力，最終誕生了概率論，而概率論的誕生同樣和賭博問題有著密切的關系。概率論的誕生頗具戲劇性，法國騎士在十六世紀五十年代向當時出名的數(shù)學神童提出了一個賭博問題。那就是兩個賭徒約定賭博若干局，誰最先贏得N局之后，誰就獲勝，獲得雙方賭本、但是其中出現(xiàn)如果一方贏得1局而另一方贏得5局賭博停止，此時賭本應該如何分配。帕斯卡一時并沒有想到更好的方法，于是就將這個問題轉給當時的業(yè)余數(shù)學家費馬解決。隨著他們的努力最終通過最初的概率論解決了這個問題，但是他們并沒有對概率有著明確的定義，不過概率論的起源卻和他們的賭博研究有著密切的關系。后來荷蘭數(shù)學家惠更斯在巴黎游學聽說帕斯卡和費馬的研究之后，于是也參與到其中，并在1657年出版了《論賭博中的計算》這本學術專著，第一次定義了概率論的概念和相關的定理，比如加法定理和乘法定理等。現(xiàn)代的概率論中概率是基礎，數(shù)學期望屬于第二級的概念，但是在概率論的發(fā)展早期卻是數(shù)學期望放在第一級的概念中，而期望卻放在了第二級。2.2早期概率論的發(fā)展歷程帕斯卡、費馬以及惠更斯在探究賭博問題的時候，萊布尼茲就已經認識到這個新的數(shù)學研究的重要性，也正是帕斯卡和費馬在探討賭博問題的那一年雅各·伯努利誕生了，正是雅各·伯努利在1713年出版的《猜度術》這本專著中首次提到了極限定理，后來這個定理還以伯努利命名成為伯努利定理[4]。這個定理總結了大量經驗觀測中的所呈現(xiàn)的穩(wěn)定性，并作為大數(shù)定律的最初形式在概率論的發(fā)展上起到了重要的推動作用。在伯努利之后，數(shù)學家棣莫弗和高斯在1809年各自獨立的在概率論上引入正太分布，泊松在1837年推出了泊松大數(shù)定律，特別是拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》將概率論的發(fā)展推向了新的發(fā)展時期，正是在這部著作中，拉普拉斯將概率進行了定義，所謂事件中的概率就是一次實驗中有利于事件A的可能結果數(shù)與該事件中所有可能結果的比率。而且拉普拉斯還根據(jù)中立原理計算了第二天太陽能否升起的概率為1/826214。在十九世紀后期極限理論的進一步發(fā)展成了概率論的重要研究課題，其中俄國科學家切比雪夫在極限理論的研究上做出了重要貢獻，切比雪夫在1866首次建立了關于獨立隨機變量序列的大數(shù)定律，并讓伯努利定理和泊松大數(shù)定理在極限定理中成為一種特例，而且切比雪夫還進一步發(fā)展了棣莫弗--拉普拉斯極限定理，隨后他的學生馬爾可夫進一步發(fā)揚光大加速了概率論在20世紀的發(fā)展[6]。在19世紀末概率論在統(tǒng)計物理學中的研究方面得到了廣泛的應用，在這個時期數(shù)學家發(fā)現(xiàn)了概率悖論對古典概率論的基本理論提出了挑戰(zhàn)，其中最為著名的概率悖論就是貝特朗悖論，是由法國學者貝特朗提出。這個悖論就是在半徑為r的圓中隨機選擇弦，計算弦長超過圓內接三角形邊長的概率，如果根據(jù)隨機選擇的不同意義就能夠得到不同的答案，而事實上只可能存在一個答案，這說明古典概率論的蓋簾存在著一些缺陷，在加上概率論此時在實際的生活應用中越來越廣泛，這些應用中存在的問題已經要求概率論的邏輯基礎必須要做出改變，正是如此在二十世紀初，38歲的希爾伯特在世界數(shù)學家大會上首次提出了概率公理系統(tǒng)，這就是后來著名的第6希爾伯特問題，而這個問題同樣讓很多數(shù)學家深入其中研究。正是如此進一步推動了概率論的成熟。2.3概率論的成熟俄國數(shù)學家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學家馮·米西斯是最早將概率論進行嚴格化研究，并提出了一些公理作為研究概率論的前提，不過從現(xiàn)代的角度來看，這些公理本身也存在著一些缺陷。作為測度論的奠基人博雷爾最早將概率論理論采用測度論術語進行表述，并將測度論中的一些方法引入到概率論研究中。正是博雷爾的研究進一步激發(fā)了原蘇聯(lián)科學家科爾莫戈羅夫的研究熱情，而且科爾莫戈羅夫在概率論的研究上同樣成就卓著。二十世紀的二十年代中期，科爾莫戈羅夫試圖將概率論理論的表述完整的采用測度論的術語來進行，并在1926年推到了弱大數(shù)定律的有關條件，后來又對博雷爾的強大數(shù)定律存在的問題給出了一般性的結果，同時還推廣了切比雪夫的不等式，并創(chuàng)立了科爾莫戈羅夫不等式以及可數(shù)集馬爾可夫鏈理論。其最為出色的成就就是在1933年正式以德文出版了《概率論基礎》，在這部著作中建立了集合測度以及事件概率的類比以及積分和數(shù)學期望的類比等等，這些廣泛的類比讓概率論有了演繹數(shù)學的重要特征，而且科爾莫戈羅夫的公理系統(tǒng)也得到了數(shù)學家們的普遍認可。公理化的概率論對隨機問題的研究獲得了新的動力，是現(xiàn)代概率論的研究核心，萊維早在1938年就提出了隨機過程的新方法，在1948年出版的《隨機過程與布朗運動》中又提出了獨立增量過程的理論，后來維爾有引入“鞅”這個名稱，并成為鞅論的創(chuàng)始人，后來美國概率論學派代表杜布則進一步對鞅論進行了系統(tǒng)研究，并讓鞅論成為一門獨立的概率論分支[11]。如今的概率論不僅僅是數(shù)學知識這顆大樹的一個分支，而且這個分支還有很多強壯的根扎根大地，從而讓概率論的發(fā)展有了豐富的源頭活水，圖1就是對現(xiàn)代概率論的分支進行了梳理。隨機分析時序分析過程理論隨機理論鞅論隨機微分方程……估計方法抽樣分布概率論統(tǒng)計學檢驗方法回歸方法隨機計算方法博奕論應用概率排隊論……圖1：現(xiàn)代概率論理論的主要內容第三章概率論在生活中的應用分析3.1在經濟管理決策中的應用分析概率統(tǒng)計在數(shù)學諸多知識體系中是具有一定的趣味性的，而且隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，特別是計算機技術的廣泛應用，概率論也開始借助先進的計算機技術在自然科學和社會生活中得到了廣泛的應用。其中在經濟生活中的應用就更為廣泛，比如實驗設計、質量控制以及抽樣檢查和價格控制等諸多內容，大量實踐研究表明，概率統(tǒng)計理論知識對于經濟中的量化研究非常高效，能夠直觀的為企業(yè)決策者提供量化內容，從而幫助決策者能夠做出正確的決策。經濟決策之前都會存在很多不確定的隨機因素，這對于決策者來說是具有一定的風險，因此只有通過科學有效的方法來進行決策才能夠實現(xiàn)以最小的成本獲得最大的利潤，同時還能夠保障投資的安全性，在這方面概率統(tǒng)計知識就能夠有效幫助企業(yè)管理層做好科學合理的決策。下面就以數(shù)學期望以及方差等數(shù)字特征為例來分析概率統(tǒng)計知識在經濟管理決策中的應用。案例一：甲方有一筆可用資金有三個項目可以選擇，分別是房產1、工廠2、商業(yè)3，其未來的收益和當時的市場狀況關系密切。因此如果將未來的市場劃分成好、中以及差三個等級，那么可能發(fā)生的概率就分別為,,然后在調研市場，并得知在不同等級的市場狀況下其未來的投資收益（萬元）如表2所示。表2各種投資年收益分布表好中差房產113-3工廠64-1商業(yè)102-2此時甲投資者應該選擇哪種類型進行投資為好？在這個案例中可以采用下面的數(shù)學模型來解決，我們先分析數(shù)學期望可以得知：；；；其中公式中的x、y和z分別取代了上述三個投資中的1、2、3，通過分析數(shù)學期望可以得知，投資房產帶來的收益能夠達到4.0，也就是投資房產能夠獲得最大的回報。但是既然有投資就要考慮風險，那么通過方差來計算不同投資模式的風險。計算如下：;;根據(jù)概率理論知識，方差越大其收益的波動就會越大，也就是所存在的風險就會越大，所以從上述方差計算的結果來看，投資房產的風險是最大的，而投資工廠風險則相對較小，但是如果綜合分析投資收益，也就是將風險和收益進行綜合性考量，就可以得知投資工廠為好，雖然平均收益小0.1萬元，但是風險卻是房產的三分之一。3.2概率論在中獎問題中的應用很多人都喜歡玩彩票，而且隨著玩得時間越長往往就在實際的競猜中不知不覺的應用到概率論的知識，只不過那些玩彩票的人們并知道已經在生活中使用到了如此高深的數(shù)學理論，下面就來分析一下概率知識在中獎問題上的應用。案例二：在小夜市上有一個商家在擺設摸彩的小攤子，商家手中有一個黑色的袋子，這個袋子里面放了有20個白球，每個白球的大小和質量以及形狀都完全相同，而且每一個球上都有一個號碼，二十個球有二十個號碼。除了這二十個白球之外，還有一個紅球，而且紅球大小、形狀以及質量也和這二十個白球一樣。此時摸彩規(guī)則如下：玩家每次只能夠摸一只球，在摸之前要交一塊錢，并事先寫出要摸出球的號碼，如果摸到紅球就能夠獲得5元，再加上原來的成本，如果摸到的白球號碼數(shù)和事先寫的號碼數(shù)，那么就要獎勵10元。針對這個規(guī)則，摸彩玩家是不是有利？如果摸彩者進行N次的墨江，那么他的平均的每次獲利或者損失是多少元呢？對于這個問題事實上也可以用以下的概率論知識進行分析。首先摸到紅球以及摸到數(shù)字一樣的白球的概率都是，那么可能得到的收益則分別為為或。每次的平均獲利則為（）。那么根據(jù)這些數(shù)字就可以得知摸到紅球或者是摸到同號球實際上對于玩家來說是沒有利益的，而且每次的平均收益僅僅為從比值上來看是負值，也就是每次會損失元。換句話說摸彩游戲制定者，也就是商家本人會隨著玩家不斷增多而不斷獲利，而那些長期玩這個游戲的摸彩玩家則會隨著玩得次數(shù)越多，就會輸?shù)脑蕉唷?.3概率論在優(yōu)化選擇中的應用分析在優(yōu)化選擇方面往往有助于選擇方占據(jù)更多的優(yōu)勢，比如在下面這個游戲中，小明拿著一個罐子來找小王做一個游戲，罐子里面的有四個玻璃球，大小一樣，但是顏色只有兩種，分別是黑色和透明色。小明制定的這個游戲規(guī)則是，實現(xiàn)搖晃這個罐子，將玻璃球在罐子里面的順序打亂，然后等待小球位置落定，如果小球呈現(xiàn)黑白相間的位置進行排列，如圖2所示，那么就算搖晃著贏，否則就是對方贏，對此小明問小王，你是當搖晃著還是當對方。根據(jù)這個問題，同樣可以按照概率論知識。首先將第一個黑球使用A表示，第二個黑球使用A，第一個白球則使用B表示，第二個白球則使用B顯示，那么落定的順序主要有圖2這些形式，并得知可以出現(xiàn)24種結果AABBABAABBBABBABAABBBAABABAAABABAABBBAAABA圖2：小球落定的順序可能性分析這24種結果可以發(fā)現(xiàn)，黑白相間排列只有8種，所以搖晃著一方的勝算沒有對方大。這就能夠有效的優(yōu)化選擇。3.4概率在選購方面的應用我們在平時的生活中少不了到商場上買東西，在買東西之前又少不了貨比三家，這樣才能夠購買到最佳性價比的產品，下面我們就來探討概率論在選購方面的幾點應用。比如某電腦公司有三種型號的聯(lián)想電腦，這三種型號可以用A、B、C三個字母來代替。另外兩個型號的電腦是神州電腦，可以使用D、E這兩個字母代替。IT管理人員要根據(jù)這些型號和價格各選擇一種型號的電腦，并要求IT工作者寫出可能所有的選購方案，并使用樹狀圖的方式表示。第二如果各種選購的方案可能被選中的概率是相同的，那么A型號電腦可能被選中的概率是多少。第三如今知道了這個中學要購買聯(lián)想和神州電腦各36臺，具體的價格如圖3所示，正好使用了10萬元，其中聯(lián)想電腦中的A型號，那么購買A型號的電腦有多少臺？對于這些問題就可以采用概率論知識來進行回答。首先來回答第一個問題，我們先將聯(lián)想電腦作為甲品牌，神州電腦則作為乙品牌。根據(jù)問題可以得知有以下六種可能的結果，分別是(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．具體如表2所示。表2：品牌選擇方案種類圖3：不同型號電腦的單價對于第二個問題由于選擇A型號的方案僅為(A，D)（A，E）這兩種，所以選擇A型號電腦的可能的概率就是。下面再談談第三個問題，根據(jù)第二個答案克制，在選擇方案（A，D）時，那么購買A型號以及D型號的電腦可以分別假設為x,y臺，然后根據(jù)題目可以得出方程公式分別為根據(jù)這個公式可以計算出x為80臺，y為116臺，這顯然是不和題目的設定，因此只能夠選擇方案（A，Ｅ），然后根據(jù)公式可以得知x為7臺，y為29臺，而這個答案顯然是符合題意的。3.5抽簽先后的公平問題在生活中我們經常采用抽簽的方法來解決有爭議的事情，那么在抽簽的過程中如果次序不一樣會對抽簽的結果產生什么樣的影響呢？這個問題實際上非常古老，而且非常典型。通過概率論的知識首先這具有不一般性，首先這是一個五人簽，其中有一個是彩簽，對于第一個抽簽者來說，得到彩簽的概率就為，因為他是從五個簽中抽取。而第2個抽簽者得到的抽檢概率又是多少呢？那么可以將前面兩位抽簽的情況可以當成一個整體，也就是五個簽中被先后抽取了2個，也就是從五個元素中抽出了2個進行排列，于是種數(shù)就是，其中第二個人抽到彩簽的可能性有，如果第一個人沒有抽到彩簽，那么第二個抽到彩簽的概率就可以以公式，計算出也是為，根據(jù)類似的原理進行推論，第三個抽簽人的概率就為，直到第五個都是五分之一，那么只要是是在n個簽中抽取某一個彩簽，無論抽簽的順序如何，其成功抽取到的概率都是一樣的，所以都不會影響其公平性。對于這個問題還有另外一種解決方法，比如在第n個簽中，其中第i個抽簽人員抽中了彩簽，那么此時樣本點就取決于n個人中那個抽到彩簽，此時一共有個抽中彩簽點。而第i個人抽中彩簽就只需要其余的（n-1）個人在（n-1）個黔中進行選擇，可以用數(shù)值取代，那么根據(jù)計算公式同樣可以得知當?shù)趇個人抽中彩簽的概率都是一樣的，這兩種以不同角度來進行解答的結果都是一樣的，這足以說明抽簽順序的變化并不會影響抽簽的公平屬性。3.6相遇問題的應用在生活中也常常伴隨著偶遇的事件，其實這些偶遇事件同樣也可以通過概率論進行解析，比如兩位朋友想約在上午10點到11點之間在街上的某一家商店門口相會然后再上街購物，他們共同約定如果先到的一方面一定要等待后來的一方，超過15分鐘，對方還沒有到，那么就可以選擇離開。在這種條件下這兩位朋友可能相遇的概率會有多大?？梢约僭O這對朋友到達約定的時間都是隨機的，而且都是一個小時之內。針對這個問題就可以采用概率論進行分析。首先可以明確的知道這是一種幾何概率問題，能夠借助幾何方面的知識比如長度、面積以體積等方面來合理的分析其可能的概率。這個問題中主要涉及到兩個變量，也就是這兩位朋友分別到達這個商店門口的時間變量，可以分別使用x和y分別代替上午10之后這兩位朋友分別到達的商店門口時間，時間的變化以分鐘度量。這兩位朋友分別到達這個商店門口的時間可以使用有序對