matlab定積分的近似計算 實驗報告二

《matlab與數(shù)學實驗》實驗報告實驗序號：實驗二日期：2015年05月09日班級132132002姓名高馨學號1321320041實驗名稱定積分的近似計算問題背景描述定積分的很多應用問題中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達式，可能只是一條實驗記錄曲線，或者是一組離散的采樣值，這時只能應用近似方法去計算相應的定積分．實驗目的本實驗將主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法、拋物線法．對于定積分的近似數(shù)值計算實驗原理與數(shù)學模型MATLAB7.11.0主要內容（要點）實現(xiàn)實驗內容中的例子，即分別采用矩形法、梯形法、拋物線法計算，取，并比較三種方法的精確程度．分別用梯形法與拋物線法，計算，取．并嘗試直接使用函數(shù)trapz()、quad()進行計算求解，比較結果的差異．將的近似計算結果與Matlab中各命令的計算結果相比較，試猜測Matlab中的數(shù)值積分命令最可能采用了哪一種近似計算方法？并找出其他例子支持你的觀點．學習fulu2sum.m的程序設計方法，嘗試用函數(shù)sum改寫附錄1和附錄3的程序，避免for循環(huán)。實驗過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）實現(xiàn)實驗內容中的例子，即分別采用矩形法、梯形法、拋物線法計算，取，并比較三種方法的精確程度．矩形法（中點法）程序：clearformatlong;a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;C=0;fori=1:n;xi=(i-1)*h;xj=i*h;xz=(xi+xj)/2;C=C+h*(1/(1+xz*xz));enddisp(C)E=abs((C-pi/4)/(pi/4));fprintf('TherelativeerrorbetweenCandreal-valueisabout:%d\n',E)答案：0.785398476379441TherelativeerrorbetweenCandreal-valueisabout:3.985010e-007（二）梯形法程序：clearformatlong;a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;B=0;x1=0;y1=1/(1+x1*x1);B=h*y1/2;fori=1:n-1xi=i*h;fxi=1/(1+xi*xi);B=B+h*fxi;endxn=1;yn=1/(1+xn*xn);B=B+h*yn/2;disp(B)E=abs((B-pi/4)/(pi/4));fprintf('TherelativeerrorbetweenBandreal-valueisabout:%d\n',E)答案：0.785397537433464TherelativeerrorbetweenBandreal-valueisabout:7.970021e-007（三）拋物線法程序：clearformatlonga=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;A=0;fori=1:nxj=(i-1)*h;xi=i*h;xk=(xi+xj)/2;fxi=1/(1+xi*xi);fxj=1/(1+xj*xj);fxk=1/(1+xk*xk);A=A+(h/6)*(fxj+4*fxk+fxi);enddisp(A)E=abs((B-pi/4)/(pi/4));fprintf('TherelativeerrorbetweenAandreal-valueisabout:%d\n',E)答案：0.785398163397449TherelativeerrorbetweenAandreal-valueisabout:2.827160e-016從他們的相對誤差值，我們可以看出，拋物線法精確程度最高，其次是矩形法，最后是梯形法。二、分別用梯形法與拋物線法，計算，取．并嘗試直接使用函數(shù)trapz()、quad()進行計算求解，比較結果的差異．梯形法：程序clearformatlong;a=1;b=2;n=120;h=(b-a)/n;B=0;x1=1;y1=1/x1;B=h*y1/2;fori=1:n-1xi=1+i*h;fxi=1/xi;B=B+h*fxi;endxn=2;yn=1/xn;B=B+h*yn/2;disp(B)答案0.684887057990131（2）trapzx=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)答案：ans=0.693151520800048（二）拋物線法：（1）程序clearformatlonga=1;b=2;n=120;h=(b-a)/n;A=0;fori=1:nxj=1+(i-1)*h;xi=1+i*h;xk=(xi+xj)/2;fxi=1/xi;fxj=1/xj;fxk=1/xk;A=A+(h/6)*(fxj+4*fxk+fxi);enddisp(A)答案：0.684848377754341quadf=inline('1./x');I=quad(f,1,2)答案：I=0.693147199862970從他們的最終結果可以看出，用梯形法與拋物線法求解的結果比直接使用函數(shù)trapz()、quad()進行計算求解的結果都要來得小。使用函數(shù)trapz()與梯形法命令的結果接近，說明函數(shù)trapz()后臺計算時用的是梯形法的算法。。。。。。同理）三、將的近似計算結果與Matlab中各命令的計算結果相比較，試猜測Matlab中的數(shù)值積分命令最可能采用了哪一種近似計算方法？并找出其他例子支持你的觀點．Matlab中的數(shù)值積分命令最可能采用了中點法近似計算。如下的梯形法中的左點法、中點法與右點法中中點法更接近Matlab中各命令的計算結果。（1）clearformatlong;a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;A=0;B=0;C=0;fori=1:n;xi=(i-1)*h;xj=i*h;xz=(xi+xj)/2;A=A+h*(1/(1+xi*xi));B=B+h*(1/(1+xj*xj));C=C+h*(1/(1+xz*xz));enddisp(A)disp(B)disp(C)答案：0.7863665296815260.7844285451854020.785398476379441（2）x=0:1/100:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y)答案：ans=0.785393996730782可以看出中點法與答案更接近。（算出誤差）4、學習fulu2sum.m的程序設計方法，嘗試用函數(shù)sum改寫附錄1和附錄3的程序，避免for循環(huán)．附錄1formatlongn=100;a=0;b=1;inum1=0;inum2=0;inum3=0;symsxfxfx=1/(1+x^2);i=1:n；（不然會把結果直接輸出來）xj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點xi=a+i*(b-a)/n;%右點fxj=subs(fx,'x',xj);%左點值fxi=subs(fx,'x',xi);%右點值fxij=subs(fx,'x',(xi+xj)/2);%中點值e=fxj*(b-a)/n;f=fxi*(b-a)/n;g=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(e);inum2=sum(f);inum3=sum(g);integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('Therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum1-integrate)/integrate))fprintf('Therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum2-integrate)/integrate))fprintf('Therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum3-integrate)/integrate))答案：integrate=pi/4integrate=0.785398163397448Therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:3.177794e-003Therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout:3.188404e-003Therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:2.652582e-006附錄3clearformatlongn=100;a=0;b=1;inum=0;ie=0symsxfxfx=1/(1+x^2);fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左點xi=a+i*(b-a)/n;%右點xk=(xi+xj)/2;%中點fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);ie=ie+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinum=sum(ie);integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%d\n\n',...abs((inum-integrate)/integrate))答案：ie=0integrate=pi/4integrate=0.785398163397448Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:2.827160e-016實驗結果報告與實驗總結其實最重要的就是弄清楚第一題