空間向量及其應(yīng)用（二）復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§空間向量及其應(yīng)用（二）1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的直線與平面、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題.2．能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的直線與平面和簡單夾角問題.1．利用空間向量法求距離問題(1)點(diǎn)A、B間的距離AB=AB(2)點(diǎn)Q到直線l距離若Q為直線l外的一點(diǎn)，P在直線上，a為直線l的方向向量，b則點(diǎn)Q到直線l距離為d=1PS公式推導(dǎo)如圖，d=b(3)點(diǎn)Q到平面α的距離若點(diǎn)Q為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面α的法向量為n，則Q到平面α的距離就等于MQ在法向量n方向上的投影的絕對值，即d=nPS公式推導(dǎo)如圖，d=MQ(4)直線a平面α之間的距離當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等.由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.(5)利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離.2.異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角φl1與l2所成的角θ圖示范圍(0，π)求法cosφ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)3.求直線與平面所成的角設(shè)直線AP的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則不管哪種情況，都有sinθ＝|cosφ|＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉,即.〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉=(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).求法：設(shè)平面α與平面β的法向量分別為m,n，再設(shè)m,n的夾角為φ，平面α與平面β的平面角為θ，則θ為φ或π?φ題型一利用空間向量求空間距離角度1：點(diǎn)線距1．已知，，，則點(diǎn)到直線的距離為.2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A．B．C． D．名師點(diǎn)撥?用向量法求點(diǎn)到直線的距離時需注意以下幾點(diǎn)：(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段．(2)在直線上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)．(3)直線的方向向量可以任取，但必須保證計算正確．角度2：點(diǎn)面距如圖所示，正方體的棱長為是底面的中心，則到平面的距離為．若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是．名師點(diǎn)撥?求點(diǎn)到平面的距離的主要方法(1)作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離．(2)在三棱錐中用等體積法求解．(3)向量法：d＝eq\f(|n·\o(MA,\s\up6(→))|,|n|)(n為平面的法向量，A為平面上一點(diǎn)，MA為過點(diǎn)A的斜線段)角度3面面距5．正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．6．已知三棱錐中，兩兩垂直，且，，，則點(diǎn)P到平面的距離為A． B． C． D．名師點(diǎn)撥?求兩個平行平面的距離，先在其中一個平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個平面的距離求解．注意：這個點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主題型二利用空間向量求線線角7．在長方體中，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則與所成的角為.8．已知異面直線m，n的方向向量分別為＝(2，－1，1)，＝(1，λ，1)，若異面直線m，n所成角的余弦值為，則λ的值為．9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（

）A．B．C． D．10．如圖，正三棱柱中，底面邊長為.(1)設(shè)側(cè)棱長為，求證：；(2)設(shè)與的夾角為，求側(cè)棱的長.名師點(diǎn)撥?1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟．(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)．(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角．(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角．2.求兩條異面直線所成的角的兩個關(guān)注點(diǎn)．(1)余弦值非負(fù)：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．(2)范圍：異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時，應(yīng)取其絕對值題型三利用空間向量求線面角11．已知直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量，若l⊥α，則m+n=.12．若平面α的一個法向量為，直線l的一個方向向量為，則l與α所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．13．已知正方體中，則直線與平面所成的角的正弦值是A． B． C． D．14．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值名師點(diǎn)撥?若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計算θ的步驟如下：題型四利用空間向量求面面角15．若兩個半平面的法向量所成的角為，則這個二面角的平面角的大小為（

）A． B． C．或 D．以上都不對16．若平面的一個法向量為，平面的一個法向量是，則平面與所成的角等于（）A． B． C． D．17．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角為.18．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為.19．如圖，在直三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．（1）求直線與平面所成的角最大時，線段的長度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角為，如果存在，試確定點(diǎn)的位置；如果不存在，請說明理由.名師點(diǎn)撥?利用平面的法向量求兩個平面的夾角利用向量方法求兩平面夾角大小時，多采用法向量法．即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到兩平面夾角．需注意法向量夾角范圍是[0，π]，而兩平面夾角范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．題型五綜合類題目20．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體(1)求與面所成角的正弦值(2)求點(diǎn)B到直線的距離.21．如圖，直三棱柱中，是邊長為的正三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．22．在三棱柱中，平面，為的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形.（1）證明：；（2）若，求二面角的大小.23．四棱錐的底面是邊長為a的菱形，面，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）M是上的動點(diǎn)，若，且與平面所成的最大角為45°，求的長度.24．如圖，且，，且，且，平面，．(1)求平面與平面的夾角；(2)求直線到平面的距離．25．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．若，證明：與平面不垂直26．如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF與所成角的大?。?）證明：平面．27．如圖，在直角梯形中，，，.以直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)得到直角梯形，且.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.§1.2空間向量及其應(yīng)用（二）答案1．【分析】先求向量，的坐標(biāo)，再求在的投影，再由勾股定理即可求解.【詳解】解：,,在的投影為，點(diǎn)到直線的距離為,2．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求夾角的余弦，再求點(diǎn)A到直線BE的距離.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×..3．【解析】以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得,,設(shè)平面的法向量為,,令,則，,到平面的距離,故答案為：.4．【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行平面距離的意義，利用空間向量計算作答.【詳解】依題意，平行平面間的距離即為點(diǎn)O到平面的距離，而，所以平行平面、間的距離.故答案為：5．D【分析】將平面與平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，，然后用空間向量求解【詳解】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離：．6．D【解析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出相應(yīng)向量，從而得到平面的法向量，利用空間向量表示出點(diǎn)到平面的距離，得到答案.【詳解】因?yàn)槿忮F中，,,兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為：7．【分析】利用建系，計算，然后利用向量夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，且為的中點(diǎn)，所以，，所以，設(shè)與所成的角為，故，所以.8．【分析】利用空間直線間的夾角求解即可【詳解】由，兩邊平方，化簡得6λ＝7，解得．9．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量求異面直線DE與AC所成的角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體棱長為1，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，則,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為.故選：B.【詳解】（1）由已知得，，平面，，，又是正三角形，,；；（2）由（1）得，又，，，解得，即側(cè)棱長為.11．16【分析】由l⊥α得，結(jié)合向量坐標(biāo)關(guān)系即可求解．【詳解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，解得m=6，n=10，∴m+n=16．12．D【分析】利用線面角的向量公式，即得解【詳解】設(shè)α與l所成的角為θ，則故直線l與α所成角的余弦值為故選：D13．C【解析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，然后利用直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對值求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為1，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成的角的正弦值為．故選：C．14．【詳解】（1）

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）由（1）得，，設(shè)直線與平面所成的角為，則.15．C【分析】根據(jù)二面角與兩個半平面的法向量所成的角的關(guān)系即可得解.【詳解】解：因?yàn)閮蓚€半平面的法向量所成的角為，所以這個二面角的平面角的大小為或.16．D【分析】根據(jù)得，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以平面與所成的角等于.17．45°或135°【分析】根據(jù)二面角夾角與法向量的關(guān)系，結(jié)合夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，，則兩平面所成的二面角與相等或互補(bǔ)，因?yàn)椋?，?故兩平面所成的二面角為45°或135°.18．【分析】利用面面角的向量求法，直接求解即得.【詳解】兩平面的法向量分別為，，則兩個平面的夾角，有，而，則，所以兩平面的夾角為.19．（1）；（2）不存在，理由見解析.【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及相關(guān)向量，（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上，利用共線定理先求出，再求出平面的一個法向量．利用線面夾角的空間向量坐標(biāo)公式，求出直線與平面所成的角正弦值的表達(dá)式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（2）由題意易知，是平面的一個法向量；再求出平面的一個法向量；利用空間向量求出平面與平面所成的二面角的表達(dá)式，令其等于，并對其化簡，通過一元二次方程的根的判別式即可得到結(jié)果．【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，；（1）因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，所以所以，當(dāng)時，取得最大值，此時，，即：當(dāng)時，取得最大值，此時，故的長度為．設(shè)是平面的一個法向量.則得令，得，，所以，所以，化簡得因?yàn)?，所以方程無解；故不存在點(diǎn)使得平面與平面所成的二面角為.20．(1)(2)【分析】（1）連接作出輔助線，可證得是直角，求出的正弦值即可；（2）數(shù)形結(jié)合，可證得，從而可得是直角，再用正弦定理化簡即可求出，坐標(biāo)，進(jìn)而求得在上的投影長，即可求得點(diǎn)B到直線的距離即可.【詳解】（1）連接，因?yàn)樵搸缀误w為長方體，則面，面，所以，所以是直角，是與面所成角的平面角，又因?yàn)?，所以其正弦值為，?）因?yàn)?，所以，，所以直線的方向向量，又，所以在上的投影長為，所以點(diǎn)到直線的距離為21．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）連接，由（1）知⊥平面，又直線與平面所成的角的正切值為，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用二面角的坐標(biāo)公式計算大小可得答案．【詳解】（1）是正三角形，為的中點(diǎn)，．又是直三棱柱，平面ABC，．又，平面．（2）連接，由（1）知平面，∴直線與平面所成的角為，．是邊長為2的正三角形，則，．在直角中，，，．建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．設(shè)平面與平面夾角為，則．平面與平面夾角的余弦值為．22．（1）證明見解析；（2）.【詳解】解：（1）連接，∵是邊長為1的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，∴，∴∵面，∴面，又面，∴，∵，面，又面，∴.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，.分設(shè)平面的法向量為，則∴可取，同理可求得平面的一個法向量為.，且二面角為銳角，∴二面角的大小為.23．（【詳解】（1）：由題意，四邊形是邊長為a的菱形，，E為的中點(diǎn)，故.由余弦定理可得，解得.故.故.故.又面面.故.又，故平面.又平面.故平面平面.（2）由（1）知道，平面.連接，則為與平面所成的角，且在中.在中，，∴，∴當(dāng)最小，即時，最大，從而最大.∵最大值為45°，∴此時.設(shè)，