高中人教A版數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測6-4-1-6-4-2平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例

課時素養(yǎng)檢測十平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.兩個大小相等的共點力F1,F2,當(dāng)它們的夾角為90°時,合力大小為20N,當(dāng)它們的夾角為120°時,合力大小為()A.40N B.10QUOTEN C.20QUOTEN D.40QUOTEN【解析】選B.如圖,以F1,F2為鄰邊作平行四邊形,F為這兩個力的合力.由題意,易知|F|=QUOTE|F1|,|F|=20N,所以|F1|=|F2|=10QUOTEN.當(dāng)它們的夾角為120°時,以F1,F2為鄰邊作平行四邊形,此平行四邊形為菱形,此時|F合|=|F1|=10QUOTEN.2.若點O是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足||=|+2|,則△ABC的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【解析】選B.因為||=||=||,|+2|=|+|,所以||=|+|,所以四邊形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.所以△ABC是直角三角形.【補償訓(xùn)練】若四邊形ABCD滿足+=0,()·=0,則該四邊形一定是()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.直角梯形【解析】選C.因為+=0,所以=,四邊形ABCD是平行四邊形,由()·=0,得·=0,所以⊥,即此四邊形對角線互相垂直,故為菱形.3.已知點O為△ABC外接圓的圓心,且++=0,則△ABC的內(nèi)角A等于()A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】選A.由++=0,得=,兩邊平方得=+2·,由于||=||=||,則||2=2||||cos∠BOC,所以cos∠BOC=QUOTE,則∠BOC=60°,所以∠A=QUOTE∠BOC=30°.【補償訓(xùn)練】已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3+4+5=0,則·的值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為3+4+5=0,所以3+4=5,所以9+24·+16=25.因為A,B,C在圓上,所以||=||=||=1.代入原式得·=0,所以·=QUOTE(3+4)·()=QUOTE(3·+434·)=QUOTE.4.點P在平面上做勻速直線運動,速度向量v=(4,3)(即點P的運動方向與v相同,且每秒移動的距離為|v|個單位).設(shè)開始時點P0的坐標(biāo)為(10,10),則5秒后點P的坐標(biāo)為()A.(2,4) B.(30,25)C.(10,5) D.(5,10)【解析】選C.由題意知,=5v=(20,15),設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則QUOTE解得點P的坐標(biāo)為(10,5).5.在四邊形ABCD中,∠B=120°,∠C=150°,且AB=3,BC=1,CD=2,則AD的長所在區(qū)間為()A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6)【解析】選C.=++,其中與的夾角為60°,與的夾角為30°,與的夾角為90°,則||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=9+1+4+2×3×1×QUOTE+2×1×2×QUOTE+0=17+2QUOTE∈(16,25),所以||∈(4,5).6.(多選題)小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時,設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列說法中正確的是()A.繩子的拉力不斷增大 B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小 D.船的浮力保持不變【解析】選AC.設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,F與水平方向的夾角為θ,0<θ<QUOTE.則|F|cosθ=|f|,所以|F|=QUOTE.因為θ增大,cosθ減小,所以|F|增大.因為|F|sinθ增大,且船的重力為|F|sinθ與浮力之和,所以船的浮力減小.二、填空題(每小題4分,共8分)7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時,的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)A(2,0),B(2,1),由題意知劣弧QUOTE長為2,∠ABP=QUOTE=2.設(shè)P(x,y),則x=21×cosQUOTE=2sin2,y=1+1×sinQUOTE=1cos2,所以的坐標(biāo)為(2sin2,1cos2).答案:(2sin2,1cos2)8.在傾斜角為37°(sin37°=0.6),高為2m的斜面上,質(zhì)量為5kg的物體m沿斜面下滑至底部,則斜面對物體m的支持力所做的功為________J,重力所做的功為__

J(g=9.8m/s2).【解析】物體m的位移大小為|s|=QUOTE=QUOTE(m),則支持力對物體m所做的功為W1=F·s=|F||s|·cos90°=0(J);重力對物體m所做的功為W2=G·s=|G||s|cos53°=5×9.8×QUOTE×0.6=98(J).答案:098【補償訓(xùn)練】已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上),大小為50N,一個質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ=0.02的水平平面上運動了20m.則力F所做的功是________,摩擦力f所做的功是________.(g=10m/s2)

【解析】設(shè)木塊的位移為s,則F·s=|F||s|cos30°=50×20×QUOTE=500QUOTE(J).將力F分解,它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|=|F|sin30°=50×QUOTE=25(N),所以摩擦力f的大小為|f|=|μ(GF1)|=(8025)×0.02=1.1(N).因此f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(1)=22(J).即F和f所做的功分別是500QUOTEJ和22J.答案:500QUOTEJ22J三、解答題(每小題14分,共28分)9.如圖,=(6,1),=(x,y),=(2,3),(1)若∥,求x與y間的關(guān)系式;(2)若又有⊥,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.【解析】(1)因為=++=(6,1)+(x,y)+(2,3)=(4+x,y2),所以=(4x,2y).由∥,得x(2y)y(4x)=0.整理得2xxy+4y+xy=0,即x+2y=0.(2)因為=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=+=(x,y)+(2,3)=(x2,y3),由⊥,所以(6+x)(x2)+(y+1)(y3)=0.整理得x2+4x12+y22y3=0.由(1)可知y=QUOTEx,代入上式得x2+4x12=0.解得x1=6,x2=2.相應(yīng)求得y1=3,y2=1,即QUOTE或QUOTE如圖,S四邊形ABCD=S△BCD+S△ABD=QUOTE||||+QUOTE||||=QUOTE||||,又=(x12,y13)=(8,0)或=(x22,y23)=(0,4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),所以||=8或4,||=4或8,所以QUOTE=16.10.某人在一條河中游泳,河水的流速為3km/h,此人在靜水中游泳的速度為4km/h.(1)如果他徑直游向河對岸,他實際是沿什么方向前進?速度大小為多少?(2)他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進?實際前進的速度大小為多少?【解析】(1)設(shè)水流速度為,此人游泳的速度為,以,為鄰邊作矩形OACB,則此人實際的速度為=+.由||=3,||=4,及勾股定理,得||=5,且在Rt△OAC中,∠AOC≈53°8′.故此人實際是沿與水流方向的夾角為53°8′的方向前進的,速度大小為5km/h.(2)設(shè)水流速度為,實際游泳的速度為,實際前進的速度為,則+=,所以四邊形OABC為平行四邊形.據(jù)題意,⊥,||=3,||=4,則在Rt△AOB中,||=QUOTE=QUOTE.cos∠BAO=QUOTE,所以∠BAO≈41°25′.故此人應(yīng)沿與河岸的夾角為41°25′且逆著水流的方向前進,實際前進的速度大小為QUOTEkm/h.【補償訓(xùn)練】一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地,然后向C地飛行.設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°,并且A、C兩地相距2000km,求飛機從B地到C地的位移.【解析】如圖所示,設(shè)A在東西基線和南北基線的交點處.依題意,的方向是北偏西60°,||=1000km;的方向是南偏西60°,||=2000km,所以∠BAC=60°.過點B作東西基線的垂線,交AC于點D,則△ABD為正三角形.所以BD=CD=1000km,∠CBD=∠BCD=QUOTE∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.BC=AC·sin60°=2000×QUOTE=1000QUOTE(km),||=1000QUOTE(km).所以,飛機從B地到C地的位移大小是1000QUOTEkm,方向是南偏西30°.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.在△ABC中,設(shè)=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選B.因為a·b=b·c,所以(ac)·b=0,而由向量加法的三角形法則可知,a+b+c=0,所以b=ac,所以(ac)·(ac)=0,即(ac)·(a+c)=0,得到a2c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等邊三角形.2.在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則QUOTE=()A.2 B.4 C.5 D.10【解析】選D.將△ABC各邊及PA,PB,PC均用向量表示,則QUOTE====6=426=10.3.點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足·=·=·,則點O是△ABC的()A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高線的交點【解析】選D.由·=·,得··=0所以·()=0,即·=0.所以⊥.同理可證⊥,⊥.所以O(shè)B⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即點O是△ABC的三條高線的交點.4.(多選題)在直角△ABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列等式成立的是()A.||2=·B.||2=·C.||2=·D.||2=【解析】選ABD.·=·(+)=+·==||2,A正確;同理||2=·成立,B正確;又===||2,D正確.二、填空題(每小題4分,共16分)5.以原點和點A(4,2)為頂點作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,則向量的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)=(x,y),則=(x4,y2).由已知?QUOTE?QUOTE或QUOTE故B(1,3)或B(3,1).所以=(3,1)或(1,3).答案:(3,1)或(1,3)6.在四邊形ABCD中,已知=(4,2),=(7,4),=(3,6),則四邊形ABCD的面積是__________.

【解析】因為==(3,6)=,所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因為·=(4,2)·(3,6)=0,所以四邊形ABCD為矩形.因為||=QUOTE=2QUOTE,||=QUOTE=3QUOTE,所以S=||||=2QUOTE×3QUOTE=30.答案:307.已知O為△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足||2+=||2+||2=||2+||2,則O是△ABC的________.

【解析】設(shè)=a,=b,=c,則=cb,=ac,=ba.由題意可知|a|2+|cb|2=|b|2+|ac|2,化簡可得c·b=a·c,即(ba)·c=0,即·=0,故⊥,即OC⊥AB.同理可得OB⊥AC,OA⊥BC,故O是△ABC的垂心.答案:垂心8.如圖所示,在△ABC中,D、E、F分別是邊AB、BC、CA的中點,G是它的重心,已知D點的坐標(biāo)是(1,2),E點坐標(biāo)是(3,5),F點坐標(biāo)是(2,7),則A點坐標(biāo)為________,G點坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.所以=.所以(x11,y12)=(23,75)=(1,2).所以QUOTE即QUOTE所以A(0,4).因為AE過點G.設(shè)G(x2,y2),由=2得(x2,y24)=2(3x2,5y2),所以QUOTE即QUOTE所以G(2,QUOTE).答案:(0,4)(2,QUOTE)三、解答題(共38分)9.(12分)經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA、OB分別交于P、Q兩點,若=m,=n,求證:QUOTE+QUOTE=3.【證明】如圖所示,因為點G是△OAB的重心,所以=QUOTE(+),所以==QUOTE(+)m=(QUOTEm)+QUOTE,由于P、G、Q三點共線,則存在實數(shù)λ,使=λ=λ又因為==nm即nm=λ[(QUOTEm)+QUOTE]=λQUOTE+QUOTEλ,所以QUOTE消去λ,得QUOTE+QUOTE=3.10.(12分)已知三個點A(