微積分復(fù)習(xí)課件

微積分復(fù)習(xí)課件2024-01-25微分學(xué)基本概念與運(yùn)算積分學(xué)基本概念與運(yùn)算微分方程初步知識(shí)多元函數(shù)微積分學(xué)基礎(chǔ)無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介與收斂性判斷復(fù)習(xí)策略與應(yīng)試技巧目錄01微分學(xué)基本概念與運(yùn)算VS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)極限存在，則稱(chēng)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。幾何意義導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$表示曲線(xiàn)$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處的切線(xiàn)的斜率。當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)為0，即$(C)'=0$。常數(shù)求導(dǎo)例如$sinx,cosx,tanx$等三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為$cosx,-sinx,sec^2x$。三角函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于形如$y=x^n$的冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=nx^{n-1}$。冪函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于形如$y=a^x$（$a>0,aneq1$）的指數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=a^xlna$。指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于形如$y=log_ax$（$a>0,aneq1$）的對(duì)數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=frac{1}{xlna}$。對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)0201030405常見(jiàn)函數(shù)求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)定義如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)。類(lèi)似地，可以定義更高階的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則逐次求導(dǎo)即可得到高階導(dǎo)數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù)$y=x^3$，其一階導(dǎo)數(shù)為$y'=3x^2$，二階導(dǎo)數(shù)為$y''=6x$，三階導(dǎo)數(shù)為$y'''=6$。設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處有增量$Deltax$時(shí)，函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$。如果存在一個(gè)與$Deltax$無(wú)關(guān)的數(shù)A，使得當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)，差商$frac{Deltay}{Deltax}-Ato0$，則稱(chēng)A為函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處的微分，記作$dy|_{x=x_0}$或$df(x_0)$。微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)、優(yōu)化問(wèn)題等方面有廣泛應(yīng)用。例如，在求解最值問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)求解一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來(lái)找到可能的極值點(diǎn)；在求解曲線(xiàn)長(zhǎng)度、面積等問(wèn)題時(shí)，可以利用微分進(jìn)行近似計(jì)算。微分定義微分應(yīng)用微分概念及應(yīng)用02積分學(xué)基本概念與運(yùn)算定積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，將區(qū)間$[a,b]$分成$n$個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為$Deltax_i$，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。當(dāng)$lambda=max{Deltax_1,Deltax_2,ldots,Deltax_n}to0$時(shí)，該和式的極限存在且唯一，記作$int_{a}^f(x)dx$，稱(chēng)為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分。定積分的性質(zhì)定積分具有線(xiàn)性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式性質(zhì)等。定積分定義及性質(zhì)設(shè)函數(shù)$F(x)$和$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，若$F'(x)=f(x)$，則稱(chēng)$F(x)$為$f(x)$在區(qū)間$I$上的一個(gè)原函數(shù)。函數(shù)族$F(x)+C(C$為任意常數(shù))稱(chēng)為$f(x)$的不定積分，記作$intf(x)dx=F(x)+C$。不定積分的定義不定積分的計(jì)算主要有換元法和分部積分法兩種方法。換元法是通過(guò)變量代換將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的不定積分；分部積分法則是通過(guò)將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，然后利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求解。不定積分的計(jì)算方法不定積分計(jì)算方法定積分應(yīng)用舉例定積分的幾何應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用求變力做功、求液體靜壓力等。求總收益、總成本等。求平面圖形的面積、求旋轉(zhuǎn)體的體積等。廣義積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,+infty)$或$(-infty,b]$或$(-infty,+infty)$上有定義，若$int_{a}^{A}f(x)dx$或$int_{B}^f(x)dx$或$int_{A}^{B}f(x)dx$存在，則稱(chēng)該極限值為函數(shù)$f(x)$在相應(yīng)區(qū)間上的廣義積分。廣義積分的性質(zhì)廣義積分具有與定積分相似的性質(zhì)，如線(xiàn)性性、可加性等。同時(shí)，廣義積分還有一些特殊的性質(zhì)，如收斂性、絕對(duì)收斂性等。廣義積分簡(jiǎn)介03微分方程初步知識(shí)微分方程概念及分類(lèi)描述未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的方程。微分方程定義根據(jù)方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，可分為一階、二階及高階微分方程；根據(jù)方程是否線(xiàn)性，可分為線(xiàn)性與非線(xiàn)性微分方程。微分方程分類(lèi)一階線(xiàn)性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式$y'+p(x)y=q(x)$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二解法步驟先求解對(duì)應(yīng)的一階齊次線(xiàn)性微分方程$y'+p(x)y=0$，得到通解$y=Ce^{-intp(x)dx}$；再利用常數(shù)變易法，將通解中的常數(shù)C替換為未知函數(shù)u(x)，并代入原方程求解u(x)，最終得到原方程的通解。一階線(xiàn)性微分方程解法$y''=f(x,y')$或$y''=f(y,y')$。可降階高階微分方程類(lèi)型通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將原高階微分方程降為一階微分方程進(jìn)行求解。對(duì)于第一種類(lèi)型的方程，可令$y'=p$，則$y''=p'$，將p看作新的未知函數(shù)進(jìn)行求解；對(duì)于第二種類(lèi)型的方程，可令$y'=p(y)$，則$y''=p'(y)p$，通過(guò)分離變量法求解。解法步驟可降階高階微分方程解法常系數(shù)線(xiàn)性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式$ay''+by'+cy=f(x)$，其中a、b、c為常數(shù)。解法步驟先求解對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程$ay''+by'+cy=0$，得到通解；再通過(guò)待定系數(shù)法或常數(shù)變易法，求解非齊次線(xiàn)性微分方程的特解；最后將通解與特解相加，得到原方程的通解。常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解法04多元函數(shù)微積分學(xué)基礎(chǔ)多元函數(shù)定義多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的圖像多元函數(shù)概念及性質(zhì)設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過(guò)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。無(wú)法用直觀(guān)的圖形與表達(dá)式表示，通常研究它的有關(guān)性質(zhì)來(lái)把握函數(shù)的性態(tài)。偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量△x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。全微分定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依賴(lài)于Δx,Δy而僅與x,y有關(guān)，ρ=(Δx^2+Δy^2)^(1/2)，此時(shí)稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分，記為dz即dz=AΔx+BΔy。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算通過(guò)求導(dǎo)法則和鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算。偏導(dǎo)數(shù)與全微分計(jì)算多元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的點(diǎn)P(x,y)，如果都適合不等式f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)），則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)有極大值（或極小值）。多元函數(shù)極值的必要條件具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。多元函數(shù)極值的充分條件結(jié)合二階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷。多元函數(shù)極值問(wèn)題要點(diǎn)三二重積分的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上，將區(qū)域D任意分成n個(gè)子域Δδi(i=1,2,…,n)，并以Δδi的直徑記作di，分別取各子域中的點(diǎn)(ξi,ηi)，作和式Σf(ξi,ηi)dσi。如果當(dāng)各子域的直徑中的最大值d趨于零時(shí)，此和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分。要點(diǎn)一要點(diǎn)二二重積分的性質(zhì)包括線(xiàn)性性、可加性、保號(hào)性等。二重積分的計(jì)算方法化為累次積分進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)被積函數(shù)的特性和積分區(qū)域的形狀選擇合適的坐標(biāo)系進(jìn)行化簡(jiǎn)。要點(diǎn)三二重積分計(jì)算方法05無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介與收斂性判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)定義無(wú)窮級(jí)數(shù)是由無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加而成的和，通常表示為$sum_{n=1}^{infty}a_n$，其中$a_n$是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)。無(wú)窮級(jí)數(shù)分類(lèi)根據(jù)通項(xiàng)$a_n$的性質(zhì)，無(wú)窮級(jí)數(shù)可分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)三類(lèi)。無(wú)窮級(jí)數(shù)概念及分類(lèi)通過(guò)比較正項(xiàng)級(jí)數(shù)與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)，來(lái)判斷其收斂性。比較判別法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)之比來(lái)判斷其收斂性。比值判別法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的n次方根來(lái)判斷其收斂性。根值判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷方法VS適用于交錯(cuò)級(jí)數(shù)，通過(guò)判斷級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否滿(mǎn)足一定條件來(lái)判斷其收斂性。絕對(duì)收斂與條件收斂對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若其絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)也收斂；若原級(jí)數(shù)收斂但其絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)為條件收斂。萊布尼茨判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷方法冪級(jí)數(shù)定義冪級(jí)數(shù)是一種特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其通項(xiàng)可以表示為$(x-a)^n$與一個(gè)常數(shù)的乘積。冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)通過(guò)泰勒公式或麥克勞林公式，可以將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。收斂域確定對(duì)于給定的冪級(jí)數(shù)，需要確定其收斂域，即使得級(jí)數(shù)收斂的x的取值范圍。常用的方法有比值判別法、根值判別法和直接比較法等。冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與收斂域確定06復(fù)習(xí)策略與應(yīng)試技巧重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)回顧與總結(jié)極限的概念、性質(zhì)及計(jì)算微分中值定理及其應(yīng)用定積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)及計(jì)算不定積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算微分方程的基本概念、解法及應(yīng)用極限計(jì)算題運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則、等價(jià)無(wú)窮小替換等方法求解導(dǎo)數(shù)計(jì)算題掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式和求導(dǎo)法則，注意復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法微分中值定理證明題構(gòu)造輔助函數(shù)，運(yùn)用羅爾定理、拉格朗日中值定理等證明不定積分計(jì)算題掌握不定積分的基本公式和換元法、分部積分法等求解方法定積分計(jì)算題運(yùn)用定積分的性質(zhì)和牛頓-萊布尼茲公式求解，注意變限積分的求導(dǎo)方法微分方程求解題掌握一階、二階微分方程的求解方法，注意初始條件的運(yùn)用常見(jiàn)題型分析與解題技巧針對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，選取具有代表性的題目進(jìn)行練習(xí)和