（人教A版2019必修第二冊）數(shù)學《考點題型 技巧》精講與精練高分突破 8.6.2 直線與平面垂直【附答案詳解】

高一數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)8.6.2直線與平面垂直 【考點梳理】 考點一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直考點二直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言考點三直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°·文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言【題型歸納】題型一：直線與平面垂直的定義以及判定定理的理解1．若表示直線，表示平面，下面推論中正確的個數(shù)為（

）①，則；②，則；③，則.A．1 B．2 C．3 D．02．在空間中，，，，，表示直線，表示平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．設(shè)，為兩個不同的平面，，為兩條不同的直線，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則題型二：直線與平面垂直的判定4．如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于點F．(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于點G，求證：AG⊥PD．5．如圖，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ADC＝90°，DE＝DA，M為AE的中點.（1）求證：AC∥平面DMF；（2）求證：BE⊥DM.6．如圖所示，四邊形為正方形，平面，過點且垂直于的平面分別交于點．求證：．題型三：直線與平面垂直的性質(zhì)7．如圖所示，為的直徑，C為上一點，平面，于E，于F.求證：平面.8．在五面體EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．(1)求證：AC⊥BF；(2)若三棱錐A﹣BCE的體積為，求線段AB的長．9．如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°(1)證明：C1C⊥BD；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明．題型四：求直線與平面所成的角10．如圖所示，在中，斜邊，它在平面上的射影長為4，，求與平面所成角的正弦值．11．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，底面，，(1)證明：AC⊥CD；(2)若E是棱PC的中點，求直線AD與平面PCD所成的角12．如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱底面，且，是的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正切值.【雙基達標】一、單選題13．已知a，b，c為不同直線，為不同平面，給出下列命題：：若，則；：若，則內(nèi)存在與a相交的直線；：若，則；：，若a不垂直于c，則a不垂直于b．其中為假命題的是（

）A． B． C． D．14．在正方體中，與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．15．已知空間中兩個不同的平面，及兩條不同的直線，，且，不垂直，則下列說法正確得是（

）A．若，則可能垂直B．若，，則可能垂直C．若，則可能平行D．若，則可能垂直16．在正方形中，、分別是及的中點，是的中點．現(xiàn)在沿、及把這個正方形折成一個空間四邊形，使、、三點重合，重合后的點記為，那么，在空間四邊形中必有（

）A．所在平面 B．所在平面C．所在平面 D．所在平面17．若，是兩個不同的平面，，，是三條不同的直線，則下列命題錯誤的是（）A．若，，且，則與不共面B．若，是異面直線，，，且，，，則C．若，，，，，則D．若，，，則18．如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點，則下列說法錯誤的是（

）A． B．平面C．平面 D．與是異面直線19．已知三個不同的平面，，，三條不同的直線，，，滿足，，，則下列命題不一定正確的為（

）A．若，則 B．若點，，則C．若，，則 D．若，，則20．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，求證：平面EAB．21．如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，，，且面，、分別是棱、的中點.(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.【高分突破】一：單選題22．如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面23．在正方體中，點是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說法正確的是A． B．C．平面 D．平面24．已知是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則25．已知圓錐的底面半徑為，當圓錐的體積為時，該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．26．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，且,其中，，分別是，，的中點，動點在線段上運動時，下列四個結(jié)論：①；②；③面；④面，其中恒成立的為（

）A．①③ B．③④ C．①④ D．②③27．如圖，在矩形中，，，為邊的中點，沿將折起，在折起的過程中，下列結(jié)論能成立的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面28．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．不確定二、多選題29．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（

）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF30．如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點是圓周上異于，任一點，則下列結(jié)論中正確的是A． B．C．平面 D．平面平面31．如圖所示，在四個正方體中，是正方體的一條體對角線，點分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形為（

）A． B．C． D．32．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點為的中點，則下列判斷正確的是（

）A．與所成的角為B．平面C．∥平面D．33．如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．平面 B．C．平面 D．平面三、填空題34．如圖，∠ACB=90°，平面ABC外有一點P，PC=4cm，點P到角的兩邊AC，BC的距離都等于2cm，則PC與平面ABC所成角的大小為___.

35．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，O是底面ABCD的中心，則EF與平面BB1O的位置關(guān)系是_____.(填“平行”或“垂直”)36．下列命題中，正確的序號是________．①若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；②若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則；③若直線不垂直于平面，則內(nèi)沒有與垂直的直線；④若直線不垂直于平面，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直；⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．37．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.38．如圖，為正方體，下面結(jié)論中正確的是______．（把你認為正確的結(jié)論都填上）①平面；②平面；③與平面所成角的正切值是；④過點與異面直線與成角的直線有2條．四、解答題39．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E為PB中點．（Ⅰ）求證：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．40．如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面.（1）求證：平面PBD；（2）若，直線與平面所成的角為45°，求四棱錐的體積.41．如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點.（1）證明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直線PB與平面PAC所成角的正切值.42．已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，，.（Ⅰ）若是與的交點，求證：平面；（Ⅱ）若點是的中點，求異面直線與所成角的余弦值.43．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．（1）求證：BM//平面PAD．（2）平面PAD內(nèi)是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．44．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，.（1）設(shè)M，N分別為，的中點，求證：平面；（2）求證：；（3）求直線與平面所成角的余弦值.45．如圖1，在直角梯形中，，，且.現(xiàn)以為一邊向梯形外作矩形，然后沿邊將矩形翻折，使，如圖2.（1）求證：平面；（2）若多面體的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案詳解】1．A【詳解】對于①，當時，則相交垂直或異面垂直，所以①正確，對于②，當時，或，所以②錯誤，對于③，當時，與平行，或相交，或，所以③錯誤，故選：A2．D【詳解】選項A：若，，則可能與平面平行，可能與平面相交，也可能在平面內(nèi)，選項A錯誤；選項B：若，，則與可能平行，可能相交，也可能異面，選項B錯誤；選項C：若，，則可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，選項C錯誤；選項D：若，，則，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知選項D正確.故選：D.3．C【詳解】對于A，若，，則與可能異面，也可能平行，故A錯誤；對于B，若，，，則與可能相交、異面或平行，故B錯誤；對于C，過直線作平面，使與相交，設(shè)，又，，所以，又，，所以，所以，故C正確；對于D，若，，，則與可得平行、相交或，故D錯誤.故選：C4．【解析】(1)為矩形，平面，BC平面，又∵PA∩AB＝A，PA與AB平面PAB，平面又∵AE平面PAB又，PB∩BC＝B，PB與BC平面PBC，平面，∵PC平面PBC又，，AE與AF平面AEF平面；(2)為矩形平面平面平面平面5．【詳解】（1）如圖，連結(jié)EC交DF于點N，連結(jié)MN.因為CDEF為矩形，所以EC，DF相互平分，所以N為EC的中點.又因為M為EA的中點，所以MN∥AC.又因為AC?平面DMF，且MN?平面DMF.所以AC∥平面DMF.（2）因為矩形CDEF，所以CD⊥DE.又因為∠ADC＝90°，所以CD⊥AD.因為DE∩AD＝D，DE，AD?平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又因為DM?平面ADE，所以CD⊥DM.又因為AB∥CD，所以AB⊥DM.因為AD＝DE，M為AE的中點，所以AE⊥DM.又因為AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，所以MD⊥平面ABE.因為BE?平面ABE，所以BE⊥MD.6．【詳解】平面，平面，；四邊形是正方形，；，平面，平面，又平面，．平面，平面，．又，平面，平面，平面，．7．【詳解】證明：為⊙O的直徑，C為⊙O上點，所以因為平面，平面，所以又,所以面又平面，則又，，所以平面又平面，所以又因為，所以平面8．(1)證明：取AB中點O，連CO．∵AD＝DC＝BC＝AB，AB∥CD，∴四邊形AOCD為菱形，∴CO＝OA＝OB，∴△OCB為正三角形，∴AC⊥BC，∵正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，∴FC⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴FC⊥AC．BC∩FC＝C，∴AC⊥面BCF，∵BF?面BCF，∴AC⊥BF．(2)解：設(shè)BC＝x，則AB＝2x，由勾股定理得AC＝，由（1）可知ED⊥面ABCD，故，即，解得x＝2．∴AB＝4．9．(1)連結(jié)AC和BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C＝C1C，∴△C1BC≌△C1DC，

∴C1B＝C1D，∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．又，平面AA1C1C，∴BD⊥平面AA1C1C，平面AA1C1C，∴C1C⊥BD．(2)當＝1時，能使A1C⊥平面C1BD．證明：由（1）知，BD⊥平面AA1C1C，∵A1C平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，當＝1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理可得BC1⊥A1C，又BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．10．【詳解】解：由題意知，是在平面內(nèi)的射影，所以平面，所以在平面內(nèi)的射影為．所以即為直線與平面所成的角．又因為在中，，，所以．在中，．在中，．即與平面所成角的正弦值為．11．(1)證明：因為底面，底面，所以，因為，所以，，平面，所以平面，因為平面，所以．(2)解：由（1）平面，平面，所以，，因為，為的中點，所以，因為，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，因為，所以，，所以，所以，因為，所以，即直線與平面所成的角為；12．（1）；（2）.【詳解】（1）在三棱柱中，取的中點，連接.是的中點，，是異面直線與所成角，底面是等腰直角三角形，是的中點，，，平面，，平面，，，又平面，，平面，又平面，，在中，，即異面直線與所成角的余弦值為；（2）由（1）知：平面，在平面上的射影是，是直線與平面所成角，在中，，即直線與平面所成角的正切值為.13．D【詳解】：若，則，又，則，故正確；：若，則直線與平面無公共點，所以內(nèi)不存在與a相交的直線，故錯誤；：如圖所示：在正方體中，平面平面，，但平面與平面不垂直，所以若，則不一定垂直，故錯誤；：如圖所示：在正方體中，平面平面，平面平面，不垂直于BC，但，故錯誤；故選：D14．C【詳解】如圖所示：因為平面ABCD，所以AC為在平面上的射影，所以是與平面所成的角設(shè)棱長，則，所以，故選：C15．B【詳解】若，則，與題意不符，故A不對；若，，則，與題意不符，故C不對；若，則，與題意不符，故D不對；兩個垂直平面內(nèi)也有直線不垂直，B正確．故選：B.16．A【詳解】對于A，在正方形中，，，所以在四面體中，，，又平面，，所以平面，故選項A正確；對于B，若平面，結(jié)合選項A，則，顯然矛盾，故選項B錯誤；對于C，因為面，面，所以，又，平面，，所以平面，假設(shè)平面，則平面平面，顯然矛盾，故選項C錯誤；對于D，因為面，面，所以，若平面，平面，則，平面，故，顯然矛盾，故D錯誤；故選：A.17．D【詳解】對于A：由異面直線的定義可知：若，，且，則與是異面直線；所以與不共面，故選項A正確；對于B：若，是異面直線，，，則平面內(nèi)必然存在兩條相交直線，使得，，又因為，，則，，所以，故選項B正確；對于C：若，，，，，由面面平行的判定定理可得，故選項C正確；對于D：若，，，則與可能相交、平行或異面，故選項D不正確；所以不正確的為選項D，故選：D.18．D【詳解】對A，如圖所示，連接，因為點為中點，所以，在正方體中易得，所以，故A正確；對B，如圖所示，連接交于點，連接，與交于點，連接，在正方體中，易得，，所以四邊形為平行四邊形，則，又為中點，點在上，則易知點為的中心點，因為點為中點，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對C，如圖所示，連接，在正方體中，易知，所以平面，又平面，所以，又為，中點，則，又，所以，所以平面，故C正確；對D，如圖所示，連接，易知：又，則，所以與共面，故D錯誤.故選：D19．D【解析】【分析】由直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷A，由三平面兩兩相交，交線要么相交于一點，要么互相平行判斷B，直接證明C，由垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系判斷D【詳解】解：對于A，如圖若，則，因為，所以，所以A正確，對于B，若點，又，所以，而，所以，所以B正確，對于C，如圖，若，，則在內(nèi)任取一點（），在內(nèi)過點分別作，由面面垂直的性質(zhì)可得，則，所以，所以C正確，對于D，若，，則與一定相交，但不一定垂直，所以D錯誤，故選：D20．見解析【解析】【分析】通過證明和，進而可得證.【詳解】E，F(xiàn)分別是棱，的中點，在Rt△和Rt△中，，所以Rt△Rt△，所以△，因為，所以，所以，即，又因為正方體中，平面,平面，所以，和平面EAB內(nèi)的兩條相交直線，所以平面EAB.21．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）連接，證明出平面，，即可證得結(jié)論成立；（2）計算出菱形的面積，再利用錐體的體積公式可求得四棱錐的體積.(1)證明：連接，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，則，，平面，因為、分別是棱、的中點，則，平面.(2)解：四棱錐的底面是邊長為的菱形，，則為等邊三角形，所以，，因為，平面，故.22．A【解析】【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.23．C【解析】【分析】設(shè)，證明出，可判斷出選項A、C的正誤；由為等腰三角形結(jié)合可判斷出B選項的正誤；證明平面可判斷出D選項的正誤.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則為的中點，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，.易知點、分別為、的中點，，則四邊形為平行四邊形，則，由于過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，則A選項中的命題錯誤；，平面，平面，平面，C選項中的命題正確；易知，則為等腰三角形，且為底，所以，與不垂直，由于，則與不垂直，B選項中的命題錯誤；四邊形為正方形，則，在正方體中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，且，平面，則與平面不垂直，D選項中的命題錯誤.故選C.【點睛】本題考查線線、線面關(guān)系的判斷，解題時應(yīng)充分利用線面平行與垂直等判定定理證明線面平行、線面垂直，考查推理能力，屬于中等題.24．B【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的定理與性質(zhì)對選項一一判斷即可．【詳解】A中，若，可能相交也可能平行，則錯誤；B中，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷，則正確；C中，若，a，b的位置不定，則錯誤；D中，若，可能相交也可能平行，則錯誤．故選：B25．A【解析】【分析】首先理解圓錐體中母線與底面所成角的正弦值為它的高與母線的比值，結(jié)合圓錐的體積公式及已知條件即可求出正弦值.【詳解】如圖，根據(jù)圓錐的性質(zhì)得底面圓，所以即為母線與底面所成角，設(shè)圓錐的高為，則由題意，有，所以，所以母線的長為，則圓錐的母線與底面所成角的正弦值為.故選：A【點睛】本題考查了圓錐的體積，線面角的概念，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓錐的性質(zhì)得即為母線與底面所成角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解.26．A【解析】【詳解】分析：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．（1）由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，進而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，利用三角形的中位線可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，進而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反證法證明：當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．詳解：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．對于（1），由正四棱錐S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．對于（2），由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；對于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．對于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．故選A．點睛：本題考查了空間線面、面面的位置關(guān)系判定，屬于中檔題．對于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進行排除，判斷.還可以畫出樣圖進行判斷，利用常見的立體圖形，將點線面放入特殊圖形，進行直觀判斷.27．B【解析】【分析】用線面垂直的判定定理對四個選項逐一結(jié)合條件分析即可.【詳解】因為在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E為DC邊的中點，則在折起過程中，D點在平面BCE上的射影的軌跡為為O1O2(如圖)．因為折起過程中，DE與AC所成角不能為直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A錯；因為AD⊥ED，并且在折起過程中，當點D的射影位于O點時，有AD⊥BD，所以在折起過程中AD⊥平面BED能成立，故B正確；折起過程中，BD與AC所成的角不能為直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C錯；只有D點射影位于O2位置，即平面AED與平面AEB重合時，才有BE⊥CD，所以折起過程中CD不垂直于平面BED，故D錯.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：立體幾何中折疊問題，要注重折疊前后垂直關(guān)系的變化,不變的垂直關(guān)系是解決該問題的關(guān)鍵.28．A【解析】【分析】根據(jù)題意可知平面，而，在線段上運動，則平面，從而得出點到直線的距離不變，求出的面積，再根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，得出點到平面的距離為，最后利用棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.【詳解】解：由題可知，正方體的棱長為1，則平面，又，在線段上運動，平面，點到直線的距離不變，由正方體的性質(zhì)可知平面，則，而，，故的面積為，又由正方體可知，，，且，平面，則平面，設(shè)與交于點，則平面，點到平面的距離為，.故選：A.29．BC【解析】【分析】由題意可得，AH⊥HE，AH⊥HF，HF⊥HE，從而利用線面垂直的判定定理可得AH⊥平面EFH，HF⊥平面AHE，進而可得答案【詳解】解：由題意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，而AG與平面EFH不垂直.∴B正確，A不正確.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正確.HG與AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正確.D不正確.故選：BC.【點睛】此題考查線面垂直的判定，考查折疊問題，屬于基礎(chǔ)題30．BD【解析】【分析】由題意結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及平面幾何知識可得、，再由線面垂直的判定、性質(zhì)可判斷B，由面面垂直的判定可判斷D；結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)可判斷A、C；即可得解.【詳解】因為垂直于以為直徑的圓所在的平面，所以，，又點是圓周上異于，任一點，所以，對于A，若，則可得平面，則，與矛盾，故A錯誤；對于B、D，可知平面，所以，由平面可得平面平面，故B、D正確；對于C，由與不垂直可得平面不成立，故C錯誤.故選：BD.【點睛】本題考查了線面、面面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.31．AD【解析】利用線面垂直的判定定理證明AD滿足，結(jié)合空間向量在BC中證明直線l與平面內(nèi)的某條直線不垂直，即可得線面不可能垂直.【詳解】如圖所示，正方體.連接，分別為其所在棱的中點，.∵四邊形為正方形，，平面，平面，，，，平面，平面，.，，同理，可證，，，平面，平面，平面，即l垂直平面，故A正確.在D中，由A中證明同理可證，，又，平面.故D正確.假設(shè)直線與平面垂直，則這條直線垂直于面內(nèi)任何一條直線.對于B選項建立直角坐標系如圖：設(shè)棱長為2，，直線l所在體對角線兩個頂點坐標，所以其方向向量，，所以直線不可能垂直于平面.同理可在C中建立相同直角坐標系，，，所以直線不可能垂直于平面.故選：AD.【點睛】此題考查空間線面垂直的辨析，在四個圖形中分別判定是否滿足線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理證明.32．BCD【解析】對A，可得即為與所成的角，求出可判斷；對B，通過和可得；對C，通過線面判定定理可得；對D，分別表示出三棱錐和四棱錐的體積可得.【詳解】對A，底面是正方形，，則即為與所成的角，平面，，，，故A錯誤；對B，連接，底面是正方形，，平面，平面，，，平面，故B正確；對C，設(shè)，連接，則是中點，又點為的中點，，平面，平面，∥平面，故C正確；對D，，,，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，考查線面垂直和線面平行的判斷，考查棱錐體積的計算，解題的關(guān)鍵是正確理解定義和平行垂直的判定定理.33．ABC【解析】【分析】由平面ABC得，又，得出平面PAB；由平面PAB得，又，得出平面PBC，即得；由B知平面PBC；由題意知PB與AC不垂直，PB與平面ADC不垂直．【詳解】對于A，由平面ABC，平面ABC，∴；又，，∴平面PAB，故A正確；對于B，由平面PAB，平面PAB，∴；又PA=AB，D為PB的中點，∴；且，∴平面PBC；又平面PBC，∴，故B正確；對于C，由B知，平面PBC，故C正確；對于D，由題意知PB與AC不垂直，所以PB與平面ADC不垂直，故D錯誤．故選：ABC.【點睛】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，屬于中檔題.34．45°【解析】【分析】過P作PO⊥平面ABC于點O，連接CO，由線面角的定義可得∠PCO為PC與平面ABC所成的角，解三角形可求得答案.【詳解】解：過P作PO⊥平面ABC于點O，連接CO，則CO為∠ABC的平分線，且∠PCO為PC與平面ABC所成的角，設(shè)其為θ，連接OF，則為直角三角形.又PC=4，PF=2，∴CF=2，∴CO=2，在中，cosθ=，∴θ=45°.故答案為：45°.35．垂直【解析】【分析】由線面垂直判定定理可得.【詳解】∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BO∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.故答案為：垂直.36．④⑤【解析】【分析】運用線面垂直的判定定理判斷①②，當直線不與平面垂直，斜交時，存在無數(shù)條直線與該直線垂直即可判斷③④，過一點有且只有一條直線垂直于已知平面即可判斷⑤.【詳解】由線面垂直的判定定理判斷①②，都缺少直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，故①②錯，運用三垂線定理，當直線不與平面垂直，斜交時，過斜足做射影的垂線，可得此直線與斜線垂直，通過平移，可得無數(shù)條平行直線，這些直線都和斜線垂直，③錯，④對,過一點有且只有一條直線垂直于已知平面,故⑤對故答案為：④⑤.37．【解析】【分析】由題意可將三棱錐嵌入到長方體中，然后求出長方體的體對角線即求出了外接球的直徑，進而可求出結(jié)果.【詳解】解：三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，所以，由于，所以為等腰直角三角形；因此可將三棱錐嵌入到長方體中，如圖：因此求三棱錐的外接球半徑即求長方體的外接球半徑，而長方體的外接球的直徑為長方體的對角線，又長方體的長寬高分別為，，所以，所以球的表面積為.故答案為：.38．②④【解析】【分析】通過線面垂直的判定定理或性質(zhì)定理判斷①②，找出直線在平面上射影，示出線面角的正切值判斷③，求出異面直線與所成的角，進一步確定與它們成等角的直線的條件判斷④．【詳解】正方體中，與顯然不垂直，而，因此與不垂直，從而與平面不垂直，否則由線面垂直的性質(zhì)定理得與，矛盾，①錯；正方體中易證平面，由線面垂直定義可得，同理可得，和是平面內(nèi)兩條相交直線，因此有平面，②正確；易證是在平面上的射影，是與平面所成角，顯然，③錯；由可得直線與所成的角是，抽象出圖形如下，，，，是的平分線，是其補角的平分線，與和夾角為，與和夾角為，直線繞（在平面的垂直平面內(nèi)，保持與成等角）旋轉(zhuǎn)時，與的夾角（銳角）最大到，中間有成角的直線，共兩條，而直線同樣旋轉(zhuǎn)時，最小角是，不可能有角．所以過點與異面直線與成角的直線有2條，④正確．故答案為：②④39．（I）見解析；（II）見解析；（III）【解析】【分析】（I）連結(jié)交于，連結(jié)，利用中位線可證明，即可說明平面；（II）由平面平面，底面為矩形可得：，根據(jù)勾股定理可得：，由此證明平面；（III）取的中點，連結(jié)，可證明平面，由于為中點，則過點作平面的高等于，所以，即可求出三棱錐的體積【詳解】（I）連結(jié)交于，連結(jié)．因為底面是矩形，所以為中點．又因為為中點，所以．因為平面，平面，所以平面．（II）

因為底面為矩形，所以．又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面．因為平面，所以．因為，所以，即．因為，，平面，所以平面．（III））取的中點，連結(jié)，因為，是的中點，所以，且，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，因為為中點，所以．所以三棱錐C的體積為．【點睛】本題主要考查線面平面，線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，屬于中檔題．40．（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過AC⊥BD與PD⊥AC可得平面；（2）由題先得出∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，則可先求出菱形ABCD的面積，進而可得四棱錐P-ABCD的體積.【詳解】解：（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因為PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因為PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面積為，故四棱錐P-ABCD的體積.41．（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明AC⊥BC和PA⊥BC，BC面PAC即得證；（2）先證明∠BPC為PB與平面PAC所成的角，再通過解三角形求出即得解.【詳解】證明：(1)為圓O直徑∠ACB=90°即AC⊥BCPA⊥面ABC，PA⊥BCACPA=ABC⊥面PAC.(2)BC⊥面PAC，∠BPC為PB與平面PAC所成的角，在直角三角形中，，在直角三角形中，,在直角三角形中，tan∠BPC=.故直線PB與平面PAC所成角的正切值為.【點睛】方法點睛：求線面角常用幾何法求解，其步驟為：找作證（定義）