2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷5

2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷5

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把參考答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

1.記全集U=R,集合人={%|爐之16},集合B={X|2—2},則(在A)p|B=

A.[4,+oo)B.(1,4]C.[1,4)D.(1,4)

2.已知。=log52,b=Iog72,c=0.5"",貝ij〃，兒c的大小關(guān)系為

A.b<a<cB.a<b<icC.c<b<aD.c<a<b

3ITSTT77

3.若cos(a+0=《，sin(7?--)=-^,a,/3e(0,―),則cos(a+a)=

33335616

A.-----B.——C.——D.------

65656565

4.我國即將進(jìn)入雙航母時(shí)代，航母編隊(duì)的要求是每艘航母配2?3艘驅(qū)逐艦，1?2艘核潛艇.

船廠現(xiàn)有5艘驅(qū)逐艦和3艘核潛艇全部用來組建航母編隊(duì)，則不同的組建方法種數(shù)為

A.30B.60C.90D.120

5.函數(shù)/(x)=2sin(s+0)(o>O，M<7)的部分圖像如圖所示，且/(x)的圖像過A(1,

71

1),B(y,-1)兩點(diǎn)，為了得到g(x)=2sinox的圖像，只需將/(x)的圖像

A.向右平移一B.向左平移一C.向左平移'D.向右平移二

1212

第6題

6.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，上圖是易輕八卦圖(含乾、坤、舞、震、坎、離、良、

兌八卦)，每一卦由三根線組成(-表示一根陽線，-表示一根陰線)，從八卦中任取一卦,

這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為

7.設(shè)H,F2分別為雙曲線C：二—二=l(a>0,方>0)的左、右焦點(diǎn)，過Fi的直線/與圓

cTb"

0:無2+>2=/相切，/與c的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是p,若PF2，X軸，則雙曲

線的離心率等于

A.6B.2C.272D.4

8.對(duì)于函數(shù)>=/(%),若存在區(qū)間［。，b］,當(dāng)x€［a,6］時(shí)的值域?yàn)椋坭?，肪?斤>0),則稱

y=/(x)為無倍值函數(shù).若/(x)=e、+2x是左倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

,,12

A.(e+1,+oo)B.(e+2,+℃)C.(eH—,+8)D.(eH—，+8)

ee

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把參考答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

9.下列說法正確的是

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)。后，方差也變?yōu)樵瓉淼腶倍

B.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位

C.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱

D.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果J服從正態(tài)分布N(l,(72)(a>0),則P(J>l)=0.5

10.已知拋物線C：V=2px過點(diǎn)p(i,1),則下列結(jié)論正確的是

3

A.點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為一

2

B.過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q,則AOPO的面積為工

32

C.過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x-2y+l=0

D.過P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于點(diǎn)M,N,則直線MN的斜率為定值

11.在AABC中，已知加osC+ccosB=26,且--1------二---,貝ij

tanAtanBsinC

A.a,b,c成等比數(shù)列B.sinA：sinB：sinC=2：1：J]

C.若a=4,貝USAABC=J7D.A,B,C成等差數(shù)列

12.已知函數(shù)/(x)=xlnx,若0<玉<々，則下列選項(xiàng)正確的是

./-(%,)-/(x)

A.2<U

王一々

B.%,+f(xt)<x2+f(x2)

C.x2/(x,)<xl/(x2)

D.當(dāng)*2>〉」時(shí)，*/(X】)+X2f(x,)>x2f(x})+xj{x,)

e

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把參考答案填寫在答題卡相應(yīng)

位置上)

13.高二某班共有60名學(xué)生，其中女生有20名，三好學(xué)生占全班人數(shù)的工，而且三好學(xué)生

6

中女生占一半.現(xiàn)在從該班任選一名同學(xué)參加某一座談會(huì).則在已知沒有選上女生的條

件下，選上的是三好學(xué)生的概率為.

14.曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

15.己知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則而?福的取值范圍是.

16.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)Fi(-c,0),F2(C,0),橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為B,直線BB

與雙曲線的一條漸近線平行.若橢圓與雙曲線的離心率分別為q,e2,則qe?=

且3e；+e；的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)/。)=2內(nèi)sinxcosx+2sin2尤一1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

兀

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/(A)=2,C=一,

c=2,求AABC的面積.

18.（本小題滿分12分）

2020年寒假是特殊的寒假，因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了研究

學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教育進(jìn)行調(diào)查，其中男生

與女生的人數(shù)之比為11：13,其中男生30人對(duì)于線上教育滿意，女生中有15名表示對(duì)線

上教育不滿意.

滿意不滿意總計(jì)

男生

女生

合計(jì)120

（1）完成2X2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有

關(guān)”；

（2）從被調(diào)查中對(duì)線上教育滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)

生中抽取3名學(xué)生，作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為4.求出彳的分布列及期望

值.

附公式及表：

?n(ad-bc)2甘廣,,

K2=-----------------------------------,其中"=a+6+c+”.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（本小題滿分12分）

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)與雙曲線2/-2y2=l的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)p(o,6)在

橢圓C上，動(dòng)直線/：交橢圓于不同兩點(diǎn)A,B,且0人-00=0(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求橢圓的方程；

(2)討論7〃產(chǎn)-12產(chǎn)是否為定值；若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=X?+〃x+c,且/(X)KO的解集為[-1,2].

(1)求函數(shù)/(x)的題目解析式；

(2)解關(guān)于X的不等式ITlf(x)>2(x—〃2—1)(陽20);

(3)設(shè)g(x)=2"*3xT,若對(duì)于任意的西，X2G[-2,□都有|g(X|)-g(w)|4M,

求"的最小值.

21.(本小題滿分12分)

2%-1

已知f(x)=〃(x-Inx)H-----.

X

(1)討論/(無)的單調(diào)性；

3

(2)當(dāng)。=1時(shí)，證明/(幻>/'(1)+5對(duì)于任意的工￡32]成立.

22.(本小題滿分12分)

已知點(diǎn)P是拋物線CK丁2=4%的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)p作拋物線的兩條切線PA、

PB,其中A、B為切點(diǎn).

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

x2y2

(2)若直線AB交橢圓C2：一+==1于C、D兩點(diǎn)，S，S2分別是APAB,APCD

43

的面積，求T■的最小值.

S2

2022屆新高考開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試卷5

(教師版)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把參考答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

1.記全集U=R,集合八={小2216},集合B={x|2，N2卜則&A)C|B=

A.[4,+8)B.(1,4]C.[1,4)D.(1,4)

參考答案：C

題目解析：???集合人={.%2?16}={司尤之4或￥^},

^A=1x|-4<x<4},又,.?B={X|2*>2}={x|xN1},

(aA)nB=[l,4),故選C.

2.已知。=logs2,/?=log72,C=0.5"-2,則”，b,c的大小關(guān)系為

A.bV〃VcB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

參考答案：A

題目解析：.；log52<log；=l,.?.OS">。,；？，，c>2,

又logs2〉log：2,a>b,.\b<a<c,故選A.

371_./7T.

3.若cos(<z+0)——9sin(^-—)=—,a,0G(0,―),則cos(a+z)=

413

33335616

A.-----B.—C.—D.-----

65656565

參考答案：c

TT7T7T7T

題目解析：Ta,6w(0,1),?，?a+尸￡(0,兀)，/3----G(------,—),

2444

sin(a+/)=《,cos(/?--)=—，

/.cos(6r+—)=cos[(a+￡)—(^-―)]=cos(a+/?)cos(/?--)+sin(a+0)

3124556

sin('一?)-x_+_x_—__故選C.

513513-65

4.我國即將進(jìn)入雙航母時(shí)代，航母編隊(duì)的要求是每艘航母配2?3艘驅(qū)逐艦，1?2艘核潛艇.

船廠現(xiàn)有5艘驅(qū)逐艦和3艘核潛艇全部用來組建航母編隊(duì)，則不同的組建方法種數(shù)為

A.30B.60C.90D.120

參考答案：B

題目解析：有兩種情況，①一艘航母配2搜驅(qū)逐艦和1搜核潛艇，另一艘航母配3搜驅(qū)逐艦

和2搜核潛艇，②一艘航母配2搜驅(qū)逐艦和2搜核潛艇，另一艘航母配3搜驅(qū)逐艦和

1搜核潛艇，C；C；+C；C；=60,故選B.

5.函數(shù)/(x)=2sin(5+°)(CD>0,|^|<兀)的部分圖像如圖所示，且/(%)的圖像過A(1-,

1)，B(乃，-1)兩點(diǎn),為了得到g(x)=2sinox的圖像，只需將/(x)的圖像

A.向右平移9衛(wèi)B.

向左平移—C.向左平移—D.向右平移—

661212

參考答案：C

T7TJIJI5

題目解析：由題意知一=一T=71,/.co—2,2x—+e=—+2%乃，°=一二萬+2攵萬，

22266

一片萬，J（x）=2sin（2x—：萬）=2sin2（x—，乃），故選C.

?陷<萬，（p=

6.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，上圖是易輕八卦圖（含乾、坤、舞、震、坎、離、良、

兌八卦），每一卦由三根線組成（-表示一根陽線，-表示一根陰線），從八卦中任取一卦,

這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為

參考答案：C

3

題目解析：P=—,故選C.

8

7.設(shè)Fi,F2分別為雙曲線C：二一與=1（°>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過B的直線/與圓

ab-

o：》2+>2=“2相切，/與c的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是P,若PF2，x軸，則雙曲

線的離心率等于

A.6B.2C.20D.4

參考答案：A

be

22

題目解析：tan/PF；E=q=2,02=2/,c=3a,e=K，故選A.

~b2c

8.對(duì)于函數(shù)y=/（x）,若存在區(qū)間口，b],當(dāng)0時(shí)的值域?yàn)槿宋襗依>0）,則稱

y=/(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=e'+2x是在倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

2

A.(e+1,+oo)B.(e+2,4-oo)C.(cd—,+8)D.(CH—,-HX))

ee

參考答案：B

e"+2a=ka

題目解析：/(x)=ev+2x是單調(diào)增函數(shù)，故〈，，故”，6是方程e*+2x=Ax

eb+2b=kb

的兩個(gè)根，令g(x)=e*+(2—左)x,g'(x)=e*+(2—左)，當(dāng)上>2,x=ln(k-2)時(shí)，

g(x)有最小值為g(ln(左一2))=%-2--2)ln(Z-2)<0,解得Qe+2,故選B.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把參考答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上)

9.下列說法正確的是

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)a后，方差也變?yōu)樵瓉淼摹１?/p>

B.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，v平均減少5個(gè)單位

C.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱

D.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果J服從正態(tài)分布N(l,a2)(cr>0),則P(J>l)=0.5

參考答案：BD

題目解析：選項(xiàng)A,方差變?yōu)樵瓉淼?倍，故A錯(cuò)誤；線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，兩

個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；線性相關(guān)系數(shù)，?的絕對(duì)值越接近0,線性相關(guān)性越弱，由

此可見C錯(cuò)誤，故選BD.

10.已知拋物線C：：/=2川過點(diǎn)P(l,1),則下列結(jié)論正確的是

3

A.點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為一

2

B.過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q,則AOPO的面積為2

32

C.過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x-2y+l=0

D.過P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于點(diǎn)M,N,則直線MN的斜率為定值

參考答案：BCD

題目解析：..?拋物線c：y2=2px過點(diǎn)p(i,1),.?.〃=；,;.y2=x,故該拋物線焦點(diǎn)坐

標(biāo)為(L,0),準(zhǔn)線方程為》=-1,故點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為2,故A錯(cuò)誤；

444

△OPQ的面積5=上二=4=±,故B正確；設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為

2smezX一32

5

y=kx+l-kf與拋物線聯(lián)立并化簡得@2一丁+1一人=。，1—42(1—Q=0,解得

k=L故過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x-2y+1=0,C正確；設(shè)PM的斜率

2

為k,則PN的斜率為-4,求得M(支￡,上吆)，N("竺，求得

k2kk2k

MN的斜率為——，D正確，故選BCD.

2

11.在aABC中，已知bcosC+ccosB=2b,且---1--------二---,則

tanAtanBsinC

A.Q,b,c成等比數(shù)列B.sinA：sinB：sinC=2：1：

c.若。=4,則SAABC=J7D.A,B,C成等差數(shù)列

參考答案：BC

?111-cosAcosB1?4?門.2「口

題目解析：由-----+-----=-----得，-----+-----=-----，sinAsinB=sinC,故

tanAtanBsinCsinAsinBsinC

ab=c1,故a,c,b成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；*.*ZJCOSC+ccosB=2b,：,ci=2b,又ab

2

=C9?*?€=V2h,「.a：h：c=2：1：V?,AsinA：sinB：sinC=2：1：>/2,故B

a2+b2-c2_4+l-2_3不

正確；cosC

2ab2x2x14

—xax/jsinC=—x4x2x——二幣故C正確；cosB=

224

a2+c2-b2_4+2-1

=----,故BW60°,故D錯(cuò)誤,故選BC.

2ac2x2x\[5.8

12.已知函數(shù)/(x)=xlnx,若0＜玉＜々，則下列選項(xiàng)正確的是

/(再)一/(%2);0

王一工2

B.x,+f(xl)<x2+f(x2)

C.x2f(xl)<xlf(x2)

D.當(dāng)工2>尤]>,時(shí)，芯/(玉)+元/(%2)>工2/(玉)+5/(々)

e

參考答案：CD

題目解析：首先注意到函數(shù)/(x)=%lnx,在(0,1)單調(diào)遞減，在(1，+8)單調(diào)遞增，故

ee

A錯(cuò)誤，xJ(X])+x2f(x2)>x2f(x[)+xj(w)=(%一%)[/(3)-/(z)]>0，故

D正確：令g(x)=/(x)+x=xlnx+x,不是單調(diào)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令

〃(幻=/3=lnx,是單調(diào)增函數(shù)，故C正確，故選CD.

x

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把參考答案填寫在答題卡相應(yīng)

位置上)

13.高二某班共有60名學(xué)生，其中女生有20名，三好學(xué)生占全班人數(shù)的2，而且三好學(xué)生

6

中女生占一半.現(xiàn)在從該班任選一名同學(xué)參加某一座談會(huì).則在已知沒有選上女生的條

件下，選上的是三好學(xué)生的概率為.

參考答案：—

8

題目解析：P——=一.

408

14.曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

參考答案：y=2x

題目解析：y=\nx+x+\,/=-+1,設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為無0，—+l=2=>x0=l,所以切

點(diǎn)(1,2),故切線方程為y—2=2(x—1),即y=2x.

15.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則而?屈的取值范圍是.

參考答案：(-2,6)

題目解析：點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，麗?陌有最小值為-2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，APAB

有最大值為6,故而?通的取值范圍是（-2,6）.

16.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F|（-c,0）,F2（C,0）,橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為B,直線FiB

與雙曲線的一條漸近線平行.若橢圓與雙曲線的離心率分別為q,e2,則qe?=

且3e；+e；的最小值為.

參考答案：1；26

X2V2X2y2

題目解析：設(shè)橢圓方程為二+七=1,雙曲線方程為二-3=1,則由直線BB與雙曲線

a；b-a；優(yōu)

的一條漸近線平行，得且=%=＞冬="=＞4I0_=＞』=4,ey,

Cae

C01cdz2\

=1；

（2走

所以3d+422任品=26,當(dāng)且僅當(dāng)（13取等號(hào).

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

已知函數(shù)/（x）=2Gsinxcosx+2sin2x-1.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若/(A)=2,C=—,

4

c=2,求aABC的面積.

解：(1)V/(x)=2\[3sinxcosx+2sin2x_1=百sin2x-cos2x

cf萬、

=2sin(2x---),

6

令2hi---<2x----<2kn-{—，keZ,解得攵兀----<x<kitH—,keZ,

26263

7T71

???函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[E--,E+—],kez.

63

TC

(2)V/U)=2sin(24一一)=2,

6

71

sin(2A------)=1,

6

,TC71117T

VJe(0,7i),2A——e(-----，------),

666

71幾

2A---=一,解得A

62

72xsin化+

「十eab-c-sin5I34)1/r

/.由正弦定理----=-----,可得b=-------------=------------7=---------=1+V3,

sinAsinBsinC，2

~T

11/7O_3+石

=—=—X-yOXI—X--------=---------------

22

：.S^ABCabsinC(1+^3)22.

18.(本小題滿分12分)

2020年寒假是特殊的寒假，因?yàn)橐咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)，為了研究

學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對(duì)線上教育進(jìn)行調(diào)查，其中男生

與女生的人數(shù)之比為11：13,其中男生30人對(duì)于線上教育滿意，女生中有15名表示對(duì)線

上教育不滿意.

滿意不滿意總計(jì)

男生

女生

合計(jì)120

(1)完成2X2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有

關(guān)”；

(2)從被調(diào)查中對(duì)線上教育滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取8名學(xué)生，再在8名學(xué)

生中抽取3名學(xué)生，作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹，其中抽取男生的個(gè)數(shù)為求出J的分布列及期望

值.

附公式及表:

“2n(ad-bc)2,

K=----------------------------------,其中〃=〃+Z?+c+d?

(a+b)(c+d)(a+c)(b4-d)

2

P{K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：（1）因?yàn)槟猩藬?shù)為：120x—二=55,所以女生人數(shù)為120-55=65,

11+13

于是可完成2x2列聯(lián)表，如下:

滿意不滿意總計(jì)

男生302555

女生501565

合計(jì)8040120

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值

人120x(30x15-25x5。)：幽。6.713〉6.635,

55x65x80x40143

所以有99%的把握認(rèn)為對(duì)“線上教育是否滿意與性別有關(guān)“

（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依題可知J的可能取值為0』,2,3,并且J服

從超幾何分布,尸（4=何=胃一化=。/，2,3），即

C35C2C'15

尸…)*喂%=D=管費(fèi),

「?=2)=卑=PC=3)=q=，

56Cl56

可得分布列為

竺+3」，

可得56568

19.（本小題滿分12分）

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)與雙曲線2/-2y2=l的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)p（o,6）在

橢圓C上，動(dòng)直線/：交橢圓于不同兩點(diǎn)A,B,且0人-00=0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的方程；

（2）討論7〃產(chǎn)-12產(chǎn)是否為定值；若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

解：（1）因?yàn)殡p曲線2/一2產(chǎn)=1的焦點(diǎn)為（1,0）,所以在橢圓C中。=1,

設(shè)橢圓C的方程為g+，^=l（a>0），

a2\）

由點(diǎn)P（0,6）在橢圓C上得滔—=1,解得〃2=40.=2,則8="^1=百，

所以橢圓C的方程為三+上=1

43

（2）7m2-12公為定值，理由如下:

設(shè)4（%,%）,3（%2，%），由函-0百=0可知XIZ+X%=°，

y=kx+m

聯(lián)立方程組《%2)2=(3+4%2卜2+8神履+4療—12=0,

---F--=1

143

由△=64Mz2—4(3+4kz)(4病_12)>0得加2<3+4左2,

8km4m2-12與

%%=------=------------，CD

123+4/123+4公

由玉馬+/必=0及>=履+初得為毛+（例+加）（優(yōu)+機(jī)）=0,

整理得（1+公）玉工2+初［（石+&）+〃22=0,

將①式代入上式可得（1+公）.-12-km-網(wǎng)"v+巾2=o,

,73+4/3+4公

同時(shí)乘以3+4公可化簡得0+左）（4加2T2）-8-M+3M+4/〃*=0,

所以7.一12^=12,即7加一⑵2為定值

20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/。:）=爐+hx+c,且.f（x）W0的解集為［-1,2］.

（1）求函數(shù)/（X）的題目解析式;

(2)解關(guān)于x的不等式時(shí)(x)>2(x—m—l)(m2O)；

(3)設(shè)g(x)=2/")+3R若對(duì)于任意的演，X2H-2,1]都有卜&)一8(當(dāng)人”，

求M的最小值.

解：(1)因?yàn)?(幻<0的解集為所以％2+反+。=0的根為—1，2,

所以一方=1,c=-2,即8=-1,c=-2；所以/(x)=x2—x—2；

(2)inf{x}>2{x-m-Y),化簡有機(jī)(f一2)>2(x一1),整理

(/7tr-2)(x-l)>0,

所以當(dāng)機(jī)=0時(shí)，不等式的解集為(一8,1),

當(dāng)0<相<2時(shí)，不等式的解集為(—8,l)U[5,+8],

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，不等式的解集為(F/)U(l,+8)，

2

當(dāng)機(jī)>2時(shí)，不等式的解集為(F,一)U(L+S)，

(3)因?yàn)閤e[-2,l]時(shí)/(x)+3x—1=/+級(jí)—3,根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，有

f(x)+3x-l=x2+2x-3e[-4,0],

則有g(shù)(x)=2""T=2，+2x-3,所以，g(x)w上,1,

因?yàn)閷?duì)于任意的西,巧€[-2,1]都有|g(2)-g(x2)\<M,

即求lg(X1)-g(X2)lM“,f">轉(zhuǎn)化為原初如一83腸.」《/，

而g(X)Mm=8⑴=1，g(X)Mi“=g(T)=J，所以，

lo

此時(shí)可得M>—,

16

15

所以"的最小值為16.

21.(本小題滿分12分)

2r-1

已知f(x)=a(x-\nX)H....-

X

（1）討論了（X）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)。=1時(shí)，證明/。）＞/'（幻+^對(duì)于任意的1￡32］成立.

解：⑴蟠的定義域?yàn)樗戆?/p>

、a22(加—2)(1)

f(九)=Q-----7+―-

xxx

當(dāng)蜥三蛹嘉宦陽駟娜寸，尸（幻＞0,.建成單調(diào)遞增;

%￡（1,+00）時(shí),/（1）〈0,費(fèi)磔單調(diào)遞減.

當(dāng)…時(shí)'小"等入+0（、$.

①電直錨F獸,

當(dāng)版至蟆顧或三春礴時(shí)，/（%）＞0,y賺為單調(diào)遞增;

當(dāng)了￡乳收：時(shí)，尸（x）vO,就噓單調(diào)遞減；

②蟒=甥時(shí)，區(qū)=筋在H麒能感吶，尸（幻之0,‘耀城單調(diào)遞增;

VM

③蟒w翦時(shí)，顧，或Jf*：3,,

V僦

當(dāng)屣蒯國或不￡加啕時(shí)，/3＞。，,度瞬單調(diào)遞增；

當(dāng)了€子色,事時(shí)，尸（X）＜0,融鼎單調(diào)遞減.

叫#'

綜上所述，

當(dāng)域三Ii時(shí)，函數(shù)■砥卷在燃意內(nèi)單調(diào)遞增，在nu他■內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)助Y：貓Y延時(shí)，,群聯(lián)在舞商內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在押項(xiàng)內(nèi)單調(diào)

遞增；

當(dāng)蝴=篝時(shí)，,耗墟在獨(dú)#礴內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)磔W獸，,箕廊在斜秒內(nèi)單調(diào)遞增，在《收》內(nèi)單調(diào)遞減，在?肅畸內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)由(口)知，頜=?時(shí)，

,/a、,2x_1122312

(x)=x-lnx+---(1-----y+—r)=%-Inx+—+—7——r--l,