四川省南充市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1四川省南充市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）一、單項(xiàng)選擇題1.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為.故選：C.2.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.已知正方形的邊長為1，則（）A.0 B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，所以，故.故選：C4.已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗根據(jù)線面平行的判定定理知,若,則,故充分性成立；若,則直線m,n有可能平行或者異面,故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知全集，集合則能表示關(guān)系的圖是（）A. B.C D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，?duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)符合題意，故選：B.6.某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對(duì)2023年1月到5月該商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表．發(fā)現(xiàn)銷售量y（萬件）與時(shí)間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：．則下列說法錯(cuò)誤的是（）時(shí)間x（月）12345銷售量y（萬件）11.62.0a3A.由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬件B.表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為C.D.由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)〖答案〗A〖解析〗依題意，，而y與x的回歸直線方程為：，則，解得，，表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，BC正確；由，得y和x成正相關(guān)，D正確；2024年1月份，即，由回歸直線方程，得，因此2024年1月份該地區(qū)的銷售量約為6.8萬件，A錯(cuò)誤.故選：A7.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.60 C.210 D.〖答案〗B〖解析〗展開式的通項(xiàng)為，所以，常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.8.已知：，，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，則，故A正確；因?yàn)?，則，所以，即，故B正確：因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤；故選：D.9.如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C.9 D.18〖答案〗B〖解析〗由題知連接，，，如圖所示因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.10.如圖1是函數(shù)的部分圖象，經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭坪蜕炜s變換后，得到圖2中的部分圖象，則（）A.B.C.方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D.的解集為，〖答案〗D〖解析〗A選項(xiàng)，若，則，與圖不符合，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，向右平移個(gè)單位得到，再將橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，得到，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由，得，畫出和的圖象如下圖所示，，由圖可知，兩個(gè)圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由，得，所以的解集為，，D選項(xiàng)正確.故選：D11.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，P為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，若，則（）A. B.2 C.5 D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，由余弦定理得，解得，所以，所以，又，因?yàn)?，，所?故選：C.12.已知函數(shù)（）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），下列關(guān)于，的說法正確的有（）個(gè)①②③④A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，，則，故，所以在單調(diào)遞增，而，可得圖象如圖所示故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，對(duì)于①，，所以，所以，故①正確；對(duì)于②，由①可知，故，因此，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)?，所以，故，所以，則，構(gòu)造函數(shù)，則，而，所以，所以，因?yàn)椋?，令，?gòu)造，顯然單調(diào)遞增，且，所以所以，故③正確；對(duì)于④，由①可知，，所以，令，，顯然單調(diào)遞增，且，所以，故④正確.故選：D.二、填空題13.滿足約束條件的平面區(qū)域的面積為________．〖答案〗〖解析〗作出該約束條件的可行域，如下圖所示，聯(lián)立，解得，則交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可知該平面區(qū)域的面積為,故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，則________．〖答案〗〖解析〗由題意，在中，，∵為上的奇函數(shù)，∴，故〖答案〗為：.15.已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為和，若存在一個(gè)球同時(shí)與該圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，則該圓臺(tái)的體積為________．附：圓臺(tái)體積公式為：〖答案〗〖解析〗圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球與母線切于點(diǎn)，則，所以，過點(diǎn)作于，則，所以，所以圓臺(tái)的體積為，故〖答案〗為：16.如圖，在中，，，P為內(nèi)一點(diǎn)，且，則________．〖答案〗0.5〖解析〗在中，，由，得，而，則，于是，，則，在中，，在中，由正弦定理得，，即，在中，，由余弦定理得，即，整理得，顯然為銳角，所以.故〖答案〗為：.三、解答題17.已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的公比,設(shè)數(shù)列滿足,求的前2023項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為,則是和的等差中項(xiàng),即解得或或（舍去）當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),（2）,由(1)知故的前2023項(xiàng)和為18.2023年秋季，支原體肺炎在全國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人，某市醫(yī)院傳染病科在該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人的情況，并將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計(jì)未感染支原體肺炎6080140感染支原體肺炎402060合計(jì)100100200（1）是否有99.5%的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān)？（2）現(xiàn)從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，再從6人中隨機(jī)抽出4人作為醫(yī)學(xué)研究對(duì)象并免費(fèi)治療．按以往的經(jīng)驗(yàn)，有慢性疾病的老人每人的研究治療費(fèi)用為2萬元，沒有慢性疾病的老人每人的研究治療費(fèi)用為1萬元，記抽出的這4人產(chǎn)生的研究治療總費(fèi)用為（單位：萬元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：（其中）解：（1）依題意，，所以有99.5%的把握認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān).（2）從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，沒有慢性疾病有2人，研究治療總費(fèi)用的可能值為6，7，8，則，所以的分布列為：678數(shù)學(xué)期望.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，又平面，平面，所以平?（2）解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫?，由?）知，所以平面，又，所以，過作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫妫?，所以，又，，所以面，又面，所?故為二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得到，，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.設(shè)函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（1）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù).（1）解：由已知，時(shí)，恒成立，即恒成立，整理得，令令，得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，得，此時(shí)單調(diào)遞減，，，得；（2）證明：函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，假設(shè)與有公切線，明顯斜率存在，設(shè)公切線的方程為，與的切點(diǎn)為，與的切點(diǎn)為又，，消去得，當(dāng)時(shí)，明顯不成立，整理可得對(duì)于函數(shù)，有，其為奇函數(shù)，且函數(shù)也為奇函數(shù)，故方程若有根，其根必為成對(duì)的相反數(shù)，下面研究方程的根的情況，即函數(shù)的零點(diǎn)情況，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，又時(shí)，，時(shí)，，，使，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，又，由零點(diǎn)存在定理得函數(shù)在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，綜上所述與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù).21.如圖，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D，過左焦點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．（1）求四邊形的內(nèi)切圓的方程；（2）設(shè)，連結(jié)，并延長分別交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為．則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）連接,則四邊形為邊長為的菱形，由對(duì)稱性可知，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，則與四邊形的各個(gè)邊相切，且圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由于，則由等面積法可得，故，故圓的方程為：（2）設(shè),則，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即，將代入上式可得，化簡得，所以，所以，，故，同理可得,所以由于直線方程為，所以，故，故存在，使得22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），把繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系．（1）寫出，的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線的極坐標(biāo)方程為，且與交于點(diǎn)A，與交于點(diǎn)B（A，B與點(diǎn)O不重合），求面積的最大值．解：（1）直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），故，則，即；故的極坐標(biāo)方程為