平面向量知識點和重點題型總結(jié)

PAGE1-平面向量的概念及線性運算【2013年高考會這樣考】1．考查平面向量的線性運算．2．考查平面向量的幾何意義及其共線條件．【復習指導】本講的復習，一是要重視基礎(chǔ)知識，對平面向量的基本概念，加減運算等要熟練掌握，二是要掌握好向量的線性運算，搞清這些運算法則和實數(shù)的運算法則的區(qū)別．基礎(chǔ)梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)3.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.(2)運算律：設(shè)λ，μ是兩個實數(shù)，則①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.一條規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．兩個防范(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．雙基自測1．(人教A版教材習題改編)D是△ABC的邊AB上的中點，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()．A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))2．判斷下列四個命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.正確的個數(shù)是()．A．1B．2C．3D．43．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()．A.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))B.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))C.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))D.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))4．(2011·四川)如圖，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()．A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))5．設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ考向一平面向量的概念【例1】?下列命題中正確的是()．A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點的兩個非零向量不平行【訓練1】給出下列命題：①若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；②若a＝b，b＝c，則a＝c；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；④若a與b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．其中正確命題的序號是________．考向二平面向量的線性運算【例2】?如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()．A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0【訓練2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若點D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()．A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c考向三共線向量定理及其應用【例3】?設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【訓練3】(2011·蘭州模擬)已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點共線的充要條件是()．A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1【示例1】?(2012·泰安十校聯(lián)考)定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說法錯誤的是()．A．若a與b共線，則a⊙b＝0B．a(chǎn)⊙b＝b⊙aC．對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2【示例2】?(2011·山東)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A