2023-2024學年廣東省廣州市高三上冊第一次學情檢測數(shù)學模擬試題（附解析）

2023-2024學年廣東省廣州市高三上學期第一次學情檢測數(shù)學模擬試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．1．設集合，，則的元素個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．若復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．3．已知向量，，，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則的面積為（

）．A．1 B．2 C． D．4．在三角形ABC中，已知三邊之比，則的值等于（

）A．1 B．2 C． D．5．數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．6．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關系為，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則15h后還剩污染物的百分數(shù)為（

）A． B． C． D．7．設橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知正三棱臺的上，下底面邊長分別為2和6，側棱長為4，以下底面頂點為球心，為半徑的球面與側面的交線長為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．9．下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是4B．若數(shù)據(jù)的標準差為，則數(shù)據(jù)的標準差為C．隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．隨機變量服從二項分布，若方差，則10．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．已知某港口水深（單位：）與時間（單位：）從時的關系可近似地用函數(shù)來表示，函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．當時，水深度達到D．已知函數(shù)的定義域為，有個零點，則11．已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．球在正方體外部的體積大于C．球內(nèi)接圓柱的側面積的最大值為D．若點在正方體外部（含正方體表面）運動，則12．已知函數(shù)，.（

）A．若曲線在點處的切線方程為，且過點，則，B．當且時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當時，若函數(shù)有三個零點，則D．當時，若存在唯一的整數(shù)，使得，則三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．14．設數(shù)列滿足，，，令，則數(shù)列的前100項和為．15．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知點F為拋物線C：（）的焦點，從點F出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點反射后，反射光線經(jīng)過點，若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：相切，則p的值是.16．若實數(shù)t是方程的根，則的值為.四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟、必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效，17．（本題10分）在中，角，，所對應的邊分別為，，，且.（1）求的大??；（2）若的面積為，求的值.18．（本題12分）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面.

(1)求證：(2)在線段上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為？若存在，求出點到平面的距離，若不存在，請說明理由.19．（本題12分）已知數(shù)列的各項均大于1，其前項和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的前項和.20．（本題12分）某科目進行考試時，從計算機題庫中隨機生成一份難度相當?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學有三次考試機會，一旦某次考試通過，該科目成績合格，無需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機會.現(xiàn)從2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機抽取100位考生，獲得數(shù)據(jù)如下表：2022年2023年通過未通過通過未通過第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假設每次考試是否通過相互獨立.(1)從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機抽取一位考生，估計這兩位考生都通過考試的概率；(2)小明在2022年參加考試，估計他不超過兩次考試該科目成績合格的概率；(3)若2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率，則的最小值為下列數(shù)值中的哪一個？（直接寫出結果）的值83889321．（本題12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.(1)求的標準方程；(2)設是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求當最大時點的縱坐標.22．（本題12分）已知函數(shù)，.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若有且僅有1個零點，求的取值范圍.數(shù)學答案詳解一、單選題1．設集合，，則的元素個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】明確集合交集的含義，利用解方程組即可確定答案.【詳解】由于，為點集，故求的元素個數(shù)即為求的解的個數(shù)，解方程，可得或或，故的元素個數(shù)是3個，故選：C2．若復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算及乘法運算求得z，由模長公式求得模長即可.【詳解】解：∵，∵復數(shù)，∴，∴，∴，則，故選：A．3．已知向量，，，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則的面積為（

）．A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】為等腰直角三角形，則有及，【詳解】由題知，，，故，則，故選：B．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，掌握向量的模、向量的垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．4．在三角形ABC中，已知三邊之比，則的值等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三邊關系求出，根據(jù)二倍角公式結合正弦定理即可得解.【詳解】三角形ABC中，已知三邊之比可設，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：故選：B5．數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化簡解出即可得出．【詳解】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化為：a＜n2+n．∴a＜2．故選C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關系為，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則15h后還剩污染物的百分數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出，然后帶入，即可求出15h后還剩污染物的百分數(shù).【詳解】根據(jù)題意時，，又在前5h消除了的污染物，則，則15h后還剩污染物為，所以15h后還剩污染物的百分數(shù)為.故選：C7．7．（本題5分）設橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，由橢圓定義和勾股定理得到，換元后得到，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出，得到離心率的取值范圍.【詳解】設，，由橢圓的定義可得，，可設，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時，取得最小值；或4時，取得最大值.即有，得.故選：D【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出，代入公式；②根據(jù)條件得到關于的齊次式，結合轉化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍；③由題目條件得到離心率關于變量的函數(shù)，結合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.8．已知正三棱臺的上，下底面邊長分別為2和6，側棱長為4，以下底面頂點為球心，為半徑的球面與側面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將正三棱臺補形成正三棱錐，并確定正三棱錐的結構特征，求出點到平面的距離，進而求出截面小圓半徑作答.【詳解】將正三棱臺補形成正三棱錐，如圖，由得．∵，∴，∴為正三角形，∴三棱錐為正四面體．令正的中心為，連接，，則平面，，∴．∵球半徑為，∴這個球面截平面所得截面小圓是以為圓心，為半徑的圓．在正中，取，的中點，，取的三等分點，，連接，，顯然，即，，同理，即，∴六邊形是正六邊形，點，，，，，在此球面截平面所得截面小圓上．連接，，，，則，此球面與側面的交線為圖中的兩段圓弧（實線），∴交線長度為．故選：C.【點睛】思路點睛：將正三棱臺補形成正三棱錐，并確定正三棱錐為正四面體，由此可求出點到平面的距離，進而求出球面與側面的截面小圓半徑，從而確定交線為兩段圓弧，求出弧長得解.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是4B．若數(shù)據(jù)的標準差為，則數(shù)據(jù)的標準差為C．隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D．隨機變量服從二項分布，若方差，則【答案】BCD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法，可判定A錯誤；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定B正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可判定C正確；根據(jù)二項分布性質(zhì)和概率的計算公式，可判定D正確.【詳解】對于A中，數(shù)據(jù)從小到大排列為，共有8個數(shù)據(jù)，因為，所以數(shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為2，所以A不正確；對于B中，數(shù)據(jù)的標準差為，由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)的標準差為，所以B正確；對于C中，隨機變量服從正態(tài)分布，且，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以C正確；對于D中，隨機變量服從二項分布，且，可得，解得或，當時，可得；當時，可得，綜上可得，，所以D正確.故選：BCD.10．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．已知某港口水深（單位：）與時間（單位：）從時的關系可近似地用函數(shù)來表示，函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．當時，水深度達到D．已知函數(shù)的定義域為，有個零點，則【答案】ACD【分析】根據(jù)圖象的最值求出，再根據(jù)圖象得到其周期則得到，代入最高點求出，則得到三角函數(shù)解析式，則判斷A，再結合其對稱性即可判斷B，代入計算即可判斷C，利用整體法和其對稱性即可判斷D.【詳解】對A，由圖知，，，，的最小正周期，，，，解得：，又，，，故A正確；對B，令，，解得，，當時，，則，則函數(shù)的圖象關于點對稱，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，則，令，則，令，則根據(jù)圖象知兩零點關于直線，則，即，則，則，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角函數(shù)模型結合圖象求出其解析式.11．已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．球在正方體外部的體積大于C．球內(nèi)接圓柱的側面積的最大值為D．若點在正方體外部（含正方體表面）運動，則【答案】ABD【分析】對A，可求得正方體棱切球半徑，運用表面積公式即可得；對B，由球在正方體外部的體積大于球體體積與正方體的體積之差計算即可得；對C，計算出球內(nèi)接球內(nèi)接圓柱的高及底面積即可得；對D，根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可得.【詳解】解析：對于A．如圖所示，正方體的棱切球的半徑，則球的表面積為，故A正確；對于B．若球體?正方體的體積分別為．球在正方體外部的體積，故B正確；對于C，球的半徑，設圓柱的高為，則底面圓半徑，所以，當時取得最大值，且最大值為，所以C項錯誤；對于D，取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球上且在正方體外部（含正方體表面）運動，所以（當為直徑時，），所以．故D正確．故選ABD．

12．已知函數(shù)，.（

）A．若曲線在點處的切線方程為，且過點，則，B．當且時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當時，若函數(shù)有三個零點，則D．當時，若存在唯一的整數(shù)，使得，則【答案】BCD【分析】A選項，由導數(shù)幾何意義結合題意可知，即可判斷選項正誤；B選項，利用導數(shù)知識結合可得的單調(diào)區(qū)間，即可判斷選項正誤；C選項，有三個零點等價于直線與函數(shù)圖象有3個交點，利用函數(shù)研究單調(diào)性，極值情況，即可判斷選項正誤；D選項，由題可得，存在唯一整數(shù)，使圖象在直線下方.，利用導數(shù)研究單調(diào)性，極值情況，可得其大致圖象，后利用切線知識結合圖象可確定及相關不等式，即可判斷選項正誤.【詳解】A選項，，由題，，則，，故A錯誤；B選項，當時，，.因，則.或在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C選項，當時，令，注意到當時，，則，則函數(shù)有三個零點，相當于直線與函數(shù)圖象有三個交點.令，其中..令或在上單調(diào)遞增；或或或在，上單調(diào)遞減，又，則可得大致圖象如下，則由圖可得，當，直線與函數(shù)圖象有三個交點，即此時函數(shù)有三個零點，故C正確；D選項，由題可得，，即存在唯一整數(shù)，使圖象在直線下方.則，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，過定點，可在同一坐標系下做出與圖象.又設過點切線方程的切點為，則切線方程為：，因其過，則或，又注意到結合兩函數(shù)圖象，可知或2.當時，如圖1，需滿足；當時，如圖2，需滿足；綜上：，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點睛：對于選填題，為便于快速找到答案，常使用數(shù)形結合思想，用直觀的圖象解決函數(shù)零點與函數(shù)不等式成立問題，而做出圖象的關鍵就是利用導數(shù)知識研究函數(shù)的單調(diào)性，極值.三、填空題13．已知的二項展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】【分析】設系數(shù)最大的項為，則可得，直接求解即可.【詳解】設系數(shù)最大的項為，則，解得，因為且為整數(shù)，所以，此時最大的項為.故答案為：14．設數(shù)列滿足，，，令，則數(shù)列的前100項和為．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，求出數(shù)列的通項公式，進而求出，再利用分組求和法求解即得.【詳解】數(shù)列滿足，，，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即，因此，顯然的周期為4，則，令，則有，，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前100項和，即數(shù)列的前25項和.故答案為：.15．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知點F為拋物線C：（）的焦點，從點F出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點反射后，反射光線經(jīng)過點，若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：相切，則p的值是.【答案】【分析】根據(jù)點斜式求解入射光線的方程，進而根據(jù)點到直線的距離公式求解.【詳解】當時，，故入射光線經(jīng)過和，，故入射光線的方程為，化簡得，圓心為，半徑為，所以，而，故，，解得.故答案為：16．若實數(shù)t是方程的根，則的值為.【答案】【分析】將方程進行合理變形可得，利用同構函數(shù)并結合定義域可構造函數(shù)，即可得出，利用對數(shù)運算即可得出結果.【詳解】由可得，即即可得實數(shù)t是方程的根，即；易知，所以；令函數(shù)，則在上恒成立；所以在上單調(diào)遞增，因此需滿足；可得，同時取對數(shù)得，即；所以，即.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將方程變形后利用同構函數(shù)構造出，再結合定義域可知，可得定義域為，再利用單調(diào)性即可求得結果.四、解答題（共70分）17．（本題10分）在中，角，，所對應的邊分別為，，，且.（1）求的大??；（2）若的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)角的范圍可得結果；（2）根據(jù)面積公式可得，根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可得的值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，所以：，又，所以.（2）因為的面積為，∴，由余弦定理，，所以.所以.【點睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.18．（本題12分）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面.

(1)求證：(2)在線段上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為？若存在，求出點到平面的距離，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標，利用空間向量法計算可得；（2）設線段上存在一點，使得與所成角的余弦值為，利用空間向量法求出，再由向量法求出點到平面的距離.【詳解】（1）因為四邊形為正方形，平面，如圖以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，

所以，所以，所以，所以.（2）設線段上存在一點，使得與所成角的余弦值為，則，又，所以，解得（負值舍去），所以存在滿足條件，所以，依題意可得，設為平面的法向量，則，設，可得，所以點到平面的距離為.19．（本題12分）已知數(shù)列的各項均大于1，其前項和為，數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，且，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用計算整理可得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）先由（1）求出，然后通過并項求和以及錯位相減求和法可得.【詳解】（1）①，②，①-②得，整理得，或，又，得或（舍去），若，則，得，舍去，，即，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，即，，，令，則，兩式相減得，，.20．（本題12分）某科目進行考試時，從計算機題庫中隨機生成一份難度相當?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學有三次考試機會，一旦某次考試通過，該科目成績合格，無需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機會.現(xiàn)從2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機抽取100位考生，獲得數(shù)據(jù)如下表：2022年2023年通過未通過通過未通過第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假設每次考試是否通過相互獨立.(1)從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機抽取一位考生，估計這兩位考生都通過考試的概率；(2)小明在2022年參加考試，估計他不超過兩次考試該科目成績合格的概率；(3)若2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率，則的最小值為下列數(shù)值中的哪一個？（直接寫出結果）的值838893【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)相互獨立的事件的概率求解即可；（2）根據(jù)相互獨立的事件的概率求解即可；（3）分別求出2022年和2023年考生成績的合格率，列出不等式即可求解.【詳解】（1）記事件：“2022年第次參加考試的考生通過考試”，，記事件：“2023年第次參加考試的考生通過考試”，，則，，從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機抽取一位考生，估計這兩位考生都通過考試的概率為；（2），，，小明在2022年參加考試，估計他不超過兩次考試該科目成績合格的概率為；（3）2022年考生成績合格的概率為,2023年考生成績合格的概率為，要使2023年考生成績合格的概率不低于2022年考生成績合格的概率，則，解得.故的最小值為.21．（本題12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.(1)求的標準方程；(2)設是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求當最大時點的縱坐標.【答案】(1