河南省名校學術(shù)聯(lián)盟2024屆高三高考模擬信息卷押題卷數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1河南省名校學術(shù)聯(lián)盟2024屆高三高考模擬信息卷&押題卷數(shù)學試題（二）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，又，所以.故選：D.2.（）A. B. C.3 D.5〖答案〗B〖解析〗因，所以.故選：B.3.在中，是延長線上一點，是的中點.若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為中，是的中點，，所以，則，又，所以，所以.故選：A.4.據(jù)國家統(tǒng)計局統(tǒng)計，我國年服務業(yè)增加值及其增長速度的數(shù)據(jù)如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.這5年我國服務業(yè)增加值逐年增加B.這5年我國的服務業(yè)增加值的增長速度的極差為C.2021年我國比上一年增加的服務業(yè)增加值比2019，2020這兩年比上一年增加的服務業(yè)增加值的和小D.這5年我國的服務業(yè)增加值的增長速度的分位數(shù)為〖答案〗C〖解析〗對于A，由條形圖可知，這5年我國的服務業(yè)增加值逐年增加，故A正確；對于C，2021年我國比上一年增加的服務業(yè)增加值為，2019比上一年增加的服務業(yè)增加值為，2020比上一年增加的服務業(yè)增加值為，因為，故C錯誤；對于BD，由折線圖可知，這5年我國的服務業(yè)增加值的增長速度從小到大排列為：，所以其極差為，故B正確；因為，則這5年我國的服務業(yè)增加值的增長速度的分位數(shù)為，故D正確.故選：C.5.我們把由0和1組成的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計算機科學和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列，若數(shù)列的前項和為，且，則的值可能是（）A.100 B.201 C.302 D.399〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，所以數(shù)列的前若干項為：，則，所以，，，.故選：C.6.若存在，使，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，因為存在，使，所以，即，結(jié)合的圖象，可得，解得.故選：D.7.已知，，．若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因為，，則，可得，即，則，令，則，整理得，解得或（舍去），即，解得．故選：B．8.已知體積為的正四棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設正四棱錐的底面邊長為，高為，則體積，所以，設球的半徑為，則，即，則，當且僅當，即時，等號成立，所以球的表面積的最小值為.故選：B.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，當時，單調(diào)遞增，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，則，故C正確；對于D，當時，單調(diào)遞減，因為，所以，故D錯誤.故選：BC.10.在正方體中，分別為，，，，的中點，則（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連接，如圖，因為是，的中點，所以，易知四邊形是平行四形邊，又是，的中點，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接，如圖，在正方體中，易知，又平面，所以平面，因為平面，故，又易知，所以，同理：，則，因為，平面，所以平面，對于C，連接，因為是，的中點，所以，同理：，又在正方體中，易得，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證，進而可證平面，因為平面，所以平面平面，故C正確；對于D，假設平面平面，因為平面，所以平面，顯然不成立，故D錯誤.故選：ABC.11.已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與交于P，Q兩點，點為點在上的射影，線段與軸的交點為G，的延長線交于點，則（）A. B.C. D.直線與相切〖答案〗ABD〖解析〗因為拋物線的焦點為，所以，則，則拋物線，準線為，對于A，不妨設，則，所以，則直線的方程為，令，得，即，所以，則，故，故A正確；對于B，因為，，所以是的中點，，所以由三線合一的推論得，又，所以，故，即，故B正確；對于C，在中，，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，顯然，所以直線與相切，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且是奇函數(shù)，．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為是定義在上奇函數(shù)，所以．由，得，所以，故選項A正確；因為可化為，令，則為上可導的奇函數(shù)，，且，則，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱，且是以4為周期的函數(shù)，所以，所以，故選項B錯誤；因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．由對稱性得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，所以，故選項C正確；因為，所以，從而，解得．由，得，從而是以4為周期的函數(shù)，所以，，所以，故選項D正確．故選：ACD．三、填空題13.的展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗80〖解析〗的展開式的通項公式為：，令，得，則所求系數(shù)為.故〖答案〗為：80.14.已知直線，圓，則滿足與軸都相切，且與外切的所有圓的半徑之積為__________.〖答案〗〖解析〗假設滿足條件的圓的標準方程為，而圓的圓心為，半徑為，所以，由，得或，當時，得，解得或，則或；當時，得，無解；綜上：或，所以滿足條件的所有圓的半徑之積為.故〖答案〗為：5.15.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，設切點為，則，由，得，，則，代入，得，則，令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以，故.故〖答案〗為：.16.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與交于A，B兩點.若的周長為12，則的虛軸長為__________.〖答案〗〖解析〗依題意，因為，所以，則，所以雙曲線為，，所以過點且斜率為的直線為，聯(lián)立，消去，得，設，則或，所以，，因為的周長為12，，所以，則，所以，則的虛軸長為.故〖答案〗為：.四、解答題17.記是等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）設，證明：.（1）解：因為是等差數(shù)列，設其公差為，則由，得，解得，所以數(shù)列通項公式為.（2）證明：數(shù)列的前項和，則，所以，因為，所以，則；因為，當增大，則減少，所以時，取得最大值為，所以最大；綜上，.18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，的面積為3，求.解：（1）由余弦定理，得，由正弦定理，得，因為，所以，則，即，顯然，所以.（2）因為，所以，則由，得，因為，所以，所以，即，由，得，則，即，因為的面積為3，所以，則，解得（負值舍去），所以.19.如圖，在三棱臺中，平面，，.（1）證明：；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的長.（1）證明：延長交于點，如圖，因為三棱臺中，，所以，，則是的中點，，所以，又，平面，所以平面，又平面，則，因為平面，平面，則，又平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：因為平面，平面，所以，過作，因為平面，所以平面，故以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，不妨設，則，，故，，設平面的法向量為，則，取，則，故，設平面的法向量為，則，取，則，故，因為平面與平面的夾角的余弦值為，所以，解得（負值舍去），所以.20.輕食是餐飲的一種形態(tài)、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡約，保留食材本來的營養(yǎng)和味道，近年來隨著消費者健康意識的提升及美顏經(jīng)濟的火熱，輕食行業(yè)迎來快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費者行為數(shù)據(jù)，對中國輕食消費者進行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計其中400名中國輕食消費者（表中4個年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.使用頻率偶爾1次3015510每周1~3次40403050每周4~6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年齡在[12，38）的消費者稱為青少年，年齡在的消費者稱為中老年，每周食用輕食的頻率不超過3次的稱為食用輕食頻率低，不低于4次的稱為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每天食用輕食1次及以上的樣本消費者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，從中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，，，求的分布列與期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）補全的列聯(lián)表如下：青少年中老年合計食用輕食頻率低12595220食用輕食頻率高75105180合計200200400所以，所以有99%的把握認為食用輕食頻率的高低與年齡有關(guān).（2）由數(shù)表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在，內(nèi)的人數(shù)分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列為：012P所以的數(shù)學期望為.（3）記小李在某天早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，分別為事件，晚餐選擇低卡甜品為事件，則，，所以，所以小李晚餐選擇低卡甜品概率為.21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且，證明：，且．（1）解：的定義域為R，由題意，得，，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當，且當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）證明：由，得，是方程的兩個實數(shù)根，即是方程的兩個實數(shù)根．令，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以．因為當時，；當時，，，所以．不妨設，因為，是方程的兩個實數(shù)根，則．要證，只需證．因為，，所以只需證．因為，所以只需證．今，，則在恒成立．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當時，．所以，即成立．22.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點在上，，，為直線上