遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，.故選：C.2.已知命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命題的否定為，.故選：C.3.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)?，它不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A不符合題意；對(duì)于B，對(duì)于而言，，故B不符合題意；對(duì)于C，對(duì)于而言，，故C不符合題意；對(duì)于D，對(duì)于而言，其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故D符合題意.故選：D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得.故選：A.5.在平行四邊形中，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.6.從甲地到乙地的距離為，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系式為，從甲地到乙地這輛車(chē)的總耗油最少時(shí)，其速度為（）A.60 B.80 C.100 D.110〖答案〗B〖解析〗由題意可得總耗油量為：，由于為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故速度為80時(shí)，總耗油量最小.故選：B.7.已知函數(shù)，對(duì)于任意且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意不妨設(shè)，又對(duì)于任意且，都有，即對(duì)于任意且，都有，即，所以上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)對(duì)稱軸為，若，則，即，故滿足題意；若，則，即滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.8.已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)的充要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意先來(lái)研究方程的根的分布情況，我們將其轉(zhuǎn)換為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)分布情況即可，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象如圖所示：所以當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)根；當(dāng)或時(shí)，方程有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)根；而關(guān)于的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)可能為0，1，2，若關(guān)于的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)為0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，若關(guān)于的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)為1，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多為4個(gè)，所以關(guān)于的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)只能為2，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，且注意到在0，1，2，3，4這些數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6只有兩種情況：和，即設(shè)方程的兩個(gè)根為，不失一般性，不妨設(shè)或，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)滿足題意，而若，且注意到二次函數(shù)開(kāi)口向上，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得；若，且注意到二次函數(shù)開(kāi)口向上，則當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)矛盾；綜上所述，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)的充要條件是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）9.按先后順序拋兩枚均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，記事件A：第一次出現(xiàn)正面，事件：第二次出現(xiàn)反面，事件：兩次都出現(xiàn)正面，事件：至少出現(xiàn)一次反面，則（）A.與對(duì)立 B.與互斥 C. D.〖答案〗AC〖解析〗設(shè)出現(xiàn)正面為1，出現(xiàn)反面為2由題意可知：，，，由，則A正確；由，則B錯(cuò)誤；由，則，故C正確；由，則D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，（且），設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的定義域是 B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，令，解得，即函數(shù)的定義域是，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，即函數(shù)的值域是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由題意得，它的定義域?yàn)椋蓮?fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時(shí)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以由零點(diǎn)存在定理可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.11.已知與線性關(guān)系如圖所示，其中．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由圖可設(shè)，代入，可得，所以，故，所以，因此，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，所以，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.12.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，對(duì)任意，，且不恒為0，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C. D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，令，有，所以或，若，則只令，有，即恒為0，所以只能，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A可知，不妨令，有，即，且函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以即為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，令，有，令，由，得，所以當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，若，令，有，所以關(guān)于中心對(duì)稱，又為偶函數(shù)，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，又，，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.其中第15題第一空2分，第二空3分．）13.已知函數(shù)，則______．〖答案〗1〖解析〗由可得，.故〖答案〗為：1.14.寫(xiě)出一個(gè)冪函數(shù)的〖解析〗式，使之同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：①定義域?yàn)椋虎谑桥己瘮?shù)；③當(dāng)時(shí)，．則函數(shù)的〖解析〗式為_(kāi)_____．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋沂桥己瘮?shù)（直接由〖解析〗式看出），當(dāng)時(shí)，，，故滿足題意.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，；數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，．則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_____．〖答案〗88.7〖解析〗由題意得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，數(shù)據(jù)的方差為：.故〖答案〗為：88.7.16.平面向量?jī)蓛刹还簿€，滿足，且．若，則最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)由，由可得是的重心，由可得，由重心的性質(zhì)可得，，不妨設(shè)，則，故由余弦定理可得：，，所以，記，平方可得，由于，所以，此時(shí)取最大值4，故的最大值為2，因此的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知向量，．（1）求的坐標(biāo)及；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由題意，，所以，所以.（2）由題意與平行，所以當(dāng)且僅當(dāng)，化簡(jiǎn)得，解得，即實(shí)數(shù)的值為1或-1.18.大連市某高中對(duì)2023年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，將成績(jī)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）估計(jì)該校高一全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)；（3）現(xiàn)從成績(jī)?cè)诤偷膬山M學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的這2名學(xué)生中至少有1人成績(jī)?cè)诘母怕剩猓海?）由題意有，解得.（2）由題意的學(xué)生數(shù)占比，的學(xué)生數(shù)占比，所以該校高一全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，所以設(shè)該校高一全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)為分，則，解得，所以該校高一全體學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)為115分.（3）成績(jī)?cè)诤偷膬山M學(xué)生人數(shù)分別有人，人，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則在和的兩組學(xué)生中被抽取的分別有人，不妨設(shè)為，人，不妨設(shè)為，抽取的這兩人的所有可能的情況為：，抽取的這2名學(xué)生中至少有1人成績(jī)?cè)诘那闆r共有9種，所以抽取的這2名學(xué)生中至少有1人成績(jī)?cè)诘母怕蕿?19.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（1）求投籃結(jié)束時(shí)，甲、乙各只投1個(gè)球的概率；（2）求甲獲勝的概率；（3）求投籃結(jié)束時(shí)，甲只投了2個(gè)球的概率．解：（1）設(shè)，分別表示甲、乙在第次投籃投中，則，，，2，，記“投籃結(jié)束時(shí)，甲、乙各只投1個(gè)球”為事件，投籃結(jié)束時(shí)，甲、乙各只投1個(gè)球，則第一次甲投，未投中，第二次乙投，投中了，所以概率為.（2）記“甲獲勝”為事件，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知：.（3）記甲投中的次數(shù)為，.20.關(guān)于的不等式的解集為．（1）當(dāng)時(shí)，求集合；（2）已知①，，②，．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．若，且______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式，所以集合.（2）若選①，，則，，所以；若選②，，則，，所以；綜上所述，無(wú)論選①還是選②，都有，若，首先有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即此時(shí)不存在，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若有，則，綜上所述，無(wú)論選①還是選②，則實(shí)數(shù)的取值范圍均為.21.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問(wèn)題．已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意，令，顯然函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）由題意，而由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（1）若方程的兩根為與