江蘇省八市2023屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省八市2023屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若M，N是U的非空子集，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，A正確，B錯誤；因為M，N是U的非空子集，所以，，C,D錯誤，故選:A.2.若，則z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故選：C.3.已知的展開式中各項系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項為（）A.60 B.80 C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，，解得，則的展開式第項，令，解得，所以，故選：B.4.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，現(xiàn)據(jù)《重差》測量一個球體建筑物的高度，如圖，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在同一條直線上，且在點A的同側(cè)．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且，則該球體建筑物的高度約為（）（）A.58.60m B.56.74m C.50.76m D.49.25m〖答案〗C〖解析〗如圖，設(shè)球的半徑為，球心為，為與球的切線，則.，.故選：C5.在平行四邊形中，，．若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，所以，，所以，故選：D.6.記函數(shù)的最小正周期為T．若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)最小正周期，可得，解得；又，即是函數(shù)的一條對稱軸，所以，解得.又，當(dāng)時，.故選：C7.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B8.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D.二、選擇題9.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（）A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D.甲種的樣本60百分位數(shù)小于乙種的樣本60百分位數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗對A，，故A對；對B，，，故B對；對C，因為甲、乙平均值都為，所以，，顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，故C錯誤；對D，為整數(shù)，故甲的60百分位數(shù)，乙的60百分位數(shù)為，故D對.故選：ABD.10.已知數(shù)列{an}的前n項和為，，若，則k可能為（）A.4 B.8 C.9 D.12〖答案〗AC〖解析〗，當(dāng)時，由，解得或（舍去），所以A選項正確.，，，所以B選項錯誤.，所以C選項正確.，所以，所以D選項錯誤.故選：AC11.如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2．若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)，則（）A.B.平面BDCC.多面體的外接球的表面積為D.點A，P旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等〖答案〗BC〖解析〗正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2，則正三棱錐A-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，正三棱錐D-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，則正三棱錐可以放到正方體中，當(dāng)點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)時，如圖所示，連接，，如圖所示正方體中且，四邊形為平行四邊形，則有為等邊三角形，則與夾角為，，有與夾角為，選項A錯誤；，平面BDC，平面BDC，平面BDC，選項B正確；多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項C正確；點A，P旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，所以運動的軌跡長不相等，選項D錯誤.故選：BC12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，可得，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即，由知，A正確；由可得，可得（時取等號），因為，所以，B正確；時，，則，，C錯誤；，令，則，，在單調(diào)遞增，，，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知點在拋物線上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點為的焦點．若，點的橫坐標(biāo)為，則_______.〖答案〗〖解析〗如下圖所示：不妨設(shè)點在第一象限，聯(lián)立可得，即點易知軸，則軸，則，所以，直線的傾斜角為，易知點，所以，，整理可得，且有，故，等式兩邊平方可得，即，解得（6舍去）故〖答案〗為：.14.過點作曲線的切線，寫出一條切線的方程_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，得方程，代入點，得，即，解得或，當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為.故〖答案〗為：（或）.15.已知一扇矩形窗戶與地面垂直，高為1.5m，下邊長為1m，且下邊距地面1m．若某人觀察到窗戶在平行光線的照射下，留在地面上的影子恰好為矩形，其面積為1.5m2，則窗戶與地面影子之間光線所形成的幾何體的體積為_______m3．〖答案〗〖解析〗因為窗戶下邊長1m，所以留在底面上影子矩形的長為1m，又影子矩形的面積為1.5m2，所以矩形的寬為1.5m，設(shè)影子矩形靠近墻的邊長到窗戶底部墻的距離為，則，解得，所以窗戶與地面影子之間光線所形成的幾何體為兩個底面為直角三角形，高為1的直三棱柱體積之差，其中大三棱柱底面直角三角形兩直角邊為，小三棱柱底面直角三角形兩直角邊長為,所以故〖答案〗為：16.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)：，為n的所有正因數(shù)之和，如，則_______；_______．〖答案〗42〖解析〗根據(jù)新定義可得，，因為正因數(shù)，所以故〖答案〗為：；四、解答題17.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）若，求；（2）若，求的面積．解：（1）在中，，所以．因為，所以，所以，即（*），又．所以，即，又，所以，由（*）知，，所以；（2）因為，由正弦定理，得．又，所以.所以的面積為.18.已知正項數(shù)列的前n項和為，且，，．（1）求；（2）在數(shù)列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數(shù)列，求的前100項和.解：（1）因為，當(dāng)時，，因為，所以，故．當(dāng)時，適合上式，所以，.（2）（方法1）因為，，所以當(dāng)時，．所以所以數(shù)列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，設(shè)，則，因為，所以.所以的前100項是由14個1與86個2組成．所以.（方法2）設(shè)，則，因，所以.根據(jù)數(shù)列的定義，知.19.如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．（1）若為的中點，證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）證明：如圖，連接．因為在圓臺中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺母線且交于一點P，所以四點共面.在圓臺中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即為中點．在中，又M為的中點，所以．因為平面，平面，所以平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為，所以．則．因為，所以．所以，所以．設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，所以．設(shè)二面角大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為..20.我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量（單位：dm）與遙測雨量（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：樣本號12345678910人工測雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遙測雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計算得，，，，，.（1）求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）規(guī)定：數(shù)組滿足為“I類誤差”；滿足為“II類誤差”；滿足為“III類誤差”.為進一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“I類誤差”、“II類誤差”中隨機抽取3組數(shù)據(jù)與“III類誤差”數(shù)據(jù)進行對比，記抽到“I類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.附：相關(guān)系數(shù)，.解：（1）因為，代入已知數(shù)據(jù)，得.（2）依題意，“I類誤差”有5組，“II類誤差”有3組，“III類誤差”有2組.若從“I類誤差”和“II類誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組，抽到“I類誤差”的組數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3.則，，，.所以X的概率分布為0123所以的數(shù)學(xué)期望.另解：因為，所以.21.已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．（1）若，求證：；（2）過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．（1）證明：設(shè)、，因為橢圓的焦距為，所以，解得．又因為橢圓的離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.因為直線經(jīng)過、，，所以，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，由，得，.所以，，因此，.（2）解：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，所以，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中．聯(lián)立可得，設(shè)、，則，由韋達定理可得，，易知且，將代入直線的方程可得，即點，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最大值為.22.已知函數(shù)．（1）若，，求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．（1）解：依題意，.