江蘇省啟東市2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省啟東市2024屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故.故選：B.2.已知，若為純虛數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗，因為，且為純虛數(shù)，所以，解得，故選：D.3.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由可知，解得或，當(dāng)時，，，成立，當(dāng)時，，即，與重合，所以若則，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4.學(xué)校以“布一室馨香，育滿園桃李”為主題開展了系列評比活動，動員師生一起為營造舒心愉悅的學(xué)習(xí)生活環(huán)境奉獻(xiàn)智慧．張老師特地培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓臺的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示：過點作與點，不妨設(shè)上下底面圓圓心分別為，半徑分別為，圓臺的高，由題意母線長為，其母線與底面所成的角為，即，從而，，又圓臺的上、下底面半徑之比為，即，所以，圓臺上下兩個底面的面積分別為，由圓臺體積公式可知.故選：A5.已知函數(shù)，現(xiàn)有如下四個命題：甲：該函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為；乙：該函數(shù)圖象可以由的圖象向右平移個單位長度得到；丙：該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；?。涸摵瘮?shù)滿足．如果只有一個假命題，那么該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗C〖解析〗甲：該函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則，即；乙：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象；令,故.丙：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；?。汉瘮?shù)滿足，即函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱.由于只有乙條件最具體，所以從乙入手，若乙正確，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，與丙的結(jié)論矛盾，所以這個唯一的假命題只能是乙或丙，若乙為真命題，則，令，，可得，，所以是該函數(shù)的對稱中心，所以甲、丁為真命題，丙為假命題；若丙為真命題，則甲、丙、丁三個命題為真，由函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱，且，可知在點左側(cè)且距離最近的圖象的對稱軸為，又，所以函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，與丙為真命題矛盾，不成立，綜上所述，甲、乙、丁真命題，丙為假命題，故選：C.6.已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，所以，解得：，即當(dāng)時，，又因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且則，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故，故選：B.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗故選：A.8.已知函數(shù)，若不等式的解集為且，則函數(shù)的極小值是（）A. B.0 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為不等式的解集為且，所以，且為的二重根，所以，則，則當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，即.故選：C二、選擇題9.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗選項A.當(dāng)時，不成立，故選項A不正確.選項B.由,所以，故選項B正確.選項C.由所以，故選項C不正確.選項D.由，所以，故選項D正確.故選：BD10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.數(shù)列為遞增數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗依題意，，，，所以，A選項正確.所以，所以B選項錯誤.，由得，兩式相除得，所以數(shù)列的奇數(shù)項是首項為，公比為的等比數(shù)列；偶數(shù)項是首項為，公比為的等比數(shù)列.，所以C選項正確.由上述分析可知，數(shù)列的奇數(shù)項是首項為，公比為的等比數(shù)列；偶數(shù)項是首項為，公比為的等比數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，，綜上所述，，所以D選項正確.故選：ACD11.已知點滿足，點，，，則（）A.當(dāng)最小時， B.當(dāng)最大時，C.當(dāng)面積最大時， D.當(dāng)最大時，面積為〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)點，，，又，得，化簡可得，即點在以為圓心，為半徑圓，又點和點均在圓外，所以當(dāng)與圓相切時，取最值，設(shè)切點為，則，故A，B選項正確；又的面積，所以當(dāng)最大時，取最大值，此時，，C選項錯誤；由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為延長線與圓的交點時，等號成立，又延長線方程為，，聯(lián)立方程組，解得（舍），，所以，此時的面積為，D選項正確；故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)恒有個極值點B.當(dāng)時，曲線在點處的切線方程為C.若函數(shù)有個零點，則D.若過點存在條直線與曲線相切，則〖答案〗BCD〖解析〗因為，所以，對于A：因為恒成立，所以當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，所以此時不存在極值點，故A錯誤；對于B：當(dāng)，，，所以，又，所以切線方程為，即，故B正確；對于C：函數(shù)有2個零點等價于方程有兩個根，即有兩個根，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，所以要使得有兩個根，則，所以，故C正確；對于D：設(shè)切點坐標(biāo)為，則，又因為切線經(jīng)過點，所以，所以，解得，令，則，所以，因為過點存在2條直線與曲線相切，所以方程有兩個不同的解，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，所以要使得方程有兩個根，則，故D正確，故選：BCD.三、填空題13.已知向量，若與共線，則____________．〖答案〗〖解析〗由于與共線，所以，，所以.故〖答案〗為：14.寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：______．①的值域為；②；③，．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)的值域為，可設(shè)，，又，即，即，解得，所以，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.咖啡適度飲用可以提神醒腦、消除疲勞，讓人精神振奮．沖咖啡對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過分鐘后物體的溫度為滿足．研究表明，咖啡的最佳飲用口感會出現(xiàn)在．現(xiàn)有一杯的熱水用來沖咖啡，經(jīng)測量室溫為，那么為了獲得最佳飲用口感，從沖咖啡開始大約需要等待____________分鐘．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗5〖解析〗由題意得，，即，所以，解得，所以大約需要等待5分鐘，故〖答案〗為：5．16.在平面四邊形中，，將四邊形沿折起，使，則四面體的外接球的表面積為____________；若點在線段上，且，過點作球的截面，則所得的截面中面積最小的圓的半徑為____________．〖答案〗〖解析〗如圖所示：因為，所以，且，點為外接圓的圓心，所以四面體的外接球的球心一定在過點且垂直面的直線上，如圖不妨設(shè)面，面，四面體的外接球的半徑，，則由對稱性可知點也在直線上且，，由題意，，，在中，有，即，在中，有，即，聯(lián)立以上兩式解得，所以，從而四面體的外接球的表面積為；如圖所示：由題意將上述第一空中的點用現(xiàn)在的點來代替，而現(xiàn)在的點為線段的靠近點的三等分點，此時過點作球的截面，若要所得的截面中面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球心到截面的距離為，截面半徑為，則，所以只需球心到截面的距離為最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時，球心到截面的距離為最大，即，由以上分析可知此時，，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題17.已知數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．解：（1）法一：因，所以，所以，所以是常數(shù)列，所以，所以．法二：因為所以，①所以，②②-①，得，所以，所以等差數(shù)列，由中令得，又，故，所以等差數(shù)列的公差，所以．（2），當(dāng)為偶數(shù)時，．當(dāng)為奇數(shù)時，，所以或.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知函數(shù)需滿足，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即在上恒成立，即，（舍），當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，此時，滿足，為奇函數(shù)，成立，所以，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得；（2）由（1）得在的值域，又，設(shè)，，則，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得.19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角：（2）已知是邊的中點，且，求的長．解：（1）因為，由正弦定理得，所以，因為，所以可知，又因為，所以．（2）因為是邊的中點，所以，故，故．由余弦定理得，故，因為，所以．又因為，平方得，所以，故的長為．20.如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．（1）證明：平面：（2）若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，因為是底面半圓弧上的兩個三等分點，所以有，又因為，所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點為，為和的中點，因為，所以三角形為正三角形，所以，所以，因為是半球面上一點，是半球的直徑，所以，因為，平面，所以平面．（2）解：因為點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點，為正三角形，所以，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即兩兩互相垂直，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．21.已知圓過點，且與直線相切于點．（1）求圓C的方程；（2）若、在圓上，直線，的斜率之積為，證明：直線過定點．（1）解：設(shè)，直線：即，由圓與直線相切于，則，即，可得又圓過點，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為；（2）證明：當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，聯(lián)立直線與圓，得，則，即，，，，，又，，所以，即，則，解得或，都滿足所以方程為或，即或，當(dāng)直線方程為時，恒過點，不成立，當(dāng)直線方程為時，恒過；當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線，則，，則