河南省南陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在上投影向量故選：A2.有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③〖答案〗C〖解析〗①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；所以不正確．反例：如果有一個(gè)向量為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以不正確．②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；這是正確的．③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底；因?yàn)槿齻€(gè)向量非零不共線，正確．故選C．3.已知A為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，設(shè)，由可得，，則，因?yàn)椋芍?dāng)時(shí)，最大為.故選：B4.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，一條漸近線：，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離，所以，離心率.故選：B．5.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由曲線，可得，又由直線，可化為，直線恒過(guò)定點(diǎn)，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得，所以，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D6.已知點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)滿足，且為函數(shù)圖象上的點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋芍c(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓上，即，可得，所以橢圓的方程為，又因?yàn)闉楹瘮?shù)圖象上的點(diǎn)，則，解得，所以．故選：C.7.某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號(hào)為的四道試題，編號(hào)為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號(hào)和自己的編號(hào)都不同的情況共有（）A.9種 B.10種 C.11種 D.12種〖答案〗A〖解析〗用表示編號(hào)的面試者回答的試題為，其中，所以的全部可能情況有：，所以共有9種，故選：A8.已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€：，即，令，解得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，同理可知：直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，可知，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若直線的一個(gè)方向向量是，則直線的傾斜角是B.“”是“直線與直線垂直”的充要條件C.“”是“直線與直線平行”的充要條件D.直線的傾斜角的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，在直線中，一個(gè)方向向量是，則直線的斜率為，∴直線的傾斜角是，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線與直線變?yōu)椋号c顯然垂直，充分性成立.當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，解得：或，必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線與直線化為：與即與，兩直線平行，充分性滿足要求.若直線與直線平行，解得：，必要性成立，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，在直線中，該直線的斜率為故傾斜角范圍為.故D正確.故選：ACD.10.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（）A.點(diǎn)到直線的距離小于B.點(diǎn)到直線的距離大于C.當(dāng)最小時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，〖答案〗ACD〖解析〗圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為4，是棱上的一條線段，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（）A.與一定不垂直 B.二面角的正弦值是C.的面積是 D.點(diǎn)到平面的距離是定值〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，是棱上的一條線段，所以平面即平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，平面即平面，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，同理可求得平面的法向量為，設(shè)二面角為，所以，故，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，且平面，平面，所以平面，又點(diǎn)在上，所以點(diǎn)到平面的距離為常量，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．12.我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.射線所在直線的斜率為，則B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為13D.若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，若，則，因?yàn)?，所以，解得，即B正確；選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒?，由角分線定理知，，所以，又，所以，解得，即D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______________.〖答案〗〖解析〗由.14.橢圓的焦距是2，則實(shí)數(shù)的值是___________.〖答案〗10或8〖解析〗由題意可知：橢圓的半焦距長(zhǎng)為，若焦點(diǎn)在x軸上，則，解得；若焦點(diǎn)在y軸上，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的值是10或8.故〖答案〗為：10或8.15.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率______.〖答案〗〖解析〗由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，則，，可得四邊形為平行四邊形，又及托勒密定理，可得四邊形為矩形．設(shè)，，在中，，則，，，，，，解得．雙曲線的離心率為．故〖答案〗為：．16.正方體棱長(zhǎng)為2，為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且，則最小值是___________.〖答案〗〖解析〗連接如圖所示線段，其中為中點(diǎn)，由正方體棱長(zhǎng)為2，則，則，，有，故，又，且、平面，，故平面，又平面，故，又平面，平面，故，又、平面，，故平面，又為中點(diǎn)，故，故平面，故平面，故，連接點(diǎn)與中點(diǎn)，則有、、、，又，故與全等，則有，故，即，即點(diǎn)在線段上，故當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)有，即，即最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.如圖，已知的頂點(diǎn)為，，是邊AB的中點(diǎn)，AD是BC邊上的高，AE是的平分線．（1）求高AD所在直線的方程；（2）求AE所在直線的方程．解：（1）因?yàn)槭沁匒B的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因此高AD所在直線的方程為：；（2）因?yàn)锳E是的平分線，所以，所以，設(shè)，所以，所以AE所在直線的方程為：.18.已知橢圓.（1）求過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）因?yàn)?，所以在橢圓的內(nèi)部，則所求弦必然存在，設(shè)這條弦與橢圓交于點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，把代入，則，作差整理得，可得，所以這條弦所在的直線方程為，即.（2）由題意可知：過(guò)點(diǎn)引橢圓的割線的斜率存在且不為0，設(shè)割線方程為，聯(lián)立方程，消去得，則，解得，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓截得的弦的中點(diǎn)，交點(diǎn)為，根據(jù)橢圓性質(zhì)可知，則，令，則，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可知，則，所以，則，可得，把代入，則，兩式相減得，整理得，即，整理得..19.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．解：（1）連接，，分別為，中點(diǎn)，為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形，則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：20.用圓規(guī)畫一個(gè)圓，然后在圓內(nèi)標(biāo)記點(diǎn)，并把圓周上的點(diǎn)折疊到點(diǎn)，連接，標(biāo)記出與折痕的交點(diǎn)（如圖），若不斷在圓周上取新的點(diǎn)，，．進(jìn)行折疊并得到標(biāo)記點(diǎn)，，．設(shè)圓的半徑為4，點(diǎn)到圓心的距離為2，所有的點(diǎn)，，，形成的軌跡記為曲線．（1）以所在的直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且以直徑的圓經(jīng)過(guò)曲線的中心，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）把圓周上的點(diǎn)折疊到點(diǎn)，折痕是的垂直平分線，，，若不斷在圓周上取新的點(diǎn)，，．進(jìn)行折疊并得到標(biāo)記點(diǎn)，，．總有成立，又是圓內(nèi)的一點(diǎn)，，故點(diǎn)，，，形成的軌跡是以，為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，，，，，，以所在的直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，由，消去得，整理得，，，，，，以直徑的圓經(jīng)過(guò)曲線的中心，則，，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故．21.如圖，在三棱錐中，平面平面，平面平面，于點(diǎn)，，，，，為線段上的一點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)?，平面平面，平面平面，且平面，可得平面，由平面，則，在中，由余弦定理可得，即，則，可得，平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面，則，，平面，所以平面.（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸所在的直線，過(guò)A作平行于的直線為x軸所在的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，可?則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)，可知，即，可得，若直線與平面所成角的正弦值為，則，整理得，解得或（舍去），可知，所以三棱錐的體積.22.如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長(zhǎng)度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，這時(shí)筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象.已知細(xì)繩長(zhǎng)度為3，經(jīng)測(cè)量，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P處，此時(shí)，，.設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過(guò)F垂直于直尺的直線為x軸，以過(guò)F垂直于a的垂線段