貴州省黔東南苗族侗族自治州2024屆高三12月統(tǒng)測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1貴州省黔東南苗族侗族自治州2024屆高三12月統(tǒng)測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，其?shí)部與虛部分別為，.故選：A.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由對(duì)數(shù)的函數(shù)性質(zhì)可得，且，所以.故選：C3.若某等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為27，且第3項(xiàng)為5，則該等差數(shù)列的公差為（）A. B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)該等差數(shù)列為，則，則，所以公差.故選：B.4.若，，則（）A.3 B. C.5 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，，所以，所?故選：C5.若平面α，β截球O所得截面圓的面積分別為，，且球心O到平面α的距離為3，則球心O到平面β的距離為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗設(shè)平面，截球所得截面圓的半徑分別為，，則，，則，.設(shè)球的半徑為，球心到平面的距離為，則，所以.故選：A6.已知是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則為奇函數(shù)，與均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.7.已知貴州某果園中刺梨單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個(gè)單果，則質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)的期望為（）A.20 B.60 C.40 D.80〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?單位)服從正態(tài)分布，且，所以，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個(gè)單果，則質(zhì)量在的單果的個(gè)數(shù)，所以.故選：B8.是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，為該拋物線的焦點(diǎn)，則（）A.12 B.11 C.10 D.9〖答案〗D〖解析〗依題意可得.設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所?故選：D二、選擇題9.若函數(shù)則（）A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗AD〖解析〗，A正確.因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒有最小值，C錯(cuò)誤.故選：AD10.在正四棱臺(tái)中，，，則（）A.該正四棱臺(tái)的體積為B.直線與底面所成的角為60°C.線段的長為D.以為球心，且表面積為的球與底面相切〖答案〗BCD〖解析〗連接，，過作，垂足為.因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以該正四棱臺(tái)的體積，A錯(cuò)誤.直線與底面所成的角為，由，所以，B正確.，C正確.設(shè)以為球心，且表面積為的球的半徑為，則，解得，所以以為球心，且表面積為的球與底面相切，D正確.故選：BCD.11.已知是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則（）A.的最小值為2B.圓與圓有4條公切線C.當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離小于2〖答案〗AB〖解析〗圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，圓與圓外離，因此的最小值為，圓與圓有4條公切線，AB正確；直線的方程為，代入，得，當(dāng)取得最小值時(shí)，為線段與圓的交點(diǎn)，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤；過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則，當(dāng)為線段的延長線與圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)與重合時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離等于，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，，，且，則（）A.的最小值為4 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的最小值是13〖答案〗BCD〖解析〗作出的大致圖象，如圖所示.，其中，所以，則，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，但，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，則，所以，，B，C均正確.因?yàn)椋?設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題13.的展開式中，的系數(shù)為_________.〖答案〗〖解析〗的展開式中，其通項(xiàng)公式，則，故的系數(shù)為故〖答案〗為：14.向量在向量上的投影向量為，則_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，所以，所?故〖答案〗為：15.燒水時(shí)，水溫隨著時(shí)間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為，加熱后的溫度函數(shù)（是常數(shù)，表示加熱的時(shí)間，單位：min），加熱到第10min時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樗某跏紲囟葹椋?，解得，所以，則，所以加熱到第時(shí)，水溫的瞬時(shí)變化率是.故〖答案〗為：16.過雙曲線的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的左頂點(diǎn)為，則的離心率為__________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的焦距為.過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為.雙曲線的漸近線方程為：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故〖答案〗為：2.四、解答題17.為了了解貴州省大學(xué)生是否關(guān)注原創(chuàng)音樂劇與性別有關(guān)，某大學(xué)學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取1000名大學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：男大學(xué)生女大學(xué)生合計(jì)關(guān)注原創(chuàng)音樂劇250300550不關(guān)注原創(chuàng)音樂劇250200450合計(jì)5005001000（1）從關(guān)注原創(chuàng)音樂劇的550名大學(xué)生中任選1人，求這人是女大學(xué)生的概率.（2）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否關(guān)注原創(chuàng)音樂劇與性別有關(guān)聯(lián)？說明你的理由.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）從關(guān)注原創(chuàng)音樂劇的550名大學(xué)生中任選1人，這人是女大學(xué)生的概率為.（2）零假設(shè)為：是否關(guān)注原創(chuàng)音樂劇與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為是否關(guān)注原創(chuàng)音樂劇與性別有關(guān)聯(lián).18.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，（1）求角；（2）若，求的最小值.解：（1）由及正弦定理，可得.因?yàn)?，所?又，所以，則，又，所以.（2）由余弦定理得，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，D，E分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)椋?，，所以，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平?又平面，所以平面平面（2）解：取的中點(diǎn)，連接.由于，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，故平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中軸與平行，則，，，，，.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得設(shè)平面的法向量為，，則令，得.因?yàn)?，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，，且，.（1）若為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若為等比數(shù)列，，求.解：（1）設(shè)的公比為，則，，①由，即，得，得，即，解得或2.將代入①，得，不符合條件；將代入①，得，且，所以為等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可知，，得，若為等比數(shù)列，則，由，得，則，故.21.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）若不垂直于軸的直線過點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），分別為在軸上的左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)?，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，且長軸長為4的橢圓，設(shè)的軌跡方程為，則，可得．又，所以，所以的方程為．（2）依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得．易知，且．由，得．（方法一）因?yàn)椋?，所以，所以為定值，且定值為．（方法二）因?yàn)?，所以，所以為定值，且定值為?2.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：.（2）試問是否為的極值點(diǎn)?說明你的理由.（1）證明：，要證，只需證，即證，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，