河北省保定市部分高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，因在上單調(diào)遞減，則，得故選：B．2.若虛數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，且，則（）A.6 B.4 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗依題意，設(shè)（且），代入方程，得，整理得．所以，解得，因?yàn)?，即，所以．故選：C．3.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，函數(shù)的大致圖像如下圖：因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不等式化為或，所以或或，解得或或，即或，即原不等式的解集為；故選：C.4.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（）A.0 B.1 C.675 D.2023〖答案〗B〖解析〗的定義域?yàn)?，且，故為上的奇函?shù).而，因在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又即為，故，因?yàn)?，故為周期?shù)列且周期為3.因?yàn)椋?故選：B.5.已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，所以，解得，所?故選：A.6.如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有12行、122字銘文.銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國(guó)，自之辟民’”，其中宅茲中國(guó)為“中國(guó)”一詞最早的文字記載.“何尊”可以近似看作是圓臺(tái)和圓柱組合而成，經(jīng)測(cè)量，該組合體的深度約為，上口的內(nèi)徑約為，圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為，則“何尊”的容積大約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知圓臺(tái)的高為，故組合體的體積大約為，故選：C.7.直三棱柱中，，P為BC中點(diǎn)，，Q為上一點(diǎn)，，則經(jīng)過(guò)A，P，Q三點(diǎn)的平面截此三棱柱所成截面的面積是（）A. B.4 C. D.5〖答案〗C〖解析〗如圖，在上取點(diǎn)M，使得，取的中點(diǎn)N，連接，則，又，所以，得A、P、M、Q四點(diǎn)共面，又，為BC的中點(diǎn)，所以，由，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以截面為直角梯形APQM，且，得，所以，作于D，則，所以.故選：C．8.若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)是曲線的切點(diǎn)，設(shè)是曲線的切點(diǎn)，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于曲線，其導(dǎo)數(shù)為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對(duì)照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴且當(dāng)x趨于時(shí)，，趨于；當(dāng)趨于時(shí)，趨于；∴，∴；故選：D．二、多項(xiàng)選擇題9.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A. B.C. D.的最小值為1〖答案〗BC〖解析〗由可知，，由不等式的性質(zhì)可知，則．選項(xiàng)A：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，，所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由函數(shù)的單調(diào)性可知，故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確；選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，顯然等號(hào)不成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的定義域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由，得，B正確；C選項(xiàng)，由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，C正確；D選項(xiàng)，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤.故選：BC11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.C.的面積為 D.〖答案〗AB〖解析〗由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線右焦點(diǎn)，即.又，所以，所以，雙曲線的方程為.對(duì)于A項(xiàng)，雙曲線的的漸近線方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得，，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，.設(shè)，又，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗CD〖解析〗令，解得，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令，即，顯然不是該方程的根，.令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有極小值6，而時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：CD.三、填空題13.已知，，請(qǐng)寫出一個(gè)使為假命題的實(shí)數(shù)的值，______．〖答案〗0（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意，，為真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意，故〖答案〗為：0（〖答案〗不唯一）.14.2023年9月第19屆亞運(yùn)會(huì)將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對(duì)外免費(fèi)開放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館，則甲分配到游泳館的概率為_________.〖答案〗〖解析〗甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館有以下兩種情況：（1）場(chǎng)館分組人數(shù)為1，1，3時(shí)，甲、乙必在3人組，則方法數(shù)為種；（2）場(chǎng)館分組人數(shù)為2，2，1時(shí)，其中甲、乙在一組，則方法數(shù)為種，即甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館的方法數(shù)為.若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時(shí)的方法數(shù)為，故所求的概率為.故〖答案〗為：15.已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由題可知直線的方程為，設(shè)，則由,消去，整理得，，所以，所以，解得，所以，而圓的圓心,因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上取等號(hào)，且點(diǎn)位于點(diǎn)之間，如圖所示：又，所以的最小值為.故〖答案〗為：.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球，現(xiàn)已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)滿足，，則該“鞠”的表面積為_______.〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋郧?，故，因?yàn)?，所以，故，在上取點(diǎn)，使得，則點(diǎn)為等邊的中心，則，設(shè)點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，則平面，連接，設(shè)外接球半徑為，則，過(guò)點(diǎn)作⊥，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，由于在平面中，故，故平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，，故，設(shè)，則，由勾股定理得，，故，解得，故，故該“鞠”的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①且；②；③且，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解：（1）已知數(shù)列滿足______，求的通項(xiàng)公式；（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）若選①且由可得.又，所以數(shù)列是常數(shù)列，且，所以.若選②由已知可得，.當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，，兩式作差可得，，所以.又滿足，所以.若選③且，由可得，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.又，，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知可得，解得，所以.所以，所以.18.已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，且．（1）求角C的值；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．解：（1），（法一），，，∴，則，又為銳角三角形，故.（法二）則，，∴，且銳角三角形，故.（2），，由于為銳角三角形，則，且，解得，（法一）周長(zhǎng)，而，即，∴，故的周長(zhǎng)l的取值范圍為．（法二）由上，由余弦定理得，周長(zhǎng)，記，則在單調(diào)遞增，∴周長(zhǎng)l的取值范圍為．19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，，，，，E為PD中點(diǎn).（1）求證：面PAB；（2）點(diǎn)Q在棱PA上，設(shè)，若二面角P－CD－Q余弦值為，求.（1）證明：取PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B.因E，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，則，即四邊形ECBF平行四邊形，則，又平面PAB，平面PAB，則面PAB；（2）解：取CD中點(diǎn)為G，因，則.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDC，則平面ABCD.過(guò)C點(diǎn)作BA平行線，交AD于M.因平面ABCD，則.過(guò)C做PG平行線CN，則以C為原點(diǎn)，CM所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CN所在直線為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則注意到，則，故.則，，，.設(shè)平面PCD法向量為，則，?。辉O(shè)平面CDQ法向量為，則，令，則，故取.因二面角P－CD－Q余弦值為，則，即.又，則..20.全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．（2）由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過(guò)9.52萬(wàn)元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來(lái)估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過(guò)9.52萬(wàn)元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．解：（1）這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù).這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本方差.（2）①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因?yàn)?，所?因?yàn)椋赃@2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過(guò)9.52萬(wàn)元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過(guò)9.52萬(wàn)元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布.所以21.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求此時(shí)直線l的方程．解：（1）橢圓C的離心率為，又點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為，即，解得，．又由，可得．∴橢圓C的方程為：．（2）由題意，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．∴所求直線l的方程為或．22.已知，．（1）求在點(diǎn)的切線方程；（2）設(shè)，，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．解：（1）由，，則，所以，，所以