3第三章-集中量數(shù)

第三章集中量數(shù)

集中量數(shù)的概念集中量數(shù)就是對(duì)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量。它反映了次數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。

常用的集中量數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等。算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商。用表示。假設(shè)以X1，X2，···，XN表示變量X的各個(gè)觀察值，N表示觀察值的個(gè)數(shù)，那么算術(shù)平均數(shù)可表示為：

算術(shù)平均數(shù)的概念〔1〕在一組數(shù)據(jù)中每個(gè)變量與平均數(shù)之差的總和等于0，即?！?〕在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都加上一常數(shù)C，那么所得的平均數(shù)為原來(lái)的平均數(shù)加常數(shù)C，即?！?〕在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都乘以一常數(shù)C，那么所得的平均數(shù)為原來(lái)的平均數(shù)乘以常數(shù)C，即。算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)〔1〕未分組數(shù)據(jù)〔原始數(shù)據(jù)〕計(jì)算法〔2〕數(shù)據(jù)分組后〔次數(shù)分布表〕計(jì)算法

〔式中XC為各區(qū)間的組中值，f為各區(qū)間的次數(shù)〕算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)具備一個(gè)良好的集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件：①反響靈敏；②嚴(yán)密確定；③簡(jiǎn)明易懂；④計(jì)算簡(jiǎn)單；⑤適合代數(shù)運(yùn)算；⑥較少受抽樣變動(dòng)的影響。

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

除此之外，算術(shù)平均數(shù)還有以下一些特殊的優(yōu)點(diǎn)：①只知一組觀察值的總和及總頻數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)；②用加權(quán)法可以求出幾個(gè)平均數(shù)的總平均數(shù)；③用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量數(shù)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)最接近總體集中量數(shù)的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計(jì)值；④在計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，都要用到它。

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

但是算術(shù)平均數(shù)也有一些缺點(diǎn)：①易受極端數(shù)據(jù)的影響；②假設(shè)出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時(shí)，無(wú)法計(jì)算平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)的意義、適用條件及應(yīng)用原那么算術(shù)平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的集中量數(shù)，它是“真值”漸近、最正確的估計(jì)值。算術(shù)平均數(shù)的適用的條件一組數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個(gè)數(shù)據(jù)都參加計(jì)算，同時(shí)還要作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算時(shí)，這時(shí)就需要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢(shì)。算術(shù)平均數(shù)的意義、適用條件及應(yīng)用原那么計(jì)算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原那么①同質(zhì)性原那么；②平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原那么；③平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合的原那么。

中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。中數(shù)用Ｍd表示。中數(shù)的概念〔1〕一組數(shù)據(jù)中無(wú)重復(fù)數(shù)值的情況指一組數(shù)據(jù)中沒有相同的數(shù)，這時(shí)取處于序列中間位置的那個(gè)數(shù)為中數(shù)。如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，那么中數(shù)為位置的那個(gè)數(shù)；如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，那么中數(shù)為居于中間位置兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即第與第位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

未分組數(shù)據(jù)〔原始數(shù)據(jù)〕求中數(shù)的方法〔2〕一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況指一組數(shù)據(jù)中有相同數(shù)值的數(shù)據(jù)，這時(shí)計(jì)算中數(shù)的方法根本與無(wú)重復(fù)數(shù)值的單列數(shù)據(jù)相同。但根據(jù)重復(fù)數(shù)值數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中所處的位置又細(xì)分為以下兩種情況：①當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時(shí)，求中數(shù)的方法與無(wú)重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)求中數(shù)的方法相同。②當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間時(shí)，需要假設(shè)位于中間的幾個(gè)重復(fù)數(shù)目為連續(xù)數(shù)目，取序列中上下各那一點(diǎn)上的數(shù)值為中數(shù)。未分組數(shù)據(jù)〔原始數(shù)據(jù)〕求中數(shù)的方法

將原始數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，求中數(shù)的原理同重復(fù)數(shù)目求中數(shù)是一樣的，也是取序列中將N平分為兩半的那一點(diǎn)的值作為中數(shù)。

或

式中為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確下限，為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確上限，為該組以下各組的累加次數(shù)，為該組以上各組的累加次數(shù)，為該組的次數(shù)。數(shù)據(jù)分組后〔次數(shù)分布表〕求中數(shù)的方法中數(shù)的意義與應(yīng)用中數(shù)的意義中數(shù)雖然也具備一個(gè)良好集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件，如計(jì)算簡(jiǎn)單，嚴(yán)密確定，簡(jiǎn)明易懂；但與算術(shù)平均數(shù)相比是相形見絀的，如反響不夠靈敏，受抽樣的影響較大，不適合代數(shù)運(yùn)算等。因此，在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用，但在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。中數(shù)的意義與應(yīng)用中數(shù)適用的情況〔1〕當(dāng)一組觀測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)目時(shí)；〔2〕當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚時(shí)；〔3〕當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)。一項(xiàng)研究調(diào)查了19名大學(xué)生，他們的月消費(fèi)〔單位：人民幣元〕如下：220，227，230，231，232，232，235，236，237，239，240，245，246，249，253，258，260，510，600現(xiàn)欲了解他們的平均月消費(fèi)？思考題由于這19名大學(xué)生的月消費(fèi)中存在極端數(shù)據(jù)，算術(shù)平均數(shù)〔元〕不能很好地反映他們的平均月消費(fèi)〔19人中17人月消費(fèi)低于272.63元〕，應(yīng)求中數(shù)：

〔元〕答：這些大學(xué)生的平均月消費(fèi)是239元。解：眾數(shù)有理論眾數(shù)和粗略眾數(shù)兩種定義方法。理論眾數(shù)是指與次數(shù)分布曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)。粗略眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)〔或次數(shù)分布〕中次數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值。眾數(shù)用表示。眾數(shù)的概念

〔1〕用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)在一組原始數(shù)據(jù)中，次數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)值就是眾數(shù)；在次數(shù)分布表中，次數(shù)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。

眾數(shù)的計(jì)算方法

〔2〕用經(jīng)驗(yàn)公式求理論眾數(shù)的近似值①皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法〔適合正態(tài)分布〕②金氏插補(bǔ)法〔適合偏態(tài)分布〕

其中為含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限，為高于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)，為低于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)。眾數(shù)的計(jì)算方法眾數(shù)的意義與應(yīng)用眾數(shù)的意義眾數(shù)雖然簡(jiǎn)明易懂，較少受兩極端數(shù)值的影響，但它并不具備一個(gè)良好集中量數(shù)的根本條件。如極不準(zhǔn)確、穩(wěn)定，反響不靈敏，不適合代數(shù)運(yùn)算，受抽樣的影響較大等。因此，在一般情況下，眾數(shù)應(yīng)用也不廣泛，但在一些特殊情況下也常有應(yīng)用。眾數(shù)的意義與應(yīng)用眾數(shù)適用的情況〔1〕當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)；〔2〕當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)；〔3〕當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時(shí)；〔4〕當(dāng)粗略估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí)。學(xué)校要召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，決定從高一年級(jí)8個(gè)班中抽調(diào)40名男生組成一個(gè)整齊的彩旗方陣隊(duì)，如果從高一〔1〕班的體檢表中任意抽出10份男生表格，得到10個(gè)男同學(xué)的身高〔單位：米〕如下：1.631.601.681.661.661.631.751.661.581.65請(qǐng)根據(jù)這10個(gè)身高值提供的信息確定參加方隊(duì)學(xué)生的最正確身高值應(yīng)取多少？并說明理由。思考題參加方隊(duì)學(xué)生的最正確身高值應(yīng)取1.66。這是因?yàn)閺倪@10個(gè)身高值可以看出，1.66出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)的眾數(shù)，既然這10個(gè)男生中有3個(gè)身高為1.66米，而一個(gè)班遠(yuǎn)不止10個(gè)男生，那么8個(gè)班的男生中應(yīng)該能選出40名這種身高的人。答：〔1〕當(dāng)次數(shù)分布呈正態(tài)時(shí)：〔2〕當(dāng)次數(shù)分布呈正偏態(tài)時(shí)：且〔3〕當(dāng)次數(shù)分布呈負(fù)偏態(tài)時(shí)：且

算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系

算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系

加權(quán)平均數(shù)的概念加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)〔或平均數(shù)〕的平均數(shù)，用表示。加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法

式中為權(quán)數(shù)加權(quán)平均數(shù)

加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用當(dāng)測(cè)量所得的數(shù)據(jù)，其單位權(quán)重并不相等時(shí)，要用加權(quán)平均數(shù)來(lái)求平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)

幾何平均數(shù)的概念幾何平均數(shù)是N個(gè)數(shù)值連乘積的N次方根，用表示。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法

幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)的應(yīng)用〔1〕直接應(yīng)用公式計(jì)算幾何平均數(shù)當(dāng)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)時(shí)，要用幾何平均數(shù)作為集中趨勢(shì)的代表。