5.2.2等差數(shù)列的前n項和（3知識點8題型強化訓練）

5.2.2等差數(shù)列的前n項和課程標準學習目標（1）探索并掌握等差數(shù)列前n項和公式；（2）理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系；（3）能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，會求等差數(shù)列前n項的最值。（1）經(jīng)歷等差數(shù)列前n項和公式的推導，提升數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；（2）通過等差數(shù)列前n項和公式的運用，達成邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)；（3）在利用等差數(shù)列前n項和公式解決實際問題的過程中，培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)；知識點01等差數(shù)列的前n項和1、等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)選用公式2、等差數(shù)列前n項和公式的推導對于公差為d的等差數(shù)列，①②由①＋②得n個＝，由此得等差數(shù)列前n項和公式，代入通項公式得.【即學即練1】（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）（多選）數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，已知，則（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由可得，解得，，故A正確，B錯誤，，C正確，，D錯誤，故選：AC知識點02等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)1、片段和性質(zhì)：設等差數(shù)列的公差為，為其前n項和，等差數(shù)列的依次項之和，，，…組成公差為的等差數(shù)列；2、前n項和與n的比值：數(shù)列是等差數(shù)列?(a，b為常數(shù))?數(shù)列為等差數(shù)列，公差為；3、奇偶項和性質(zhì)：若S奇表示奇數(shù)項的和，表示偶數(shù)項的和，公差為d；①當項數(shù)為偶數(shù)時，，，；②當項數(shù)為奇數(shù)時，，，.4、兩等差數(shù)列前n項和比值：在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為，則【即學即練2】（2023秋·天津河東·高三?？茧A段練習）在等差數(shù)列中，已知，，則（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因為為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，，，故，.故選：D知識點03等差數(shù)列前n項和的最值1、等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)的關系將等差數(shù)列前n項和公式，整理成關于n的函數(shù)可得.當時，關于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)式，即點在其相應的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項和公式是關于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點．2、求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值的解題策略（1）將配方，若，則從二次函數(shù)的角度看：當時，Sn有最小值；當時，有最大值．當n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，取到最值．（2）鄰項變號法：當，時，滿足的項數(shù)n使取最大值；當，時，滿足的項數(shù)n使取最小值?！炯磳W即練3】（2024·重慶·高二巴蜀中學?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的最大項是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知對于等差數(shù)列，，所以，又因為，所以，故數(shù)列是遞減數(shù)列，前項5為正，從第6項起均為負數(shù)，所以數(shù)列的最大項是，故選：B.【題型一：等差數(shù)列前n項和與基本量】例1．（2023·全國·高二期末）記等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設等差數(shù)列的公差為，因為且，可得，解得.故選：C.變式11．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州一中期末）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，①，②聯(lián)立①②可得，，因此，.故選：B．變式12．（2023·江蘇·高二專題練習）在等差數(shù)列中，（1）已知，，，求和；（2）已知，，求；（3）已知，，，求．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由題意得，解得．又，∴，∴，．（2）設等差數(shù)列的公差為，，，，解得，則．（3），，，．變式13．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項公式（2）記的前項的和為，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得所以數(shù)列的通項公式為（2）數(shù)列的前項和由，化簡得即，所以或（舍），所以的值是.【方法技巧與總結】，，，，知三求二（1）在等差數(shù)列中，，或，兩個公式共涉及，，，及五個基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、末項和前項和；、（2）依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”?！绢}型二：等差數(shù)列的片段和性質(zhì)】例2．（2023·江蘇·高二淮陰中學校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為40，前項和為420，則前項和為（）A．140B．180C．220D．380【答案】B【解析】設等差數(shù)列的前項和為，則成等差數(shù)列，所以，又所以，解得.所以等差數(shù)列的前項和為.故選：B.變式21．（2024·廣東深圳·高二深圳市高級中學?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項和為，，，則（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，所以，故構成公差為的等差數(shù)列，所以，即.故選：C變式22．（2023·廣東東莞·高二校考階段練習）設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則．【答案】100【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以仍然是等差數(shù)列，所以也是等差數(shù)列，因為，，所以，.變式23．（2024·河北邢臺·高二博野中學校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則.【答案】46【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知成等差數(shù)列，即1，8，成等差數(shù)列，且公差為，所以，得.【方法技巧與總結】等差數(shù)列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．【題型三：等差數(shù)列前n項和與n的比值】例3．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．B．C．2022D．2023【答案】A【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，即，由，則，即，由，則，即，將代入，解得，.故選：A.變式31．（2023·四川眉山·高三校考開學考試）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則（）A．2023B．2023C．2024D．2024【答案】C【解析】由是等差數(shù)列，設公差為，則所以，（常數(shù)），則也為等差數(shù)列.由，則數(shù)列的公差為1.所以所以，所以故選：C變式32．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【解析】設等差數(shù)列的公差為，，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，解得：；，，解得：，即的取值范圍為.變式33．（2023·全國·高二合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．18B．36C．40D．42【答案】B【解析】，故為等差數(shù)列，故，故，解得.故選：B【方法技巧與總結】由數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，重新構造新的等差數(shù)列?！绢}型四：兩個等差數(shù)列前n項和的比值】例4．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二統(tǒng)考期末）設等差數(shù)列的前項和分別為，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以.故選：A變式41．（2024·天津·高二天津市薊州區(qū)第一中學校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則.【答案】【解析】由，即.變式42．（2023·重慶·高三巴蜀中學校考階段練習）已知兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為，.若則.【答案】2【解析】等差數(shù)列，的前n項和分別為，，，所以.變式43．（2023·福建南平·高二南平第一中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列和的前n項和分別為，，若，則【答案】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，所以，由得，得，所以.【方法技巧與總結】在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為，則，注意結合公式來解決問題?！绢}型五：等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的和】例5．（2022·四川雅安·高二雅安中學?？茧A段練習）一個等差數(shù)列共有2n項，奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和分別為24和30，且末項比首項大10.5，則該數(shù)列的項數(shù)是（）A．4B．8C．12D．20【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，解得：，故該數(shù)列的項數(shù)為.故選：B變式51．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為其中奇數(shù)項之和為偶數(shù)項之和為則()A．B．C．D．【答案】A【解析】項數(shù)為的中奇數(shù)項共有項,其和為項數(shù)為的中偶數(shù)項共有項,其和為所以解得故選:A.變式52．（2022·河南·高二?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，已知公差，且，則.【答案】145【解析】等差數(shù)列中，已知公差，.變式53．（2022·高二課時練習）一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27，求公差d．【答案】【解析】設首項為，公差為，則由題意可得，解得又，．【方法技巧與總結】解題過程中要注意確定等差數(shù)列的項數(shù)，根據(jù)項數(shù)選擇合適的公式。若S奇表示奇數(shù)項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，公差為d，①當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【題型六：含絕對值的等差數(shù)列前n項和】例6．（2023·福建三明·高二?？茧A段練習）已知為等差數(shù)列的前n項和，若.（1）求數(shù)列的通項公式與；（2）求數(shù)列的前50項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設數(shù)列的首項為，公差為，由，可得，又由，聯(lián)立方程組，解得，所以，.（2）由，解得，所以，則.變式61．（2022·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）等差數(shù)列的前項和為．已知，為整數(shù)，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設數(shù)列的前項和為，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，則，可得，即，解得，因為，則，，因此，.此時，故當時，取得最大值，合乎題意，所以，.（2）由（1）知，所以，因此，.變式62．（2024·吉林長春·高二?？计谀┮阎獮榈炔顢?shù)列,,.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，，所以，；所以，，.（2）設的前n項和為的前n項和為.因為；令，得，所以當時，，當時，,故當時，;當時，故.變式63．（2023·湖北·高二校考階段練習）設單調(diào)遞減的等差數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）設數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，又，解得，或，又因為數(shù)列單調(diào)遞減，所以，所以，所以，解得，所以.（2）由，解得，，解得，即，所以當時，，當時，，綜上.【方法技巧與總結】已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負項分界點．第二步，求和：①若an各項均為正數(shù)(或均為負數(shù))，則{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數(shù))；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時數(shù)列{an}只有前面有限項為正數(shù)(或負數(shù))，可分段求和再相加．【題型七：等差數(shù)列前n項和的最值】例7．（2024·甘肅蘭州·高二西北師大附中?？计谀┰O是等差數(shù)列的前項和，且，，則使得取最小值時的為（）A．6B．7C．6或7D．8【答案】A【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，又，，則①，②，由①②解得，所以，當時，取最小值為，故選：A.變式71．（2024·天津?qū)幒印じ叨y(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題設，令，可得，又，故時，時，所以時最小，即最小為.故選：C變式72．（2023·山東泰安·高二新泰市第一中學校考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則取得最大值時，n的值是（）A．23B．13C．14D．12【答案】D【解析】因為是等差數(shù)列，且，所以，，即，所以，，因為，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以當時，取得最大值.故選：D.變式73．（2023·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學?？奸_學考試）（多選）已知等差數(shù)列中，當且僅當時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項和為，（）A．若，則當且僅當時，取得最大值B．若，則當且僅當時，取得最大值C．若，則當且僅當時，取得最大值D．若，，則當或14時，取得最大值【答案】BD【解析】由等差數(shù)列前n項和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對于A，且時取最大值，設，則，當時，；時，；時，，所以或14時，前k項和取最大值，A項錯誤；對于B，當且僅當時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項和最大，B項正確；對于C，，則，同理，，，前13項和最大，C項錯誤；對于D，，，得，由題等差數(shù)列在時，，時，，所以，，，所以或14時，前k項和取最大值，D項正確；故選：BD.【方法技巧與總結】1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方，轉化為求二次函數(shù)的最值問題，但要注意n∈N*，結合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀．2、鄰項變號法：當a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【題型八：等差數(shù)列前n項和的實際應用】例8．（2024·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期末）南宋數(shù)學家楊輝在《解析九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有一高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第100項為（）A．4951B．4953C．4955D．4957【答案】A【解析】設該高階等差數(shù)列為，因為前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，所以所以所以，故選：A.變式81．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習）某中學的募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動一共進行了（）A．20天B．25天C．30天D．35天【答案】B【解析】由題意可知，每一天收到的捐款成等差數(shù)列，首項為20，公差為15，設這次募捐活動一共進行了n天，則，得（負值舍去）.故選：B.變式82．（2023·陜西西安·高二西安市黃河中學?？茧A段練習）已知從冬至日起，小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個節(jié)氣的日影長減等寸（減等寸：以相等的尺寸減少）.若雨水的日影長為95寸，冬至?小寒?大寒?立春的日影長之和為480寸，則冬至的日影長為（）A．135寸B．130寸C．125寸D．120寸【答案】A【解析】由題意得十二個節(jié)氣的日影長成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以冬至的日影長為135寸.故選：A.變式83．（2023·河南濮陽·高二范縣第一中學校聯(lián)考階段練習）有12個砝碼，總質(zhì)量為，它們的質(zhì)量從小到大依次構成等差數(shù)列，且最重的3個砝碼質(zhì)量之和是最輕的3個砝碼質(zhì)量之和的4倍．用這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】將12個砝碼的質(zhì)量從小到大依次設為，由題可知，，，所以，化簡得，，所以，由得，，，化簡得，，解方程得，所以，，，，，，滿足，，又因為，滿足，所以這些砝碼稱一個質(zhì)量為的物體，則需要的砝碼個數(shù)至少為6個.故選：C.【方法技巧與總結】等差數(shù)列在實際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用，將實際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實際問題中去，是用數(shù)學方法解決實際問題的一般過程。需要注意一下兩點：（1）抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型；（2）深入分析題意，確定是求通項公式，或是求前項和，還是求項數(shù)。一、單選題1．（2022·高二單元測試）設等差數(shù)列的前項和為，，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，則，解得或，又，所以，故選：B.2．（2023·高二課時練習）已知等差數(shù)列的公差，，那么（）A．80B．120C．135D．160【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，公差，，所以,所以，故選：C3．（2023·河南·高三安陽縣高級中學校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，.故選：D.4．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和，若，則（）A．578B．579C．580D．581【答案】B【解析】當時，當時，，經(jīng)檢驗時，不成立.故得到.令，則，解得，且，當時，，當時，，故：，.故選：B.5．（2023·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）小方是一名文學愛好者，他想利用業(yè)余時間閱讀《紅樓夢》和《三國演義》，假設他讀完這兩本書共需40個小時，第1天他讀了10分鐘，從第2天起，他閱讀的時間比前一天增加10分鐘，恰好閱讀完這兩本書的時間為（）A．第20天B．第21天C．第22天D．第23天【答案】C【解析】由題設，每天閱讀時間是首項、公差都為10的等差數(shù)列，所以前n天閱讀總時間為分鐘，令，則，，又開口向上且對稱軸為，即上遞增，，，，所以恰好閱讀完這兩本書的時間為第22天.故選：C6．（2023·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）設等差數(shù)列，的前項和分別為，，，都有，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為等差數(shù)列，的前項和分別為，且，所以.故選：D.7．（2024·黑龍江牡丹江·高二牡丹江一中?？计谀┮阎炔顢?shù)列，的前項和分別為，，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，數(shù)列、都是等差數(shù)列，顯然兩個數(shù)列都不是常數(shù)列，，因為等差數(shù)列前項和公式為，所以不妨令為常數(shù)，且，所以時，，．，，，.故選：A8．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學校考階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則使取得最大值時n的值為（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】設等差數(shù)列的公差為d，因為，所以又，所以所以等差數(shù)列的前5項為正數(shù)，從第6項開始為負數(shù)，所以當時，取得最大值.故選：A二、多選題9．（2024·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（）A．的最大值為B．是等差數(shù)列C．是遞減數(shù)列D．【答案】BC【解析】對于A，根據(jù)函數(shù)，其圖象對稱軸為，所以，當或時，有最大值20，故A錯誤；對于B，因為，所以，則是等差數(shù)列，故B正確；對于C，當時，，又符合上式，所以，結合一次函數(shù)的性質(zhì)知，是遞減數(shù)列，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.10．（2024·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）已知均是公差不為0的等差數(shù)列，且，記的前項和分別為，則（）A．B．C．為遞增數(shù)列D．【答案】AD【解析】對于A，由，得，故A正確；對于B，設的公差分別為，均不為0，所以，即，所以，所以，所以無法確定的通項公式，故B錯誤；對于C，由B，不妨取，因此，則為遞減數(shù)列，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：AD11．（2023·河南南陽·高二?？茧A段練習）設數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項和，且，則（）A．B．C．或為的最大值D．【答案】BCD【解析】根據(jù)題意可知，由可得，即，又，所以可得公差；所以A錯誤，B正確；易知是關于的一元二次函數(shù)，且二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，開口向下，又因為為整數(shù)，所以當且時，是單調(diào)遞增的，當且時，是單調(diào)遞減的；又和關于對稱軸對稱，所以可得，且為的最大值，即C正確；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，距離對稱軸越近的值越大，易知，即距離對稱軸比距離對稱軸遠，所以可得，即D正確.12．（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，若，則下列命題正確的是（）A．數(shù)列是遞增數(shù)列B．是數(shù)列中的最小項C．和是中的最小項D．滿足的的最大值為25【答案】AC【解析】對于A：因為，所以，即，因為，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對于B：因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以最小項是首項，B錯誤；對于C：因為，，所以當或時，取最小值，C正確；對于D：由不等式，可得，又因為，所以滿足的的最大值為24，D錯誤．故選：AC．三、填空題13．（2023·高二課時練習）等差數(shù)列共有項，所有的奇數(shù)項之和為，所有的偶數(shù)項之和為，則等于．【答案】【解析】因為等差數(shù)列共有項，所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，所以，，解得.14．（2023·安徽安慶·高二?？茧A段練習）等差數(shù)列中，其前項和為100，其前項和為500，則其前項和為．【答案】1200【解析】因為是等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，即，解得.15．（2023·全國·高三專題練習）已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則.【答案】【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，則，故對任意的，，因此，數(shù)列為等差數(shù)列，且