現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課件：同態(tài)濾波

同態(tài)濾波

8.1引言8.2同態(tài)濾波的基本概念8.3解相乘同態(tài)系統(tǒng)8.4相乘同態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用8.5解卷積同態(tài)系統(tǒng)8.6時(shí)譜技術(shù)8.7解卷積同態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用

8.1引言

本章討論信號(hào)的同態(tài)處理的基本概念以及對(duì)乘積性和卷積性信號(hào)進(jìn)行同態(tài)濾波的方法和應(yīng)用。通過對(duì)這兩類信號(hào)的處理將會(huì)看到，正像表征線性系統(tǒng)一樣，廣義疊加原理可以按同樣的途徑予以拓展利用。還會(huì)看到，乘積和卷積的同態(tài)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)最終要?dú)w結(jié)為一個(gè)線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題，也就是說，核心是設(shè)法將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題來(lái)處理。

8.2同態(tài)濾波的基本概念

線性系統(tǒng)的疊加原理可陳述為:若L為系統(tǒng)的變換，即

y(n)=L[x(n)]

(8.2.1)

則對(duì)任意兩個(gè)輸入x1(n)和x2(n)以及任意標(biāo)量c，有

L[x1(n)+x2(n)]=L[x1(n)]+L[x2(n)]

(8.2.2)

L[cx(n)]=cL[x(n)]

(8.2.3)

一般情況下，輸入序列、輸出序列和標(biāo)量都可以是復(fù)量。當(dāng)標(biāo)量c為純實(shí)量時(shí)，線性變換L的最一般形式是由四個(gè)實(shí)線性變換Lrr、Lri、Lir、Lii組合而成的，如圖8.1所示。這里

y(n)=yr(n)+jyi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)而且有

yr(n)=Lrr[xr(n)]+Lri[xi(n)]

yi(n)=Lir[xr(n)]+Lii[xi(n)]

(8.2.4)

它顯然滿足式(8.2.2)和式(8.2.3)。當(dāng)c為復(fù)量時(shí)，為了也能滿足式(8.2.2)和式(8.2.3)，必須限制(8.2.5)換句話說，這時(shí)的線性系統(tǒng)L由兩個(gè)獨(dú)立的實(shí)線性系統(tǒng)Lr和Li組成，簡(jiǎn)單地用運(yùn)算符號(hào)表示為

L=Lr+Li

(8.2.6)圖8.1輸入、輸出序列為復(fù)量，標(biāo)量c為實(shí)數(shù)的線性系統(tǒng)的一般表示形式現(xiàn)在推廣此原理。令□表示輸入信號(hào)分量的矢量彼此間廣義相加(即組合)的一種運(yùn)算規(guī)則(具體如相加、相乘或相互卷積等運(yùn)算)。用

表示輸入信號(hào)矢量與標(biāo)量c之間的一種廣義乘法運(yùn)算規(guī)則(如乘以c、c次乘法或開方等具體運(yùn)算)。同樣，用○和分別表示輸出信號(hào)矢量空間的廣義矢量相加和標(biāo)乘的運(yùn)算規(guī)則。若系統(tǒng)變換用H表示，那么，把式(8.2.2)、式(8.2.3)推廣為如下的廣義疊加原理:

H[x1(n)□x2(n)]=H[x1(n)]○H[x2(n)]

(8.2.7)

和

(8.2.8)這樣，將輸入運(yùn)算和輸出運(yùn)算規(guī)則分別表示為□和○的形式，且遵從廣義疊加原理的系統(tǒng)稱為廣義的線性系統(tǒng)或同態(tài)系統(tǒng)，用方框圖表示如圖8.2所示。顯然，線性系統(tǒng)L僅僅是同態(tài)系統(tǒng)在□和○具體都是相加(+)以及

和具體都是相乘(·)時(shí)的一種特例。圖8.2輸入運(yùn)算為□、輸出運(yùn)算為○，且系統(tǒng)變換為H的同態(tài)系統(tǒng)的表示為了把線性矢量空間理論應(yīng)用于同態(tài)系統(tǒng)，輸入與輸出運(yùn)算必須滿足矢量相加和標(biāo)乘的代數(shù)公式。譬如，其中一個(gè)重要的公式就是矢量相加必須是可交換的和可結(jié)合的，即是(8.2.9)和(8.2.10)由圖8.2表示的同態(tài)系統(tǒng)可以進(jìn)一步表示為如圖8.3所示的規(guī)范形式，它由三個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成。圖8.3同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范表示第一個(gè)系統(tǒng)D□的變換特性是

(8.2.11)(8.2.12)系統(tǒng)L為一般的線性系統(tǒng)，它滿足式(8.2.1)~式(8.2.3)。具體地說，就是最后，系統(tǒng)D－1○把相加轉(zhuǎn)換為○的運(yùn)算，即為D○的逆運(yùn)算:由于系統(tǒng)D□由運(yùn)算□和

確定，它是這類系統(tǒng)的表征，因此稱D□是運(yùn)算為□的特征系統(tǒng)。同樣，D○是運(yùn)算為○的特征系統(tǒng)。進(jìn)一步看到，輸入和輸出運(yùn)算相同的一切同態(tài)系統(tǒng)彼此間的差異僅僅在于線性部分，這個(gè)結(jié)論極為重要。這意味著，特征系統(tǒng)一旦確定，剩下的就僅僅是線性濾波的問題了。譬如，欲從信號(hào)

x(n)=x1(n)□x2(n)

中恢復(fù)x1(n)，首先要找出一個(gè)特征系統(tǒng)D□，它把x(n)變換為

然后，適當(dāng)選擇和設(shè)計(jì)線性系統(tǒng)L，只讓D□[x(n)]中x1(n)=D□[x1(n)]的分量通過。理想情況下:^

這樣，取D－1○=D－1□，在逆特征系統(tǒng)D－1□中，最后得到輸出為y(n)=D－1□[y(n)]=D－1□[D□x1(n)]=x1(n)^

8.3解相乘同態(tài)系統(tǒng)

現(xiàn)在考慮一種同態(tài)系統(tǒng)，它遵從輸入運(yùn)算□為相乘，而

為取指數(shù)的廣義疊加原理，亦即輸入信號(hào)一般具有

x(n)=[x1(n)]α[x2(n)]β

(8.3.1)

的形式，適配于這種相乘性信號(hào)的特征系統(tǒng)D□應(yīng)具有以下特性:

D□[[x1(n)]α·[x2(n)]β]=αD□[x1(n)]+βD□[x2(n)](8.3.2)

在形式上具有此特性的函數(shù)運(yùn)算是取對(duì)數(shù)。舉例來(lái)說，若x1(n)和x2(n)為實(shí)的正序列，那么，對(duì)于任意實(shí)際量α和β，有

ln[[x1(n)]α[x2(n)]β]=αln[x1(n)]+βln[x2(n)](8.3.3)在本節(jié)和下節(jié)中所涉及的相乘同態(tài)系統(tǒng)，只處理實(shí)的正信號(hào)序列，因此特征系統(tǒng)運(yùn)算只需滿足式(8.3.2)即可，不存在模糊性問題。對(duì)于這類有限制的相乘同態(tài)系統(tǒng)，如果輸入由式(8.3.1)給定，那么，特征系統(tǒng)輸出并加至線性濾波器的信號(hào)將是(8.3.4)其中(8.3.5)同樣，對(duì)于這類系統(tǒng)的線性濾波部分的沖激響應(yīng)也應(yīng)是實(shí)的，并應(yīng)根據(jù)x1(n)和x2(n)的特性以及濾波要求適當(dāng)選擇線性系統(tǒng)。例如，若需分離各分量或?qū)Ω鞣至孔鳘?dú)立的處理，應(yīng)具備的前提條件是:x1(n)和x2(n)的頻譜不得有嚴(yán)重的重疊，也就是說，只有當(dāng)一個(gè)分量變化快，而另一分量作相對(duì)緩慢變化時(shí)，相乘性同態(tài)濾波才是有效的。下節(jié)就來(lái)介紹這種濾波的兩個(gè)實(shí)例。^^圖8.4特征系統(tǒng)為變相乘為相加運(yùn)算的同態(tài)濾波系統(tǒng)

8.4相乘同態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用

8.4.1雷達(dá)對(duì)雜波干擾的恒虛警處理

雷達(dá)通常在各種雜波干擾環(huán)境下工作，大片雜波沿徑向距離分布的范圍比雷達(dá)距離分辨單元大得多，雜波視頻可近似地看做是由兩個(gè)分量相乘組合而成的，即

x(n)=A(n)c(n)

(8.4.1)

由于因子A(n)的影響，雜波視頻序列成為非平穩(wěn)的隨機(jī)序列，這對(duì)雷達(dá)信號(hào)的檢測(cè)極為不利。因?yàn)殡s波干擾增強(qiáng)，會(huì)引起雷達(dá)自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)過高的虛警率。典型的數(shù)值結(jié)果表明，若雜波干擾電平增大2~3dB，則虛警概率要增大3~4個(gè)數(shù)量級(jí)，造成雷達(dá)誤判更多的雜波為目標(biāo)回波，以致引起終端處理設(shè)備過載，這顯然是不希望的。所以，在作判決之前，必須對(duì)x(n)作歸一化處理，或者確切地叫做恒虛警處理，把x(n)處理成和A(n)無(wú)關(guān)的平穩(wěn)隨機(jī)序列。圖8.5(a)是把圖8.4具體化的同態(tài)濾波器，用來(lái)完成一種簡(jiǎn)單的恒虛警處理。由于A(n)和c(n)都是非零的實(shí)序列，特征系統(tǒng)D□的運(yùn)算是對(duì)信號(hào)包絡(luò)取對(duì)數(shù)，因此，特征系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)對(duì)數(shù)檢波器，其輸出為

(8.4.2)

一個(gè)實(shí)際可供采用的高通濾波器如圖8.5(b)所示，其中，每個(gè)z－1的分支傳輸代表一個(gè)采樣間隔，等于相鄰距離分辨元的時(shí)間間隔。從輸入到B點(diǎn)的傳輸構(gòu)成一個(gè)N點(diǎn)長(zhǎng)的FIR低通濾波器，其數(shù)學(xué)函數(shù)為圖8.5雷達(dá)作恒虛警處理的同態(tài)濾波h(n)為低通濾波器的低通沖激響應(yīng)——加權(quán)系數(shù)，當(dāng)為均勻加權(quán)，即h(n)=1/N時(shí)，低通濾波器的頻率響應(yīng)為

另一方面，從輸入至A點(diǎn)的傳輸為全通的延時(shí)支路，為對(duì)稱起見，不妨取N為奇數(shù)，A為低通濾波的全部延時(shí)的中點(diǎn)，這樣，從輸入至A點(diǎn)傳輸?shù)念l率響應(yīng)為高通濾波器的頻率響應(yīng)為H(ejω)=HA(ejω)－HB(ejω)，即(8.4.3)事實(shí)上，若把A點(diǎn)輸出作為對(duì)數(shù)檢波器輸出的雜波采樣，那么，B點(diǎn)的低通濾波輸出是A點(diǎn)采用自身前后(N－1)/2點(diǎn)雜波采樣的加權(quán)和，對(duì)于均勻加權(quán)，h(n)=1/N，它等于前后總共N個(gè)采樣點(diǎn)的算術(shù)平均，表示為式中

(8.4.4)分別是A(n)和c(n)的第N個(gè)樣元的幾何平均值，于是高通濾波器輸出為可以認(rèn)為在N個(gè)樣元內(nèi)A(n)的變化不顯著，近似有(8.4.5)這時(shí)，基本被濾除為零，于是，高通濾波器的輸出近似為(8.4.6)在逆特征系統(tǒng)中經(jīng)過取指數(shù)運(yùn)算后，得到同態(tài)濾波輸出為(8.4.7)8.4.2圖像的同態(tài)處理

眾所周知，當(dāng)光源照射在物體上時(shí)，由于物體各個(gè)不同部分的不同反射，對(duì)視覺感光面或其他感光面形成了圖像，如果感光面是理想的，則圖像的形成是一種相乘過程的模式，即光源的照度圖乘以物體的反射圖產(chǎn)生了圖像的亮度圖。用fi(u，v)和fr(u，v)分別表示兩維的照度圖和反射圖，其中u和v為連續(xù)的空間變量，則亮度圖可以表示為

f(u，v)=fi(u，v)fr(u，v)

(8.4.8)

由于照度圖和圖像的亮度圖僅僅反映了非相干光能的分布圖形，所以f(u，v)和fi(u，v)總是正的實(shí)函數(shù)，而fr(u，v)僅僅是對(duì)光能的反射圖，必然為小于1的正數(shù)，即有

0<fr(u，v)<1

(8.4.9)

0<f(u，v)<fi(u，v)<∞

(8.4.10)

總之圖像可以表示為兩個(gè)分量的乘積，而每個(gè)分量為正實(shí)量。由此看來(lái)，圖像的結(jié)構(gòu)理想地適于用乘法同態(tài)系統(tǒng)來(lái)處理。

為了進(jìn)行圖像的數(shù)字處理，必須對(duì)一幅有限空間的圖像作周期性采樣，以獲得一個(gè)二維的序列x(m，n)作為處理對(duì)象，即

x(m，n)=f(mΔu，nΔv)

(8.4.11)

其中，采樣間隔Δu和Δv要選擇得足夠小，以免產(chǎn)生顯著的頻譜混疊。根據(jù)式(8.4.8)，可以將式(8.4.11)寫成

x(m，n)=xi(m，n)·xr(m，n)

(8.4.12)離散的圖像同態(tài)處理系統(tǒng)仍有圖8.4的規(guī)范形式，由于處理的函數(shù)都是正的實(shí)量，特征運(yùn)算只需取實(shí)對(duì)數(shù)，因此不會(huì)遇到復(fù)對(duì)數(shù)的虛部的模糊性麻煩。特征系統(tǒng)的輸出是

(8.4.13)由于線性系統(tǒng)的性質(zhì)，顯然有(8.4.14)其中yi(m，n)和yr(m，n)分別是處理后的照度和反射強(qiáng)度函數(shù)。最后，同態(tài)濾波輸出為^^

(8.4.15)雖然照度變化慢,但就整個(gè)畫面而言,其變化卻可能很大,使得圖像信號(hào)具有很寬的動(dòng)態(tài)范圍，這就給在通信線路上傳送圖像或者在諸如感光膠片上存儲(chǔ)圖像帶來(lái)麻煩，于是圖像處理的一個(gè)重要方面就是通過對(duì)照度分量的單獨(dú)處理，進(jìn)行動(dòng)態(tài)范圍的壓縮，以避免再傳輸或存儲(chǔ)適應(yīng)期的非線性失真。圖像處理的另一重要方面是提高對(duì)比度，就是使圖像中物體的邊緣輪廓清晰。由于這些邊緣輪廓主要對(duì)應(yīng)著反射分量的急劇變化，因此，為了改變圖像的對(duì)比度，需要獨(dú)立處理反射分量。既然照度圖和照射強(qiáng)度函數(shù)大致對(duì)應(yīng)在頻譜的低頻分量，而反射圖和反射強(qiáng)度函數(shù)大致對(duì)應(yīng)在頻譜的高頻分量地帶，因此，為了同時(shí)壓縮動(dòng)態(tài)范圍和提高對(duì)比度，應(yīng)當(dāng)選擇線性系統(tǒng)，使其二維幅頻特性在低頻域?yàn)榈驮鲆姒胕，而在高頻域?yàn)楦咴鲆姒胷，大致呈現(xiàn)二維的圓對(duì)稱頻率特性。通過原點(diǎn)的任意一橫截面的幅頻響應(yīng)如圖8.6所示。在理想情況下，這種濾波器對(duì)照射分量的增益為γi，對(duì)反射分量的增益為γr，于是

由式(8.4.15)得(8.4.16)顯然，若選擇γi<1，就可壓縮動(dòng)態(tài)范圍，同時(shí)又可獨(dú)立地選擇γr>1，以提高對(duì)比度。圖8.6圓對(duì)稱頻率特性的一個(gè)橫截面(這種特性用在圖像處理系統(tǒng)的線性部分，以提高對(duì)比度和壓縮動(dòng)態(tài)范圍)

8.5解卷積同態(tài)系統(tǒng)

以用同態(tài)濾波系統(tǒng)來(lái)處理。

8.5.1規(guī)范系統(tǒng)

考慮一個(gè)是由直線卷積和組成的序列，即

不難證明，直線(離散)卷積滿足矢量相加的各代數(shù)法則，因此可以歸類為同態(tài)系統(tǒng)，標(biāo)乘以整數(shù)a相當(dāng)于x(n)與自身重復(fù)卷積a次，并可推廣到a為非整數(shù)和負(fù)數(shù)的一般情況。在圖8.7中示出了解卷積同態(tài)濾波器的規(guī)范形式。圖8.7以卷積為輸入和輸出運(yùn)算的同態(tài)濾波器的規(guī)范形式按照式(8.2.11)和式(8.2.12)，特征系統(tǒng)D*有如下特性:(8.5.1)(8.5.2)8.5.2特征系統(tǒng)D＊的數(shù)學(xué)表示

特征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示的關(guān)鍵在于x(n)=x1(n)*x2(n)的Z變換是

X(z)=X1(z)·X2(z)

這一事實(shí)。亦即Z變換運(yùn)算Z[x(n)]可以看成是以卷積作為輸入運(yùn)算和以相乘作為輸出運(yùn)算的同態(tài)變換，可用圖8.8來(lái)表示。采用了Z變換之后，卷積性組合變成了乘性組合，接著便可用一個(gè)相乘同態(tài)系統(tǒng)來(lái)處理。這樣，若信號(hào)用其Z變換來(lái)表示，則圖8.7的規(guī)范形式就可用圖8.9表示，它實(shí)質(zhì)上是在復(fù)頻域(或頻域)上的相乘同態(tài)系統(tǒng)。既然在正常情況下函數(shù)是復(fù)的，故此處必須使用復(fù)對(duì)數(shù)。圖8.8把Z變換看做從卷積到相乘的同態(tài)變換圖8.9用Z變換表示信號(hào)同態(tài)濾波的規(guī)范形式當(dāng)信號(hào)仍用時(shí)域上的序列而不用其Z變換時(shí)，可在形式上用圖8.10表示其特征系統(tǒng)D*。值得指出的是，z和z－1不僅是卷積和相乘矢量空間之間的同態(tài)變換，它們也都是通常意義下的線性變換。圖8.10特征系統(tǒng)D*的表示從圖8.10的計(jì)算流程看，有進(jìn)一步做Z逆變換運(yùn)算，特征系統(tǒng)D*給出(8.5.3)

和分別為和的逆Z變換。由此看到，特征系統(tǒng)D*的作用是同態(tài)系統(tǒng)的輸入端實(shí)現(xiàn)時(shí)域上的由卷積至相加運(yùn)算的同態(tài)變換，以便和后面的線性系統(tǒng)匹配。8.5.3線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)L用來(lái)完成同態(tài)系統(tǒng)的濾波作用。理論上，任何遵從通常意義下的加法的疊加原理的系統(tǒng)都可用在圖8.7所示的規(guī)范系統(tǒng)中。線性系統(tǒng)的選擇要視信號(hào)的復(fù)時(shí)譜的特性及濾波處理要求而定。實(shí)際上，包含在信號(hào)的復(fù)時(shí)域內(nèi)的各個(gè)分量往往有顯著的差異——它們沿時(shí)間軸(n)的分布是不完全重疊的。這樣，就為線性系統(tǒng)提供了有效濾波的可能性。如果信號(hào)用其Z變換或傅氏變換表示，那么，正像圖8.9那樣，卷積同態(tài)系統(tǒng)將轉(zhuǎn)換為乘積同態(tài)系統(tǒng)。但是，這和圖8.4的區(qū)別僅僅在于它的線性系統(tǒng)不是在離散時(shí)域而是在連續(xù)域(或離散頻域)作周期性卷積運(yùn)算的，換句話說，僅僅是時(shí)域和頻域的作用進(jìn)行了交換。另一方面，在圖8.7所示的規(guī)范系統(tǒng)中，線性系統(tǒng)L用于完成復(fù)時(shí)譜x(n)在時(shí)域n上的加權(quán)。令l(n)表示其加權(quán)函數(shù)，那么，線性系統(tǒng)的輸出序列y(n)應(yīng)是^^(8.5.4)對(duì)上式兩邊取Z變換，用L(z)表示l(n)的Z變換，根據(jù)復(fù)卷積定理有(8.5.5)通常限定x(n)、x(n)、y(n)、y(n)是實(shí)的穩(wěn)定序列，實(shí)際情況也能滿足這一要求。因此，l(n)也應(yīng)是實(shí)序列，通常也應(yīng)是穩(wěn)定的，這意味著L(z)的收斂域包括單位圓，L(ejω)的實(shí)部和虛部分別是ω的偶函數(shù)和奇函數(shù)。

幾種典型的線性非頻變系統(tǒng)的l(n)曲線如圖8.11所示，它們分別具有“短通”、“長(zhǎng)通”和“缺口”型復(fù)時(shí)譜濾波特性。^^圖8.11三種典型的復(fù)時(shí)譜濾波器特性8.5.4逆特征系統(tǒng)D*

－1

逆特征系統(tǒng)完成特征系統(tǒng)D*的逆運(yùn)算，如圖8.12所示。根據(jù)定義，有圖8.12特征系統(tǒng)D*的表示由于認(rèn)定x(n)和x(n)是穩(wěn)定的，因此y(n)和y(n)也必然是穩(wěn)定的序列。這樣，Y(z)和Y(z)的收斂域必定包括單位圓，從而有^^^其中，c′為單位圓。另外有復(fù)指數(shù)不存在模糊性問題，若Y(z)在單位圓上為解析的，則exp[Y(z)]亦然。^^8.5.5舉例分析

考慮有一個(gè)復(fù)合信號(hào)序列x(n)，它包括兩個(gè)相加分量:主波s(n)和一個(gè)由于多徑反射產(chǎn)生的延時(shí)回波βs(n－n0)，β為衰減系數(shù)，是一實(shí)數(shù)，n0為延時(shí)。如圖8.13(a)所示，由于

s(n)=s(n)*σ(n)

βs(n－n0)=s(n)*βσ(n－n0)

于是

x(n)=s(n)+βs(n－n0)

=s(n)*[δ(n)+βδ(n－n0)]

或者

x(n)=s(n)*p(n)

(8.5.6)

p(n)=δ(n)+βδ(n－n0)

(8.5.7)表明復(fù)合信號(hào)x(n)是主波s(n)與沖激響應(yīng)p(n)的卷積。

設(shè)主波為一因果性、實(shí)的指數(shù)衰減序列:它的Z變換為對(duì)其取復(fù)對(duì)數(shù)，并按冪級(jí)數(shù)展開，有觀察z－n項(xiàng)系數(shù)，立即得到其逆變換s(n)的復(fù)時(shí)譜(見圖8.13(b))為

它仍然是一個(gè)因果性、實(shí)的衰減序列，其衰減速度為原序列的n倍。對(duì)于干擾回聲，其沖激響應(yīng)p(n)的Z變換及變換的復(fù)對(duì)數(shù)為同樣，可以寫出其復(fù)時(shí)譜為

它在n=kn0處呈現(xiàn)正、負(fù)相間的尖峰，見圖8.13(c)。圖8.13移去回聲干擾的解卷積同態(tài)濾波系統(tǒng)

8.6時(shí)譜技術(shù)

8.6.1復(fù)時(shí)譜的定義

序列x(n)的復(fù)時(shí)譜x(n)仍是一個(gè)在時(shí)域上的離散序列，它定義為x(n)的Z變換的復(fù)對(duì)數(shù)的逆變換，即^(8.6.1)在實(shí)際應(yīng)用中，輸入信號(hào)序列x(n)往往是實(shí)的，而且也希望它的復(fù)時(shí)譜是實(shí)的，此外，為了便于用FFT做復(fù)時(shí)譜運(yùn)算，必須限定積分回線c為單位圓。于是，這些限定歸納如下:

(1)x(n)和x(n)是實(shí)的、穩(wěn)定的；

(2)X(z)和ln[X(z)]在單位圓上收斂；

(3)ln[X(z)]必須在包括單位圓在內(nèi)的某個(gè)環(huán)形域內(nèi)是解析的,而x(n)正是對(duì)應(yīng)著ln[X(z)]在該域上的逆Z變換而唯一存在的。^^8.6.2功時(shí)譜和相時(shí)譜

時(shí)譜(Cepstrum)是在時(shí)譜技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)初期出現(xiàn)的術(shù)語(yǔ)，為了和復(fù)時(shí)譜區(qū)分，后人又稱其為功(率)時(shí)譜(PowerCepstrum)。一個(gè)序列的功時(shí)譜定義為該序列Z變換的幅度平方的對(duì)數(shù)的逆Z變換的平方，即

(8.6.2)由于ln|X(z)|為X(z)的實(shí)部，它的逆Z變換是x(n)的偶分量——xe(n)，亦即c(n)，即^^^于是，立刻得到功時(shí)譜和復(fù)時(shí)譜的關(guān)系:(8.6.3)功時(shí)譜分析技術(shù)比復(fù)時(shí)譜技術(shù)簡(jiǎn)單，因?yàn)樗恍栌?jì)算譜的相位，不存在多值性問題。它同樣可用于作多徑回聲檢測(cè)和延時(shí)估值，但是由于喪失了相位信息，所以不能用來(lái)恢復(fù)波形。

序列的相(位)時(shí)譜(PhazeCepstrum)可以形式地定義為序列的Z變換的相位(復(fù)對(duì)數(shù)的虛部)的二倍的逆Z變換的平方。由于復(fù)對(duì)數(shù)的虛部等于復(fù)對(duì)數(shù)減去復(fù)對(duì)數(shù)的實(shí)部，即

jIm{ln[X(z)]}=ln[X(z)]－ln|X(z)|

所以相時(shí)譜的定義式可以寫成(8.6.4)或(8.6.5)另一方面，由于jlmln[X(z)]是復(fù)時(shí)譜x(n)的虛部的Z變換，即^于是，立即可以寫出相時(shí)譜和復(fù)時(shí)譜的關(guān)系式(8.6.6)理論上，相時(shí)譜也可以用作回聲檢測(cè)和延時(shí)估值，但是實(shí)際上很少用，這是因?yàn)樗蛷?fù)時(shí)譜技術(shù)一樣，都需要考慮和解決相位伸展，而由于附加的噪音，線性相位項(xiàng)以及復(fù)譜的缺口等因素的影響，都會(huì)造成相位伸展的計(jì)算誤差。盡管如此，在估價(jià)噪音對(duì)信號(hào)相位的影響的問題上，采用相時(shí)譜技術(shù)是可取的。

8.7解卷積同態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用

8.7.1解混響

在式(8.5.6)中已經(jīng)看到，包含一個(gè)主波s(n)和一個(gè)延時(shí)回聲波βs(n－n0)的混響波可以寫成卷積的形式:

x(n)=s(n)*p(n)

(8.7.1)

其中

p(n)=δ(n)+βδ(n－n0)

(8.7.2)

是混響環(huán)境的沖激響應(yīng)，其復(fù)對(duì)數(shù)譜為

所對(duì)應(yīng)的復(fù)時(shí)譜分量為(8.7.3)在更為一般的情況下，混響波包含多個(gè)多徑回聲分量，這時(shí)，p(n)可以寫成(8.7.4)相應(yīng)的復(fù)對(duì)數(shù)譜是如果這些回聲分量是等間隔的，即nk=kn0，那么，復(fù)時(shí)譜的形狀就和單個(gè)回聲的情況相似。然而，對(duì)于非等間隔的回聲，x(n)所包含的尖峰發(fā)生的時(shí)刻是原始延時(shí)的復(fù)雜函數(shù)。但是在p(n)為最小相位的特殊情況下，p(n)=0，n<0。進(jìn)一步有p(n)=0，n<n1，n1是最近的延時(shí)。^^^復(fù)時(shí)譜出現(xiàn)尖峰的時(shí)刻(n>n1)時(shí)(8.7.5)圖8.14(a)記錄了連續(xù)四段410ms的語(yǔ)音，圖(b)是圖(a)的主波和一個(gè)50ms延時(shí)的回聲合成的混響波，經(jīng)過特征系統(tǒng)的運(yùn)算求得圖(b)的復(fù)時(shí)譜如圖(c)所示。顯見，主波的復(fù)時(shí)譜分量集中在n＝0附近區(qū)域，而在n=50ms，100ms，150ms，…處出現(xiàn)的尖峰對(duì)應(yīng)著混響波中沖激響應(yīng)的復(fù)時(shí)譜分量。這樣，用類似圖(d)的梳狀缺口濾波器移去這些尖峰，再通過逆特征系統(tǒng)運(yùn)算，得到的輸出波形如圖(e)所示。對(duì)比圖(e)和圖(a)，看到回聲的混響被解除，原始的語(yǔ)音——主波波形得到恢復(fù)。圖8.14用同態(tài)濾波移取回聲干擾式(8.5.6)和式(8.7.4)也適用于描述地震信號(hào)模型。發(fā)生地震時(shí)，能量脈沖沿地球傳播，在地殼的地層間的邊界處發(fā)生反射，p(n)是一系統(tǒng)不規(guī)則的沖激脈沖，它包含了地殼結(jié)構(gòu)的信息，而地震主波s(n)取決于激勵(lì)擾動(dòng)和在傳播中發(fā)生色散的性質(zhì)。由于主波和一系列回聲在時(shí)間上的重疊掩飾了p(n)的結(jié)構(gòu)，故需要分離這兩個(gè)分量。用圖8.15所示的同態(tài)解卷積的綜合范例便能完成這一任務(wù)。信號(hào)p(n)、s(n)和x(n)分別示于圖(a)、圖(b)、圖(c)；復(fù)時(shí)譜x(n)示于圖(d)。這里采用了指數(shù)加權(quán)，α=0.985，圖(e)和圖(f)表示經(jīng)過復(fù)時(shí)譜濾波分別保留了x(n)的長(zhǎng)時(shí)和短時(shí)部分后恢復(fù)的p(n)和s(n)的波形，即對(duì)p(n)和s(n)的估計(jì)波形，從p(n)可以了解地殼的結(jié)構(gòu)，從s(n)可以估計(jì)沿傳播途徑的衰減和色散特性。^^圖8.15地震信號(hào)的同態(tài)解卷積圖8.16表明某次地震波的真實(shí)記錄以及同態(tài)解卷積后估計(jì)地震主波的結(jié)果。圖8.16地震信號(hào)同態(tài)解卷積實(shí)例8.7.2語(yǔ)音參量估值

氣流激勵(lì)聲道產(chǎn)生語(yǔ)音。聲道的一端是喉門，另一端是唇。在它們保持固定構(gòu)形的期間，聲道可被塑型為一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)，它的輸出是聲道的沖激響應(yīng)與激勵(lì)波形的卷積。

語(yǔ)音由三種基本方法產(chǎn)生:

(1)由聲帶的振動(dòng)發(fā)生準(zhǔn)周期性氣流脈沖激勵(lì)聲道產(chǎn)生濁音；

(2)聲道某一部分緊閉，留有窄小間隙，強(qiáng)迫空氣流過狹口以產(chǎn)生紊流，因此產(chǎn)生噪音狀激勵(lì)的摩擦音；

(3)先是完全緊閉聲道的某一部分，鼓足氣壓，然后猛

然釋放氣流——送氣，由此產(chǎn)生爆破音。這三種聲源就像是一個(gè)寬帶激勵(lì)源作用在聲道上，

聲道可以看做是一個(gè)緩慢時(shí)變的濾波器，結(jié)果是將其頻率響應(yīng)和激勵(lì)相乘。聲道的特征是自然頻率，即聲道頻率響應(yīng)的共振點(diǎn)。

如果認(rèn)為激勵(lì)源和聲道的形狀相對(duì)無(wú)關(guān)，則圖8.17是一個(gè)合理的模型。在此時(shí)域離散模型中認(rèn)為語(yǔ)音波形的采樣是一個(gè)近似有聲道傳輸特性的時(shí)變數(shù)字濾波器的輸出。由于在連續(xù)語(yǔ)音中，聲道形狀的變化相當(dāng)慢，可以合理地認(rèn)為在10ms量級(jí)的時(shí)間內(nèi)。該數(shù)字濾波器的特性固定，這樣數(shù)字濾波器可以用一個(gè)IIR濾波器的沖激響應(yīng)或頻率響應(yīng)或一組系數(shù)表示。圖8.17語(yǔ)音形成的模型對(duì)于濁音(鼻音除外)，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)包含一個(gè)聲道分量，其傳輸函數(shù)是(8.7.6)其中，ck對(duì)應(yīng)于聲道的自然頻率，還包括另一個(gè)考慮到聲門脈沖為有限長(zhǎng)而不是沖激脈沖的分量，其傳輸函數(shù)為(8.7.7)于是，在圖8.17中，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是Hv(z)=G(z)V(z)

(8.7.8)該濾波器受到一串沖激脈沖的激勵(lì)，沖激脈沖的間隔相當(dāng)于濁音的基本周期——音調(diào)周期。

對(duì)于清音，聲波傳播理論指出，聲道傳輸既有極點(diǎn)也有零點(diǎn)，這時(shí)的合理模型是(8.7.9)如果認(rèn)為在一段時(shí)間區(qū)間內(nèi)上述模型合適，那么同態(tài)解卷積可用來(lái)估值語(yǔ)音模型的參量。這時(shí)，一短段語(yǔ)音可以看成是一個(gè)卷積:s(n)=p(n)*g(n)*v(n)，0≤n<L－1為了減少區(qū)間始端和末端數(shù)據(jù)“突變”的影響，采用一個(gè)加權(quán)窗孔w(n)，于是同態(tài)系統(tǒng)的輸入是

x(n)=s(n)ω(n)

通常ω(n)要比g(n)*v(n)變化慢，近似有

x(n)≈pω(n)*[g(n)*v(n)]

(8.7.10)

其中

pω(n)=w(n)p(n)

(8.7.11)

下面來(lái)檢查對(duì)應(yīng)著每一個(gè)分量的復(fù)時(shí)譜分量。p(n)為一串均勻間隔n0的單位沖擊脈沖:(8.7.12)因此

(8.7.13)定義一個(gè)序列

:(8.7.14)則pω(n)的Z變換是(8.7.15)

是的Z變換。于是，pω(n)的復(fù)時(shí)譜是(8.7.16)v(n)是最小相位序列，其復(fù)時(shí)譜v(n)等于

^(8.7.17)取ck=|ck|ejφk，則有(8.7.18)至于聲門脈沖g(n)，它是有限長(zhǎng)序列，一般是非最小相位型，因此可以表示為一個(gè)因果最小相位序列和一個(gè)逆因果最小相位超前序列的卷積，即于是，g(n)對(duì)復(fù)時(shí)譜x(n)的貢獻(xiàn)分量是從前面的討論中可以預(yù)料，g(n)將會(huì)集中在n=0附近區(qū)域。通常，復(fù)時(shí)譜分量v(n)和g(n)集中在n=0附近，衰減得相當(dāng)快。當(dāng)n0足夠大時(shí)(在采樣頻率為10kHz時(shí)，通常40<n

0<150)，聲道和聲門分量的復(fù)對(duì)數(shù)頻譜變化緩慢，而音調(diào)分量的復(fù)對(duì)數(shù)頻譜變化迅速。這可以用圖8.18說明。^圖8.18海明加權(quán)的語(yǔ)音波形及其復(fù)時(shí)譜若要分離語(yǔ)音波形的各個(gè)分量，應(yīng)對(duì)復(fù)時(shí)譜作短通濾波以獲得v(n)*g(n)，作長(zhǎng)通濾波以獲得pω(n)分量。圖8.19所示為一實(shí)例。其中圖(a)表明了一段元音波形，在用海明窗加權(quán)后算得如圖(b)所示的復(fù)時(shí)譜，復(fù)時(shí)譜為一長(zhǎng)通濾波器所加權(quán)濾波，即與復(fù)時(shí)譜相乘的加權(quán)函數(shù)為

然后經(jīng)過逆特征系統(tǒng)處理，得到如圖(c)所示的結(jié)果輸出。它是對(duì)音調(diào)p(n)的估值。另一方面，為了恢復(fù)v(n)*g(n)，復(fù)時(shí)譜乘以相反的加權(quán)函數(shù)l(n):這時(shí)逆特征函數(shù)系D*

－1的輸出如圖(d)所示，它是v(n)*g(n)分量的估值。進(jìn)一步把圖(b)恢復(fù)成一串等幅沖激脈沖，它作為音調(diào)脈沖與圖(d)的波形作卷積運(yùn)算，綜合成圖(e)所示的語(yǔ)音波形。圖(e)和圖(a)相對(duì)照，二者應(yīng)當(dāng)趨于一致，事實(shí)上也正是如此。圖8.19語(yǔ)音波形分量的分離圖例在語(yǔ)音分析的某些場(chǎng)合下，人們關(guān)心的只是估值語(yǔ)音參量而不是恢復(fù)其中某一分量的波形。舉例來(lái)說，有時(shí)只需判別具體的語(yǔ)音段是濁音還是清音，若是濁音，就估值音調(diào)周期或譜的包絡(luò):

ln|V(ejω)G(ejω)|

若是清音，就估值頻譜

ln|Hu(ejω)|

在這些情況下，由于不需要恢復(fù)波形，可以利用功時(shí)譜的概念代替復(fù)時(shí)譜。因?yàn)閺?fù)時(shí)譜偶分量是

而功率譜和復(fù)時(shí)譜的關(guān)系由式(8.6.6)給出:

于是，處理x