北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練 專(zhuān)題6.7 反比例函數(shù)與面積問(wèn)題（知識(shí)講解）

專(zhuān)題6.7反比例函數(shù)與面積問(wèn)題（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)反比例函數(shù)圖象求出其面積，或據(jù)面積求出解析式；．2.掌握并運(yùn)用K值的幾何意義解決問(wèn)題；．3.充分利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題?！疽c(diǎn)梳理】反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過(guò)雙曲線(xiàn)()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線(xiàn)，所得矩形的面積為.過(guò)雙曲線(xiàn)()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.特別說(shuō)明：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類(lèi)型一、已知比例系數(shù)求特殊四邊形面積1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)B在函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象上，邊AB與函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)D．求四邊形ODBC的面積．【答案】3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：△AOD的面積為1，矩形ABCO的面積為4，從而可以求出陰影部分ODBC的面積．解：∵點(diǎn)D是函數(shù)y2＝（x＞0）圖象上的一點(diǎn)，∴△AOD的面積為，∵點(diǎn)B在函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象上，四邊形ABCO為矩形，∴矩形ABCO的面積為4，∴陰影部分ODBC的面積＝矩形ABCO的面積-△AOD的面積＝4-1＝3，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是正確理解的幾何意義．舉一反三：【變式1】如圖，正比例函數(shù)y＝kx(k>0)與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A，C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B，連接BC，則的面積等于多少？【答案】4【分析】由于點(diǎn)A、C位于反比例函數(shù)圖象上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則S△OBA=S△OBC，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義作答即可．解：因?yàn)檫^(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線(xiàn)段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，即S=|k|．所以△ABC的面積等于2×|k|=|k|=4．【點(diǎn)撥】主要考查了反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線(xiàn)，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類(lèi)題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線(xiàn)段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=|k|．【變式2】已知，反比例函數(shù)和的部分圖象如圖所示，點(diǎn)P在上，PC垂直x軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A（2，1），PD垂直y軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，連接OA，OB．（1）求B點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求四邊形AOBP的面積．【答案】（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；（3）4【分析】（1）由題意可知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A（2，1）相同，縱坐標(biāo)與B相同，分別代入反比例解析式，得到點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由題意，利用矩形的面積減去兩個(gè)三角形的面積，即可得到答案．解：（1）由題意知，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A（2，1）相同，縱坐標(biāo)與B相同，∵P點(diǎn)在上，把代入得，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3．又∵B點(diǎn)在上，把代入得，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）．（2）如圖，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，用S表示圖形的面積，由題意得：，，，=4．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及利用間接法求四邊形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．類(lèi)型二、已知面積求比例系數(shù)或解析式2．如圖所示，已知雙曲線(xiàn)，經(jīng)過(guò)Rt△OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB交于點(diǎn)C，DE⊥OA，，求反比例函數(shù)的解析式．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，利用三角形中位線(xiàn)定理可得，，然后證明△BDM≌△DOE，從而得到，，最后設(shè)D()，則B()，利用反比例函數(shù)的幾何意義可得，從而得到，即可求解．解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∵AB⊥OA，∴DM∥OA，∴∠BDM＝∠BOA，，∵D是斜邊OB的中點(diǎn)，DE⊥OA，∴OD=DB，，在△BDM和△EOD中∴△BDM≌△DOE(AAS)，∴，．設(shè)D()，則B()．∵，∴．即，解得：．∴反比例函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何意義，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義，三角形的中位線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，S△AOB＝8，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y＝，求k的值．【答案】k＝﹣4．【分析】記AB與y軸的交點(diǎn)為C，先據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求得S△AOC的面積，由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，即可求出2k的絕對(duì)值，再根據(jù)反比例函數(shù)在第二象限有圖象即可確定2k符號(hào)．求得2k的值，再除以2可得k值．解：如下圖，記AB與y軸的交點(diǎn)為C，∵點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴AB垂直于y軸，且AC＝BC，∴S△AOC＝S△AOB＝，∵S△AOC＝|2k|，∴|2k|＝4，∴∵在第二象限，∴2k＝﹣8∴k＝﹣4．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，求得S△AOC=4和利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求出k值是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，直線(xiàn)x=t(t>0)與雙曲線(xiàn)y=(k1>0)交于點(diǎn)A，與雙曲線(xiàn)y=(k2<0)交于點(diǎn)B，連接OA，OB．(1)當(dāng)k1、k2分別為某一確定值時(shí)，隨t值的增大，△AOB的面積_______(填增大、不變、或減小)(2)當(dāng)k1+k2=0，S△AOB=8時(shí)，求k1、k2的值.【答案】（1）不變；（2）k1＝8，k2＝﹣8．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出答案；（2）由題意可知S△AOB＝k1﹣k2，然后與k1+k2＝0構(gòu)成方程組，解之即可．解：（1）不變.∵S△AOC＝|k1|，S△BOC＝|k2|，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝（|k1|+|k2|），∵k1，k2分別為某一確定值，∴△AOB的面積不變.故答案為：不變；（2）由題意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝k1﹣k2＝8，∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．【點(diǎn)撥】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，屬于?？碱}型，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、反比例函數(shù)和面積問(wèn)題常考題3．如圖，點(diǎn)A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點(diǎn)E．（1）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出y1、y2的大小關(guān)系，并通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證；（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCED的面積為2，②BE＝2AE這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為補(bǔ)充條件，求k的值．你選擇的條件是（只填序號(hào)）．【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析，①（也可以選擇②）【分析】（1）觀察函數(shù)的圖象即可作出判斷，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入后作差比較即可；（2）若選擇條件①，由面積的值及OC的長(zhǎng)度，可得OD的長(zhǎng)度，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，把此點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，即可求得k；若選擇條件②，由DB=6及OC=2，可得BE的長(zhǎng)度，從而可得AE長(zhǎng)度，此長(zhǎng)度即為A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，（1）所求得的差即可求得k．解：（1）由于圖象從左往右是上升的，即自變量增大，函數(shù)值也隨之增大，故；當(dāng)x=-6時(shí)，；當(dāng)x=-2時(shí)，∵，k＜0∴即（2）選擇條件①∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD∴四邊形OCED是矩形∴OD?OC=2∵OC=2∴OD=1即∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-6,1)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝中，得k=-6若選擇條件②，即BE=2AE∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD∴四邊形OCED是矩形∴DE=OC，CE=OD∵OC=2，DB=6∴BE=DB-DE=DB-OC=4∴∵AE=AC-CE=AC-OD=即由（1）知：∴k=-6【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、大小比較，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)A在第四象限y1＝﹣的圖象上，點(diǎn)B在第一象限y2＝的圖象上，AB交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)D在y軸上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)P在x軸上，S△BPE＝3，求直線(xiàn)BP的解析式．【答案】（1）B（，2）；（2）直線(xiàn)BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得k＝3，得出，由題意可知B的橫坐標(biāo)為，代入即可求得B的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（a，0），根據(jù)三角形面積求得P的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)BP的解析式．解：（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，點(diǎn)B在第一象限y2＝的圖象上，∵點(diǎn)A在第四象限y1＝﹣的圖象上，∴S矩形ODEA＝2∴S矩形OCBE＝×2＝3，∴k＝3，∴y2＝，∵OE＝AD＝，∴B的橫坐標(biāo)為，代入y2＝得，y＝＝2，∴B（，2）；（2）設(shè)P（a，0），∵S△BPE＝PE?BE＝，解得a＝﹣或，∴點(diǎn)P（﹣，0）或（，0），設(shè)直線(xiàn)BP的解析式為y＝mx+n（m≠0），①若直線(xiàn)過(guò)（，2），（﹣，0），則，解得，∴直線(xiàn)BP的解析式為y＝x+1；②若直線(xiàn)過(guò)（，2），（，0），則，解得，∴直線(xiàn)BP的解析式為y＝﹣x+3；綜上，直線(xiàn)BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式2】反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于點(diǎn)A（1，2k－1）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)B，且△AOB的面積為3，求一次函數(shù)的解析式．【答案】（1）y=；（2）y=－或y=.【分析】首先根據(jù)反函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A列出一元一次方程求出k的值；根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和三角形的面積得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法分別求出一次函數(shù)解析式.解：（1）由已知可