新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線與方程3.4曲線與方程學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊(cè)

3.4曲線與方程最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)了解曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(2)理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念．(3)掌握求軌跡方程的方法．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一曲線的方程與方程的曲線一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解?；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)?.此時(shí)，這個(gè)方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線．要點(diǎn)二坐標(biāo)法確定曲線的方程后，通過研究方程的性質(zhì)從而得到曲線的幾何性質(zhì)．我們稱這種研究幾何的方法為坐標(biāo)法．基于坐標(biāo)法，我們將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，這也是解析幾何的核心思想．批注?闡明了曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無例外(純粹性、不雜)；批注?闡明了符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏(完備性、不漏).基礎(chǔ)自測(cè)1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程f(x，y)＝0的解，則點(diǎn)P在方程f(x，y)＝0的曲線上．()(2)單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程x2＋y2＝1的解．()(3)方程y＝1x與方程y＝1x(x>0)是同一條曲線的方程．(2．方程y＝9-x2表示的曲線是A．一條直線B．圓C．半圓D．不表示任何圖形3．已知直線l：x＋y－3＝0及曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，則點(diǎn)M(2，1)()A．在直線l上，但不在曲線C上B．在直線l上，也在曲線C上C．不在直線l上，也不在曲線C上D．不在直線l上，但在曲線C上4．到兩坐標(biāo)軸距離之和為4的點(diǎn)M的軌跡方程為()A.x＋y＝4B．x－y＝4C．|x＋y|＝4D．|x|＋|y|＝45．點(diǎn)M到點(diǎn)F(0，－2)的距離比它到直線l：y－3＝0的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程是________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1曲線與方程的概念例1命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是()A．方程f(x，y)＝0的曲線是CB．方程f(x，y)＝0的曲線不一定是CC．f(x，y)＝0是曲線C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上方法歸納1．解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是否是曲線的方程或判定曲線是否是方程的曲線)，只要一一檢驗(yàn)定義中的兩個(gè)條件是否都滿足，并作出相應(yīng)的回答即可．2．判斷點(diǎn)是否在曲線上，就是判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合曲線的方程．鞏固訓(xùn)練1已知坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么()A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程f(x，y)＝0B．凡坐標(biāo)不適合f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上C．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合f(x，y)＝0D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0題型2用直接法求曲線方程例2已知定點(diǎn)F(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上，且PM·PF＝0，延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，使得|PM|＝|PN|，求點(diǎn)N的軌跡方程．方法歸納用直接法求軌跡方程的一般步驟鞏固訓(xùn)練2已知點(diǎn)C(4，0)，A(－4，0)，若直線PA，PC相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為14，求動(dòng)點(diǎn)P題型3代入法求軌跡方程例3已知三角形ABC的頂點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，若頂點(diǎn)C在拋物線y2＝6x上移動(dòng)，求三角形ABC的重心的軌跡方程．方法歸納用代入法求軌跡方程的一般步驟鞏固訓(xùn)練3已知DP⊥x軸，垂足為D，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且DPDM＝12，當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)3．3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)．答案：A3．解析：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線方程有兩個(gè)：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.答案：D4．解析：因點(diǎn)(2，4)在拋物線y2＝8x上，所以過該點(diǎn)與拋物線相切的直線和過該點(diǎn)與x軸平行的直線都與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．答案：B5．解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.答案：6題型探究·課堂解透例1解析：方法一由拋物線開口方向向下，可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點(diǎn)為F(0，－p2)因?yàn)镸(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，所以m2=6p所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±26，準(zhǔn)線方程為y＝2.方法二設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則焦點(diǎn)為F(0，－p2)，準(zhǔn)線l：y＝p2，如圖所示，作MN⊥l，垂足為N，則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，所以3＋p2＝5又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以m2＝24，所以m＝±26.所以拋物線方程為x2＝－8y，m＝±26，準(zhǔn)線方程為y＝2.鞏固訓(xùn)練1解析：設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又A(±32，12)(取點(diǎn)A在則有14＝±32a，解得a＝±所以拋物線方程為y2＝±36x答案：C例2解析：由y=kx+1，y2=4x，得k2x2＋(2k－4)x＋當(dāng)k＝0時(shí)，方程變?yōu)椋?x＋1＝0，x＝14，此時(shí)y＝∴直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)(14，1)，此時(shí)直線l平行于x當(dāng)k≠0時(shí)，方程(*)是一個(gè)一元二次方程，其中Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，①當(dāng)Δ＞0，即k＜1，且k≠0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)l與C相交；②當(dāng)Δ＝0時(shí)，即k＝1時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相切；③當(dāng)Δ＜0，即k＞1時(shí)，l與C沒有公共點(diǎn)，此時(shí)直線l與C相離．綜上所述：(1)當(dāng)k＝1或k＝0時(shí)，直線l與C有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)k＜1，且k≠0時(shí)，直線l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)k＞1時(shí)，直線l與C沒有公共點(diǎn)．鞏固訓(xùn)練2解析：經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)M(3，2)在拋物線開口內(nèi)部，結(jié)合函數(shù)圖象，可知過點(diǎn)M(3，2)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線只有一條，即過M平行與x軸的直線，即y＝2.答案：B例3解析：(1)拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－p2由|PF|＝2得：1＋p2＝2，得p＝所以拋物線的方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y=kx-1，y2=4x?k2x2－(2k2＋4)Δ＝16k2＋16＞0.∴x1＋x2＝2k∵直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2k2+4k2解得：k＝±1，所以k的值為1或－1.鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由題設(shè)，F(xiàn)(1，0)，則直線l為y＝x－1，聯(lián)立拋物線得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，則|yA－yB|2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，∴|AB|＝1+1k2·|yA－yB(2)∵拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(12，0)所以p＝1，拋物線方程為y2＝2x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義得，|AB|＝x1＋x2＋p，所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，所以弦AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d＝x1+x答案：(1)B(2)A3．4曲線與方程新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：方程兩邊平方得方程x2＋y2＝9(y≥0)．答案：C3．解析：將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線l、曲線C的方程知點(diǎn)M在直線l上，也在曲線C上．答案：B4．解析：點(diǎn)M(x，y)到兩坐標(biāo)軸的距離分別為|x|和|y|，|x|＋|y|＝4.答案：D5．解析：設(shè)M(x，y)，∵點(diǎn)M到點(diǎn)F(0，－2)的距離比它到直線l：y－3＝0的距離小1，∴x-02+y+22＝|根據(jù)平面幾何知識(shí)得：y＜3，原方程化為x-02+y+2兩邊平方，得x2＋(y＋2)2＝(2－y)2，整理得x2＝－8y，即點(diǎn)M的軌跡方程是x2＝－8y.答案：x2＝－8y題型探究·課堂解透例1解析：根據(jù)方程的曲線和曲線的方程的定義知A、C、D錯(cuò)，如曲線y＝1-x2表示的半圓的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x2＋y2答案：B鞏固訓(xùn)練1解析：根據(jù)曲線的方程的定義知選C.答案：C例2解析：由|PM|＝|PN|，則P為MN的中點(diǎn)，設(shè)N(x，y)，則M(－x，0)，P(0，y2)由PM·PF＝0，得(－x，－y2)·(1，－y2)＝所以(－x)·1＋(－y2)·(－y2)＝0，則y2＝4即點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x.鞏固訓(xùn)練2解析：設(shè)P(x，y)，由題意得，yx+4×yx-4＝化簡(jiǎn)得，P的軌跡方程為x216-y24＝1(x≠±4)，所以P的軌跡是除去(－4，例3解析：設(shè)△ABC的重心G(x，y)，點(diǎn)C(x′，y′)，則有x=-3+3+x因?yàn)辄c(diǎn)C在曲線上y2＝6x上，所以有(3y)2＝6×3x，即y2＝2x，因?yàn)槿切蔚娜?/p>