1.1集合的概念與表示 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第1章集合1.1集合的概念與表示第1課時(shí)集合的概念課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過(guò)實(shí)例理解集合的含義.(數(shù)學(xué)抽象)2.明確集合中元素的三個(gè)特性.(邏輯推理)3.體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系,記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并會(huì)應(yīng)用.(邏輯推理)情境導(dǎo)入軍訓(xùn)的時(shí)候,隨著教官一聲口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同學(xué)都從四面八方聚集到教官的身邊來(lái),不是高一(1)班的同學(xué)就會(huì)自動(dòng)走開(kāi),這樣就把“一些確定的不同的對(duì)象”聚集在一起了.這就是我們將要學(xué)習(xí)的集合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)撥一、集合的概念一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素,簡(jiǎn)稱元.名師點(diǎn)析

集合的三個(gè)特性(1)描述性:“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念,它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”等概念一樣,都只是描述性的說(shuō)明.(2)整體性:集合是一個(gè)整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對(duì)象一旦組成了集合,這個(gè)集合就是這些對(duì)象的總體.(3)廣泛性:組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程,也可以是人或物等.微思考

(1)某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合?(2)某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個(gè)集合?提示

(1)某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合,因?yàn)椤皫浉纭睕](méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn).(2)某班身高高于175厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)集合,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定.二、集合中元素的特性1.確定性:設(shè)A是一個(gè)給定的集合,x是某一個(gè)具體對(duì)象,則x或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立.2.互異性:一個(gè)給定集合中的元素,指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象),因此,同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.3.無(wú)序性:集合中的元素的次序無(wú)先后之分.如由1,2,3組成的集合,也可以寫成由1,3,2組成的一個(gè)集合,它們都表示同一個(gè)集合.名師點(diǎn)析

1.集合中的元素必須滿足“確定性”“互異性”“無(wú)序性”,因此在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)從這三個(gè)方面入手,逐一考慮,不可忽略任何一個(gè)方面.2.解決與集合有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要充分利用集合中元素的“三性”.一方面,我們要利用集合中元素的“三性”找到解題的“突破口”;另一方面,解決問(wèn)題的同時(shí),應(yīng)注意檢驗(yàn)元素是否滿足集合中元素的“三性”.微思考

集合中的元素不能相同,這就是元素的互異性,如何理解這一性質(zhì)?提示

一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的,也就是說(shuō),集合中的元素是不能重復(fù)出現(xiàn)的.微練習(xí)

由“l(fā)ook”中的字母組成的集合中元素個(gè)數(shù)為(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

C解析

集合中任何兩個(gè)元素都不相同,所以集合中的元素有3個(gè),分別是l,o,k.故選C.三、元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合Aa∈Aa屬于A不屬于如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于集合Aa?A或a?Aa不屬于A要點(diǎn)筆記1.符號(hào)“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系,對(duì)于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言,只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果.2.∈和?具有方向性,左邊是元素,右邊是集合.微練習(xí)

1已知集合M中有兩個(gè)元素3和a+1,且4∈M,則實(shí)數(shù)a=

.

答案

3解析

由題意可知a+1=4,即a=3.微練習(xí)

2集合A中含有三個(gè)元素0,1,x,且x2∈A,則實(shí)數(shù)x的值為

.

答案

-1解析

當(dāng)x=0,1,-1時(shí),都有x2∈A,但考慮到集合中元素的互異性,x≠0,x≠1,故x=-1.四、常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N+ZQR微思考

N,N*(N+)的區(qū)別是什么?提示

集合N中包括0,集合N*(N+)中不包括0.探究一集合的基本概念例1考察下列每組對(duì)象,能構(gòu)成集合的是(

)①中國(guó)各地最美的鄉(xiāng)村;②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn);③不小于3的自然數(shù);④第31屆奧運(yùn)會(huì)金牌獲得者.A.③④ B.②③④C.②③ D.②④答案

B解析

①中“最美”標(biāo)準(zhǔn)不明確,不符合確定性,②③④中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確,均可構(gòu)成集合,故選B.反思感悟判斷一組對(duì)象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)判斷一組對(duì)象能否組成集合,關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿足確定性,如果此組對(duì)象滿足確定性,就可以組成集合;否則,不能組成集合.同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無(wú)序性.變式訓(xùn)練1判斷下列說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由.(1)大于3小于5的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合;(2)平面直角坐標(biāo)系中第一象限的一些點(diǎn)組成一個(gè)集合;(3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解組成的集合有3個(gè)元素.解

(1)正確,(1)中的元素是確定的,可以構(gòu)成一個(gè)集合.(2)不正確,“一些點(diǎn)”標(biāo)準(zhǔn)不明確,不能構(gòu)成一個(gè)集合.(3)不正確,方程的解只有1和-2,集合中有2個(gè)元素.探究二元素與集合的關(guān)系例2(1)下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是(

)①π∈R;②

?Q;③-1∈N*;④|-5|?N*.A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6,且當(dāng)a∈A時(shí),有6-a∈A,那么a為(

)A.2 B.2或4C.4 D.6答案

(1)B

(2)B解析

(1)①π是實(shí)數(shù),所以π∈R正確;③-1不是正整數(shù),所以-1∈N*錯(cuò)誤;④|-5|=5為正整數(shù),所以|-5|?N*錯(cuò)誤.故選B.(2)a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2符合題意;a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4符合題意;a=6∈A,6-a=0?A,所以a=6不符合題意.綜上所述,a=2或4.故選B.反思感悟判斷元素與集合間關(guān)系的方法判斷一個(gè)對(duì)象是否為某個(gè)集合的元素,就是判斷這個(gè)對(duì)象是否具有這個(gè)集合的元素的共同特征.如果一個(gè)對(duì)象是某個(gè)集合的元素,那么這個(gè)對(duì)象必定具有這個(gè)集合的元素的共同特征.探究三集合中元素的特性及應(yīng)用例3已知集合A含有兩個(gè)元素1和a2,若a∈A,求實(shí)數(shù)a的值.解

由題意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,則a2=1,這與a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,則a=0或a=1(舍去),又當(dāng)a=0時(shí),A中含有元素1和0,滿足集合中元素的互異性,符合題意.綜上可知,實(shí)數(shù)a的值為0.延伸探究若本例去掉條件“a∈A”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a組成的集合.解

由集合中元素的互異性可知a2≠1,即a≠±1.故實(shí)數(shù)a組成的集合為{a|a≠±1,a∈R}.反思感悟解含參元素與集合之間關(guān)系問(wèn)題的求解策略(1)常用到分類討論的思想,在進(jìn)行分類討論時(shí),務(wù)必明確分類標(biāo)準(zhǔn).(2)本例題在解方程求得a的值后,常因忘記驗(yàn)證集合中元素的互異性,而造成過(guò)程性失分.變式訓(xùn)練3已知集合A含有三個(gè)元素1,a,a-1,若-2∈A,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.-2 B.-1C.-1或-2 D.-2或-3答案

C解析

因?yàn)榧螦含有三個(gè)元素1,a,a-1,且-2∈A,所以a=-2或a-1=-2.當(dāng)a=-2時(shí),A中元素為1,-2,-3,符合題意;當(dāng)a-1=-2時(shí),a=-1,A中元素為1,-1,-2,也符合題意.故實(shí)數(shù)a的值為-1或-2.故選C.素養(yǎng)形成分類討論思想在集合中的應(yīng)用求解集合中參數(shù)的值常與方程知識(shí)相聯(lián)系,結(jié)合集合中元素的特性(確定性、無(wú)序性、互異性),通過(guò)解方程(組),求出集合中參數(shù)的值.對(duì)于“方程ax2+bx+c=0”要分兩種情況加以討論:①當(dāng)a=0,b≠0時(shí),該方程是一元一次方程.②當(dāng)a≠0時(shí),該方程是一元二次方程,也只有在這種情況下才能用判別式Δ來(lái)確定方程實(shí)數(shù)根的情況.典例已知集合A是由方程ax2-3x-4=0(a∈R)的實(shí)數(shù)根組成的.(1)當(dāng)A中有且只有一個(gè)元素時(shí),求a的值,并求此元素;(2)當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí),求a滿足的條件;(3)當(dāng)A中至少有一個(gè)元素時(shí),求a滿足的條件.解

(1)當(dāng)A中有且只有一個(gè)元素時(shí),要分方程ax2-3x-4=0是一元一次方程還是一元二次方程來(lái)解決,若方程是一元一次方程,則有且只有一個(gè)根;若方程是一元二次方程,則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(2)集合A中有兩個(gè)元素,即方程ax2-3x-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.點(diǎn)評(píng)判斷形如ax2+bx+c=0的方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的方法:(1)當(dāng)a=0時(shí),原方程可化為bx+c=0的形式,再根據(jù)b的取值討論方程根的個(gè)數(shù):②若b=0,c=0,則任意一個(gè)實(shí)數(shù)均為方程的實(shí)數(shù)根;③若b=0,c≠0,則方程無(wú)實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)a≠0時(shí),需根據(jù)Δ的值與0的大小關(guān)系來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù):①若Δ=b2-4ac>0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;②若Δ=b2-4ac=0,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③若Δ=b2-4ac<0,則方程無(wú)實(shí)數(shù)根.當(dāng)堂檢測(cè)1.下列結(jié)論不正確的是(

)A.0∈N B.

?QC.0?Q D.-1∈Z答案

C解析

0是有理數(shù),所以0∈Q,故C不正確.2.已知集合A由小于1的數(shù)組成,則有(

)A.3∈A B.1∈AC.0∈A D.-1?A答案

C解析

∵0<1,∴0是集合A中的元素,故0∈A.3.(2020陜西黃陵中學(xué)高新部高一期中)下列給出的對(duì)象能組成集合的是(

)A.一切很大的數(shù)B.方程x2-1=0的實(shí)數(shù)根C.漂亮的小女孩D.好心人答案

B解析

對(duì)于A,很大的數(shù)沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn),即元素不確定,不能構(gòu)成集合,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,方程x2-1=0的實(shí)數(shù)根為±1,能構(gòu)成集合,故B正確;對(duì)于C,漂亮沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn),即元素不確定,不能構(gòu)成集合,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,好心人沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn),即元素不確定,不能構(gòu)成集合,故D錯(cuò)誤.故選B.4.方程x2-4x+4=0的解組成的集合中有

個(gè)元素.

答案

1解析

易知方程x2-4x+4=0的解為x1=x2=2,由集合元素的互異性知,方程的解組成的集合中只有1個(gè)元素.5.已知集合A含有兩個(gè)元素a-3和2a-1,若-3∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.解

∵-3∈A,∴a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,則a=0,此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素-3,-1,符合題意;若2a-1=-3,則a=-1,此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素-4,-3,符合題意.綜上所述,a=0或a=-1.高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第1章集合1.1集合的概念與表示第2課時(shí)集合的表示課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法.(數(shù)學(xué)抽象)2.能夠運(yùn)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.理解兩個(gè)集合相等的概念,能根據(jù)集合相等求參數(shù).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)情境導(dǎo)入為了區(qū)分或稱呼集合,常用大寫的拉丁字母表示,如集合A、集合B等.幾種特殊的集合用特殊的字母表示:自然數(shù)集記作N,正整數(shù)集記作N*或N+,整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記作Q,實(shí)數(shù)集記作R.但作為一個(gè)一般的集合,又應(yīng)如何來(lái)表示呢?知識(shí)點(diǎn)撥一、集合的表示方法1.列舉法將集合的元素一一列舉出來(lái),并置于花括號(hào)“{

}”內(nèi)表示集合的方法.

2.描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來(lái),寫成{x|p(x)}的形式表示集合的方法.3.Venn圖為了直觀地表示集合,我們常畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合,稱為Venn圖.名師點(diǎn)析

1.使用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)使用列舉法時(shí),不能丟解,也不能多解,要使集合中的元素符合集合中元素的性質(zhì);(2)“{

}”表示“所有”“一切”“集合”的意思,在使用時(shí)注意不要重復(fù),如{奇數(shù)}表示所有奇數(shù)組成的集合,不能寫成{奇數(shù)集}.2.使用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)清楚集合的代表元素,集合中元素的意義就取決于它的代表元素;(2)說(shuō)明該集合中元素的性質(zhì);(3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的參數(shù);(4)用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確;(5)所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號(hào)內(nèi).3.表示集合的Venn圖的邊界可以是圓、矩形、橢圓,也可以是其他封閉曲線.微練習(xí)

1A.(-1,2)

B.(1,-2)C.{(-1,2)} D.{(1,-2)}答案

C微練習(xí)

2不等式4x-5<7的解集為

.

答案

{x|x<3}解析

由4x-5<7解得x<3,所以可表示為{x|x<3}.微練習(xí)

3集合{x|x2-4x+3=0}用列舉法表示為(

)A.{1,3} B.{x|x=1,x=3}C.{x2-4x+3=0} D.{x=1,x=3}答案

A解析

解方程x2-4x+3=0,得x=1或x=3,應(yīng)用列舉法表示解集為{1,3}.故選A.二、集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么稱這兩個(gè)集合相等.要點(diǎn)筆記1.兩個(gè)集合相等需滿足:元素必須完全相同.2.集合相等與集合的形式無(wú)關(guān).形式上不同的兩個(gè)集合,也可能相等,如{x|4x-5<3}={x|x<2}.微練習(xí)

設(shè)a,b,c∈R,集合{a,0,-1}={c+b,,1},則a+b+c等于(

)A.-1

B.1C.-2 D.2答案

B解析

兩個(gè)集合相等,則集合中的元素相同.∴b=-2,c=2.∴a+b+c=1.故選B.三、集合的分類1.有限集與無(wú)限集一般地,含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集,含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.2.空集我們把不含任何元素的集合稱為空集,記作?.名師點(diǎn)析

空集是一個(gè)特殊的集合,它不含有任何元素.學(xué)習(xí)時(shí)要注意以下三個(gè)方面:(1)一般地,空集與實(shí)數(shù)集相對(duì)立;(2)不要把數(shù)0與空集相互混淆;(3)解決集合問(wèn)題時(shí)不要忽略空集.微思考

?與{?}有什么區(qū)別?提示

?中不含有任何元素;{?}是一個(gè)非空集合,集合中的元素為?.探究一用列舉法表示集合例1用列舉法表示下列集合:(1)36與60的公約數(shù)組成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的實(shí)根組成的集合;解

(1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12,所求集合為{1,2,3,4,6,12}.(2)方程(x-4)2(x-2)=0的實(shí)根是4或2,所求集合為{4,2}.要點(diǎn)筆記列舉法表示集合的關(guān)注點(diǎn)用列舉法表示集合就是將集合中的元素不重復(fù)、不遺漏地列出,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出集合中所有的元素.變式訓(xùn)練1用列舉法表示下列集合:(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合;(2)方程x2=2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合;(3)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合.解

(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10,非負(fù)是指大于或等于0,所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解組成的集合為{0,2}.(3)將x=0代入y=2x+1,得y=1,即交點(diǎn)是(0,1),故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}.探究二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合:(1)小于100的所有非負(fù)整數(shù)組成的集合;(2)數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)的集合;(3)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合;(5)被5除余3的所有整數(shù)組成的集合;(6)不等式3x-6≤2x+7的解集組成的集合.解

(1)小于100的所有非負(fù)整數(shù)組成的集合,用描述法表示為{x|0≤x<100,x∈Z}.(2)數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)的集合,用描述法表示為{x||x|>6}.(3)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合,用描述法表示為{(x,y)|xy<0}.(4)方程組

的解的集合,用描述法表示為{(x,y)|x+y=2,x-y=2}或{(x,y)|x=2,y=0}.(5)被5除余3的所有整數(shù)組成的集合為{x|x=5k+3,k∈Z}.(6)解不等式3x-6≤2x+7得x≤13,所以不等式3x-6≤2x+7的解集組成的集合為{x|x≤13}.反思感悟利用描述法表示集合的關(guān)注點(diǎn)(1)用描述法表示集合時(shí),首先要弄清楚集合的屬性,是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地,數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素,而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示其元素.(2)若描述部分出現(xiàn)代表元素以外的參數(shù),要對(duì)參數(shù)說(shuō)明含義或指出取值范圍.變式訓(xùn)練2已知A={x|3-2x>0},則有(

)A.3∈A B.1∈AC.∈A D.0?A答案

B探究三列舉法與描述法的靈活應(yīng)用例3集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)k的值組成的集合.解

(1)當(dāng)k=0時(shí),方程kx2-8x+16=0變?yōu)?8x+16=0,解得x=2,滿足題意;(2)當(dāng)k≠0時(shí),要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一個(gè)元素,則方程kx2-8x+16=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此時(shí)集合A={4},滿足題意.綜上所述,k=0或k=1,故實(shí)數(shù)k的值組成的集合為{0,1}.延伸探究若將本例中的條件“只有一個(gè)元素”換成“至多有一個(gè)元素”,其他條件不變,求相應(yīng)問(wèn)題.解

集合A至多有一個(gè)元素,即方程kx2-8x+16=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根.則k=0或Δ=64-64k≤0,解得k=0或k≥1.故所求k的值組成的集合是{k|k≥1,或k=0}.反思感悟選用列舉法或描述法的原則要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?列舉法的特點(diǎn)是能清楚地展現(xiàn)集合的元素,通常用于表示元素個(gè)數(shù)較少的集合,當(dāng)集合中元素較多或無(wú)限時(shí),就不宜采用列舉法;描述法的特點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單、應(yīng)用方便,通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合,當(dāng)元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時(shí),就不宜采用描述法.變式訓(xùn)練3下列說(shuō)法:①集合{x∈N|x3=x}用列舉法表示為{-1,0,1};②實(shí)數(shù)集可以表示為{x|x為所有實(shí)數(shù)}或{R};其中正確的有(

)A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)答案

D解析

x3=x的解為-1,0,1,∵-1?N,∴集合{x∈N|x3=x}用列舉法表示為{0,1},故①錯(cuò)誤;實(shí)數(shù)集可以表示為{x|x為實(shí)數(shù)}或R,故②錯(cuò)誤;方程組

的解集為{(1,2)},集合{x=1,y=2}中的元素是x=1,y=2,故③錯(cuò)誤.故選D.素養(yǎng)形成根據(jù)集合相等求參數(shù)利用集合相等求參數(shù)時(shí),要注意集合中元素的互異性及分類討論思想